Cálculo II - Prova - UFRJ, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
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Botafogo8 de Março de 2013

Cálculo II - Prova - UFRJ, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

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Apostilas e exercicios de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro sobre o estudo do Cálculo.
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��� ��� @@@ @@@ ��� ��� @@@ @@@

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto de Matemática Departamento de Métodos Matemáticos

Cálculo II - MAC 123 Primeira Prova

23/11/2012

Respostas não justicadas não valem pontos!

São permitidos nas mesas apenas identidade, lapis, caneta, borracha e caderno da prova. O que não é permitido é proibido.

1a QUESTÃO : Calcule o coeciente a98 da expansão em serie de potência de

sin(2x+ π

4 ) =

∞∑ n=0

anx n.

Justique cada passo do seu racioncínio.

Resposta:

Seja f(x) = sin ( 2x+

π

4

) então f(x) =

√ 2

2 (sin(2x) + cos(2x)), e como:

sin t = ∞∑ k=0

(−1)k

(2k + 1)! t2k+1 cos t =

∞∑ k=0

(−1)k

(2k)! t2k

então

f(x) =

√ 2

2

( 1 + (2x)− (2x)

2

2! − (2x)

3

3! +

(2x)4

4! +

(2x)5

5! − (2x)

6

6! − (2x)

7

7! + · · ·

) =

√ 2

2

∞∑ n=0

(−1) n(n−1)

2

n! (2x)n

= ∞∑ n=0

√ 2

2

2n(−1) n(n−1)

2

n! xn

Logo an =

√ 2

2

2n(−1) n(n−1)

2

n! então a98 =

−297

98!

√ 2.

1

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2a QUESTÃO : Mostre que a serie

∞∑ n=1

( 4

n+ 2 − 4 n+ 3

+ 2

4n

) converge e calcule o valor da soma.

Resposta:

Se ∑ an converge e

∑ bn converge, então

∑ an+bn converge e

∑ an+bn =

∑ an+

∑ bn.

A serie de termos positivos

0 ≤ ∑ n=1

4

n+ 2 − 4 n+ 3

≤ ∑ n=1

4

(n+ 2)(n+ 3) ≤ ∑ n=1

4

n2 <∞

converge pelo teste da comparação. A sequencia das somas parcias

lim n→∞

sN = lim n→∞

4 N∑

n=1

1

n+ 2 − 1 n+ 3

=

lim n→∞

4( 1

3 − 1

4 +

1

4 − . . .− 1

N + 2 +

1

N + 2 − 1 N + 3

) = 4

3 − lim

n→∞

4

n+ 3 =

4

3 .

assim ∑

n=1 4

n+2 − 4

n+3 = 4

3 . A serie geométrica

∑ n=1

2

4n = 2

∑ n=0

1

4n − 2 = 2 1

1− 1 4

− 2 = 2 3

converge e temos que a serie converge e vale 4 3 + 2

3 = 2 .

2

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3a QUESTÃO : Determine se as series abaixo são convergentes ou divergentes.

a) ∞∑ n=1

(−1)3n

n3 cos4

( 1

n2

)

b) ∞∑ n=1

1

n(lnn)(ln(lnn))

Resposta:

a) Pelo teste da comparação temos ∞∑ n=1

∣∣∣∣(−1)3nn3 cos4 (

1

n2

)∣∣∣∣ ≤ ∞∑ n=1

1

n3 < ∞ e a serie

converge absolutamente e portanto convergente.

Outro Método (serie alternada): Como 1 n3

cos4( 1 n2 ) ≥ 0 para todo n

e como (−1)3n = (−1)n a serie é uma serie alternada. Temos 0 ≤ lim

n→∞

1

n3 cos4(

1

n2 ) ≤ lim

n→∞

1

n3 = 0. Assim precisa provar que

bn+1 = 1

(n+ 1)3 cos4(

1

(n+ 1)2 ) <

1

n3 cos4(

1

n2 ) = bn.

Essa desigualdade pode ser provada observando que a derivada da função 1 x3

cos4( 1 x2 )

é negativa para x sucientemente grande.

b) Observando que 1

x ln(x) ln(ln(x)) = (ln(ln(ln(x))))′ (pela regra da ca-

deia) podemos usar do teste da integral. A integral imprópria∫ ∞ 10

(ln(ln(ln(x))))′ dx = lim x→∞

ln ln ln x− ln ln ln 10 =∞ diverge portanto a serie diverge também.

3

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4a QUESTÃO : Determine o intervalo de convergência das seguintes series de potência.

a) ∞∑ n=1

3n

n+ 3 xn

b) ∞∑ n=1

x2n

cos( 1 n ) · nn

Resposta:

a) Aplica o teste da razão:

lim n→∞

∣∣∣∣ anan+1 ∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣3n+1xn+1n+ 4 n+ 33nxn ∣∣∣∣ = |3x| limn→∞ n+ 3n+ 4 = |3x|

Assim o raio de convergência R = 1 3 . Para x = 1

3 temos

∞∑ n=1

3n(1 3 )n

n+ 3 = ∞∑ n=4

1

n =∞.

Para x = −1 3

temos ∞∑ n=1

3n(−1)n(1 3 )n

n+ 3 = ∞∑ n=4

(−1)n

n <∞ assim o intervalo de con-

vergência é [−1 3 , 1 3 ).

b) Aplica o teste da raiz:

lim n→∞

n √ |an| = x2

( lim n→∞

1

n

)( lim n→∞

1

| cos 1n ( 1 n )|

) = 0

assim o raio de convergência é innito e o intervalo de convergência é R. Para calcular o segundo limite basta observar que para n bastante grande 1

2 < cos 1

n ≤ 1

então 1 = lim n→∞

2 1 n < lim

n→∞

1

| cos 1n ( 1 n )| ≤ 1.

4

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