Cálculo - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20008 de Março de 2013

Cálculo - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Cálculo.
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MAT0104 - LISTA DE EXERCÍCIOS

1. Função afim e quadrática

(1) Esboce o gráfico das seguintes funções reais:

(a) f(x) = 2x

(b) f(x) = 1

(c) f(x) = −2x+ 3 (d) f(x) = 3x+4

2

(2) Esboce o gráfico das seguintes funções reais:

(a) f(x) = x2 − 3x+ 2 (b) f(x) = −x2 + 7x− 12 (c) f(x) = 2x2 − 4x (d) f(x) = −5x2

(3) Determine os valores reais de m para que a função

f(x) = mx2 + (2m− 1)x+ (m− 2)

possua dois zeros reais distintos.

(4) Determine, caso existam, o valor máximo e o valor mı́nimo das funções reais abaixo

(a) f(x) = 2x2 + 5x

(b) f(x) = −3x2 + 12x (c) f(x) = 4x2 − 8x+ 4

(5) Dentre todos os números reais de soma 8 determine aqueles cujo produto é máximo.

(6) Determine o valor real de m para que a função

f(x) = −3x2 + 2(m− 1)x+ (m+ 1)

tenha valor máximo igual a 2.

(7) Resolva as seguintes inequações em R

(a) x2 − 2x+ 2 > 0 (b) x2 − 2x+ 1 ≤ 0 (c) (x2 − x− 2)(−x2 + 4x− 3) > 0

1

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2 MAT0104 - LISTA DE EXERCÍCIOS

2. Funções trigonométricas

(1) Esboce o gráfico das seguintes funções definidas em R

(a) f(x) = −2sen(x) (b) f(x) = sen(x) + 1

(c) f(x) = sen(2x)

(d) f(x) = sen(x− π 4 )

(e) f(x) = −cos(x) (f) f(x) = cos(2x)

(2) Esboce o gráfico das seguintes funções

(a) f(x) = tg(x) com x ∈]− π 2 , π 2 [

(b) f(x) = tg(2x) com x ∈]− π 4 , π 4 [

(c) f(x) = tg(3x) + 1 com x ∈]− π 6 , π 6 [

(3) Verifique a validade das seguintes relações trigonométricas para todo x ∈ R (a) sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)

(b) cos(2x) = cos2(x)− sen2(x) (c) cos2(x) = 1+cos(2x)

2

(d) cos(3x) = 4 cos3(x)− 3 cos(x) (e) sen(3x) = 3 sen(x)− 4 sen3(x)

(4) Considere a função trigonométrica y = f(x) = cos(x− π 4 ) esboçada abaixo

Determine:

(a) Todos os pontos x ∈ R tais que f(x) = −1 (b) Todos os pontos x ∈ R tais que f(x) = 0 (c) Todos os pontos x ∈ R tais que f(x) = 1

(5) Verifique que vale a seguinte igualdade para todo x ∈ R− {kπ; k ∈ Z}

(1 + cotg2(x))(1− cos2(x)) = 1

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MAT0104 - LISTA DE EXERCÍCIOS 3

3. Limites de funções

(1) Calcule os seguintes limites

(a) lim x→1

x2 − 1

(b) lim x→−1

2− x x

(c) lim x→2

x3

(d) lim x→3

1

x

(e) lim x→1

1

x3

(f) lim x→1

x2 − 1 x− 1

(g) lim x→1

x3 − 1 x− 1

(h) lim x→a

xn − an x− a (onde a ∈ R e n ∈ N)

(i) lim x→1

√ x− 1 x− 1

(2) Verifique que o seguinte limite não existe: lim x→0

sen( 1

x ).

(3) Calcule os seguintes limites

(a) lim x→π

sen(x)− 1

(b) lim x→0

1− cos(x) x

(c) lim x→0

1− cos(x) x2

(d) lim x→0

sen(3x)

x

(e) lim x→π/2

cos(x)

x− π/2 (f) lim

x→0 x sen(

1

x )

(g) lim x→−2

2x3 + 9x2 + 12x+ 4

−x3 − 2x2 + 4x+ 8 (h) lim

x→−3

√ x2 + 16− 5 x2 + 3x

(i) lim x→1/2+

4 √ 2x− 1√ 2x− 1

(j) lim x→0

tg(3x) 1

sen(6x)

(k) lim x→0

1− 3 √

cos(x)

x2

(l) lim x→0+

sen2(x)

x3 − x2

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4 MAT0104 - LISTA DE EXERCÍCIOS

4. Limites e derivadas de funções elementares

(1) Calcule, caso existam, os seguintes limites

(a) lim x→1

sen(3x2 − 5x+ 2) x2 + x− 2

(b) lim x→0+

sen(x)

x3 − x2

(c) lim x→0

(sen(x))3sen(1/x)

x2

(d) lim x→0

√ x4 + x2

x

(e) lim x→2−

x2 − 2x x2 − 4x+ 4

(f) lim x→+∞

x√ x+ 1

(g) lim x→+∞

3 √ x+ 1− 3

√ x

(h) lim x→+∞

x− sen(x) x+ sen(x)

(i) lim x→+∞

√ x2 + 1−

√ x4 + 1

(2) Calcule, caso existam, os seguintes limites

(a) lim x→+∞

1

x− 1 (b) lim

x→+∞

1

x2

(c) lim x→1+

1

x− 1 (d) lim

x→+∞

x+ √ x−

√ x

(e) lim x→0

|x| x

(3) Derive as seguintes funções nos pontos indicados

(a) f(x) = x2 + 1 em a = 2

(b) f(x) = x3 + cos(x) em a = π

(c) f(x) = x cos(x) em a = 0

(d) f(x) = sen(x)

cos(x) para todo x ∈]− π/2, π/2[

(e) f(x) = x cos(x) + x3

1 + x2 + x4 para todo x ∈ R

(f) f(x) = sen(x) + x cos(x)

1 + x2 para todo x ∈ R

(g) f(x) = x3 − 2x2 + x+ 2 para todo x ∈ R (h) f(x) =

x2 − x 1 + 3x2

para todo x ∈ R

(i) f(x) = x2

x2 − 1 para todo x ∈ R− {±1} (j) f(x) = x+ 1

x para todo x ∈ R− {0}

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MAT0104 - LISTA DE EXERCÍCIOS 5

5. Reta tangente e derivada de função composta

(1) Considere a seguinte função f : R −→ R dada por

f(x) = 3 √ x3 − x2 sen( 3

√ x)

Determine:

(a) f ′(x) para todo x ∈ R− {0, 1} (b) f ′(0)

Existe f ′(1)?

(2) Seja f(x) = 3x+ 1

x− 1 definida em R − {1}. Determine todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto (0, 0).

(3) Calcule a derivada das seguintes funções definidas em R

(a) f(x) = 1

1 + cos(x2)

(b) f(x) = x cos(x3)

2 + x2 + cos(x3) (c) f(x) = x sen(x12 − x13) (d) f(x) =

1

x2 + 1

(e) f(x) = x cos(x5)

1 + (cos(x))2

(f) f(x) = 1

(cos(x3))2 + 1

(g) f(x) = cos(x)

x4 + x2 + 2 (h) f(x) = cos(sen(x3))

(i) f(x) = (sen(x2))10

(j) f(x) = (cos(sen(x3)))4

(k) f(x) = 1

cos(x2 + x3) + 3

(4) Determine, caso exista, a derivada em x = 0 da seguinte função

f(x) =

x2sen( 1 x ) x 6= 0

0 x = 0

Determine ainda a derivada de f nos pontos x 6= 0.

(5) Calcule, caso exista, o seguinte limite

lim x→0

tan((3 + x)2)− tan(9) x

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6 MAT0104 - LISTA DE EXERCÍCIOS

6. Função inversa, função exponencial e função logaŕıtmica

(1) Calcule a derivada das seguintes funções

(a) f(x) = x

[arctan(x)]2 + 10 , x ∈ R

(b) f(x) = arcsen(x2) + x, x ∈]− 1, 1[ (c) f(x) = arccos(x3) + arcsen(x4) + arctan(x5), x ∈]− 1, 1[ (d) f(x) = x3arcsen(x2), x ∈]− 1, 1[ (e) f(x) = arctan(x2 + x3 + 20x5), x ∈ R (f) f(x) =

arctan(x)

1 + x2 , x ∈ R

(2) Seja e ∈ R o número real dado por e := lim x→+∞

(1 + 1

x )x. Calcule

(a) lim x→0

(1 + x)1/x

(b) lim x→+∞

(1 + a

x )x, com a ∈ R

(3) Calcule a derivada das seguintes funções

(a) f(x) = xx

x2 + 2x , x > 0

(b) f(x) = 1 + ln(x)

xx , x > 0

(c) f(x) = x

ex , x ∈ R

(d) f(x) = xx

1 + xcos(x) , x > 0

(e) f(x) = (1 + cos2(x))x, x ∈ R (f) f(x) = ax, x > 0 e a > 0 (a 6= 1 constante) (g) f(x) = loga(x), x > 0 e a > 0 (a 6= 1 constante) (h) f(x) = xex, x ∈ R (i) f(x) = ln(1 + x2), x ∈ R

(4) Mostre que para todo x ∈ [−1, 1] temos a igualdade

arcsen(x) + arccos(x) = π

2

(5) Mostre que para todo x > 0 temos a igualdade

arctan(x) + arctan( 1

x ) =

π

2

(6) Mostre que para todo x < 0 temos a igualdade

arctan(x) + arctan( 1

x ) = −π

2

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MAT0104 - LISTA DE EXERCÍCIOS 7

7. Integral indefinida

(1) Calcule as seguintes integrais indefinidas usando fórmula trigonométrica

(a)

cos2(x)dx

(b)

sen2(x)dx

(c)

tan2(x)dx

(d)

sen(7x) cos(9x)dx

(e)

sen(10x)sen(6x)dx

(f)

cos(17x) cos(9x)dx

(2) Calcule as seguintes integrais indefinidas usando substituição

(a)

e7xdx

(b)

cos(11x)dx

(c)

tan(x)dx

(d)

x √ 1− x2dx

(e)

(3x+ 7)101dx

(f)

1

10x+ 45 dx

(g)

x2√ 1 + x3

dx

(h)

sen3(x)dx

(i)

cos3(x)dx

(j)

sec(x)dx

(k)

sen3(x) cos(x)dx

(l)

x

1 + x4 dx

(m)

x√ 1− x4

dx

(n)

ln(x)

x dx

(o)

x3

x+ 1 dx

(p)

x(x+ 3)10dx

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8 MAT0104 - LISTA DE EXERCÍCIOS

(3) Calcule as seguintes integrais indefinidas usando integração por partes

(a)

x cos(x)dx

(b)

x2 cos(x)dx

(c)

xsen(x)dx

(d)

ln(x)dx

(e)

(ln(x))2dx

(f)

ex cos(x)dx

(g)

exsen(x)dx

(h)

arctan(x)dx

(i)

arccos(x)dx

(j)

arcsen(x)dx

(k)

sec3(x)dx

(l)

sen4(x)dx

(m)

cos4(x)dx

(4) Calcule as seguintes integrais indefinidas usando substituição trigonométrica

(a)

∫ √ 1− x2dx

(b)

∫ √ 5− 4x2dx

(c)

∫ √ 1 + x2dx

(d)

∫ √ 4 + 3x2dx

(e)

∫ √ 2x− x2dx

(f)

∫ √ −x2 + 4x− 3 dx

(5) Calcule as seguintes integrais indefinidas usando frações parciais

(a)

x+ 3

x2 − 3x+ 2dx

(b)

1

x2 − 4dx

(c)

x

x2 − 5x+ 6dx

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MAT0104 - LISTA DE EXERCÍCIOS 9

8. Equações diferenciais de primeira ordem

(1) Verifique que a solução geral da equação diferencial y′ = y é dada por

y(x) = cex

onde c ∈ R é uma constante. Esboce as soluções.

(2) Verifique que a solução geral da equação diferencial y′ = cos(x) é dada por

y(x) = sen(x) + c

onde c ∈ R é uma constante. Esboce as soluções.

(3) Verifique que todas as soluções da equação diferencial

(y′)2 − xy′ + y = 0

são dadas pelas funções y = cx − c2 (c ∈ R constante) e y = x2 4

definidas em R.

Esboce as soluções.

(4) Se populações relativamente pequenas permanecem sem perturbações, geralmente

elas crescem de acordo com a chamada Lei de Malthus, que estabelece que a taxa

de crescimento dessa população no tempo é diretamente proporcional à população

presente. Traduza esse fenômeno por uma equação diferencial e a resolva.

(5) A experiência mostra que se um corpo cai no vácuo devido à ação da gravidade,

então sua aceleração é constante igual a g := 9, 8m/s2. Estabeleça essa Lei como

uma equação diferencial para s(t), a distância de queda em função de t. Suponha

agora que o corpo está com s(0) = s0 e com velocidade inicial v0, determine a

expressão de s(t).

(6) Determine todas as soluções da equação diferencial y′(x) = −y(x) x

com x 6= 0.

(7) A Lei do resfriamento de Newton estabelece que a taxa de variação da tempe-

ratura T (t) sobre uma superf́ıcie esférica é diretamente proporcional à diferença

entre T (t) e a temperatura do meio ambiente. Uma esfera de cobre é aquecida a

uma temperatura de 1000C. No instante t = 0 ela é imersa em água que é mantida

a uma temperatura de 300C. Ao fim de 3 minutos, a temperatura da esfera está

reduzida a 700C. Determine o instante em que a temperatura se encontra reduzida

a 310C.

(8) Resolva a equação diferencial (x2 + 1)y′ + y2 + 1 = 0.

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10 MAT0104 - LISTA DE EXERCÍCIOS

(9) (Tratriz) Determine uma função cont́ınua f : [0,+∞[−→ R, derivável em ]0,+∞[ e que possui a seguinte propriedade: em qualquer ponto x ∈ [0,+∞[, a distância entre (x, f(x)) e o ponto de encontro entre a reta tangente ao gráfico de f (no

ponto x) e o eixo das abscissas seja constante igual a a.

(10) Num certo instante t0, a altura de um triângulo cresce à razão de 1cm/min e sua

área aumenta à razão de de 2cm2/min. Sabendo que, no instante t0, a altura é

10cm e sua área é 100cm2, qual a taxa de variacão da base do triângulo?

(11) Resolva a equação diferencial y′ = −4xy2. Esboce as soluções.

(12) É um fato da F́ısica que os elementos radioativos se desintegram espontaneamente

num processo chamado decaimento radioativo. Os experimentos mostram que

a taxa de desintegração é diretamente proporcional à quantidade de elemento

presente.

(a) Traduza esse fenômeno por uma equação diferencial e a resolva;

(b) Todo elemento radioativo tem uma meia-vida1 espećıfica. Sabendo que a

meia-vida do Carbono-14 é de 5730 anos, determine a sua equação diferencial

de decaimento;

(c) Se 100 gramas de Carbono-14 forem armazenadas em uma caverna, quantas

gramas irão restar após 1000 anos?

(d) Sabe-se que todas as plantas e animais vivos absorvem quantidades do ele-

mento Carbono-14. Quando uma planta ou animal morre, o Carbono-14 pre-

sente no tecido começa a decair. Assim, a idade de um artefato que contenha

material animal ou vegetal pode ser estimada observando qual a porcentagem

que resta do seu conteúdo de Carbono-14 original. Uma análise das fibras que

formam o Sudário de Turim2 mostrou que ele continha 92% do Carbono-14

original. Use esse fato para determinar a idade do sudário.

1Tempo requerido para a desintegração de 50% do material inicial. 2Peça de linho que mostra a imagem de um homem que aparentemente sofreu traumatismos f́ısicos de

maneira consistente com a crucificação.

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MAT0104 - LISTA DE EXERCÍCIOS 11

(13) Populações em geral crescem dentro de sistemas ecológicos que podem sómente

suportar um certo número L de indiv́ıduos (esse número é chamado de capacidade

de tolerância). Se a população p(t) é tal que p(t) > L, então a população tende

a decrescer; se p(t) é tal que p(t) < L, então a população tende a crescer; se

p(t) é tal que p(t) = L, então a população tende a permanecer estável. Além

disso, se L for suficientemente grande, isto é se p(t)/L ≈ 0, então a população deve ter um comportamento próximo ao modelo Malthusiano (exerćıcio (4) desta

seção). Verifique que a seguinte equação diferencial (chamada equação diferencial

loǵıstica)

dp

dt = k(1− p

L )p

com constante k > 0, satisfaz a todos os quesitos alinhados acima. Encontre ainda

a solução geral dessa equação diferencial com valor inicial p(0). Esboce algumas

soluções para alguns valores de p(0).

(14) Determine a solução geral e esboce algumas das soluções de yy′ = −x.

(15) Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo usando a

substituição u = y/x

(a) xy′ = x+ y

(b) x2y′ = x2 − xy + y2 (c) 2xyy′ − y2 + x2 = 0 Esboce algumas soluções em cada caso.

(16) Determine a solução geral de xy′ = y + x2 sec( y

x ).

(17) Resolva os seguintes problemas de valor inicial

(a) y′ = y − x y + x

, y(1) = 1;

(b) xy′ = y + (y − x)3, y(1) = 3/2.

(18) Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem

(a) y′ − y = e2x (b) xy′ + y + 4 = 0

(c) xy′ + y = sen(x)

(d) y′ + y tan(x) = sen(2x)

(e) y′ = 1

(f) y′ = −y

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12 MAT0104 - LISTA DE EXERCÍCIOS

(19) (Equação de Bernoulli) Mostre que a seguinte equação diferencial

y′ + f(x)y = g(x)ya

pode ser reduzida a equação diferencial linear

u′ + (1− a)f(x)u = (1− a)g(x)

através da substituição u = y1−a.

(20) (Equação de Riccati) Mostre que a seguinte equação diferencial

y′ + f(x)y + g(x)y2 = h(x)

com solução particular y0, pode ser reduzida a equação diferencial linear

u′ − (2y0g(x) + f(x))u = g(x)

através da substituição u = y0 + 1

u .

(21) Resolva as seguintes equações diferenciais

(a) y′ + y = y2

(b) y′ − xy = x3y2 (c) 3y′ + y = (1− 2x)y4 (d) y′e−x + y2 − 2yex = 1− e2x com solução particular y0 = ex (e) xy′ − y2 + (2x+ 1)y = x2 + 2x com solução particular y0 = x

André de Oliveira Gomes

E-mail address : gomes@ime.usp.br

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