Cálculo III - Exercícios - Cálculo III, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Cálculo III - Exercícios - Cálculo III, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o cálculo.
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Microsoft Word - Primeira Lista de Exercícios.doc

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática

Primeira Lista de Exercícios

MAT 241 – Cálculo III 1. Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando ( V ) paraverdadeiro ou ( F ) parafalso. Justifique sua resposta ! (a) ( )Se os vetores )3,1,(xu = e )1,1,( −−= xv são ortogonais, então 2=x ou 2−=x . (b) ( ) Se u e v têm a mesma norma (comprimento), então vu − e vu + são ortogonais. (c) ( )Existe um plano que contém os pontos ( )1,0,1 −A , ( )3,2,0B , ( )1,1,2−C e ( )3,2,4D . (d) ( )O triângulo determinado pelos pontos, ( )1,2,3 −A , ( )1,1,2 −B e ( )2,0,7 −C é um

triângulo retângulo. (e) ( )Se wuvu ⋅=⋅ com 0≠u , então wv = . (f) ( )Ovolume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto )5,4,5(A e os três vértices

adjacentes nos pontos )6,10,4(B , )7,8,1(C e )9,6,2(D é igual a .52 (g) ( )O ponto ( )5,6,7A pertence ao segmento de reta :r tx 31+= , ty 22 += e tz += 3 ,

onde 10 ≤≤ t . (h) ( )A área do triângulo determinado pelos vetores kjiu ++= e kjiv −+−= 32 é 4 . (i) ( )A equação da esfera de centro ( )1,4,2 −−C e tangente ao plano-yz é

.017284222 =++−+++ zyxzyx (j) ( ) O raio da esfera que contém os pontos ( )4,1,3A , )3,5,0(B e )0,4,4(C e tem seu centro

no plano xy é igual a 3.

2. Sabendo que 5=u , 2=v , 2−=⋅ vu , 1=⋅ wu e 7=⋅ wv , calcule: (a) )32(4 wvu +⋅ (b) ( ) ( )wuvu +−⋅− 45

3. Mostre que para quaisquer vetores u e v , tem-se:

(a) ( )2222 2 vuvuvu +=−++ (b) 222 2 vvuuvu +⋅+=+

(c) 222 2 vvuuvu +⋅−=−

(d) vuvuvu ⋅=−−+ 422

(e) vuvu .≤⋅

(f) vuvu +≤+

4. Sejam yjxiu += e bjaiv += . Prove que: (a)vuax −≤−

(b)vuby −≤−

(c)byaxvu −+−≤−

5. Seja bjaiv += . Se 3=v , determine os valores máximo e mínimo que jv

jv

− +

pode ter.

6. (a) Sejam a e b vetores, com ângulo entre si medindo 6� 

= , e tais que 2=⋅ ba . Determine a área do triângulo que tem os vetores a e b como lados adjacentes

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(b) Se u e v são vetores tais que 10=+ vu e 8=− vu , determine vu ⋅ .

7. Sejam a e b vetores unitários tais que 2=⋅ ba . Determine )).(( baba −+ , ba + .

8. Seja )3,5,1( −=v . Determine o vetor w , tal que 10=w , e que tem a mesma direção e o sentido contrário de v .

9. Sejam u e v vetores não nulos. Explicitar o valor de x na igualdade .uxv =

10. Obtenha v tal que kjv =× e 5=v .

11. Se vu, e w são tais que 0=++ wvu , mostre que wvvu ×=× .

12. Calcule o trabalho realizado pela força F quando seu ponto de aplicação move-se de P a Q . (a)kjiF 352 +−= , ( )2,2,1 −=P e ( )1,1,3 −=Q . (b)ckF −= , ( )111 ,, zyxP = e ( )222 ,, zyxQ = .

13. Verifique se os pontos )1,1,1(1P , )1,1,0(2P , )1,0,1(3P e )1,1,0(4P são coplanares.

14. Determine equações paramétricas da reta que passa pelo ponto )4,5,1(A e (a) é paralela à reta de equações paramétricas tx −= 1 , ty 220 += e tz = . (b) é paralela à reta determinada pelos pontos )1,1,1(B e ).1,1,0( −C

15. Determine a equação do plano  que contém os pontos ( )5,0,2A e ( )1,2,0 −B e é perpendicular ao plano 073:



=−−+ zyx .

16. Escreva as equações paramétricas da interseção dos planos (a) 02 =−+ zyx e 1=++ zyx ; (b) 12 =+ yx e 2=z .

17. Determine o ponto de interseção da reta

RIt

tz

y

tx

∈ 

  

+= −= +=

; 24 2

1

com cada um dos planos; (a) 832 =+− zyx ; (b) 52 =+ zx ; (c) 2=x .

18. Verifique que a reta

RIt

tz

ty

tx

∈ 

  

= += +−=

; 5

32 1

está contida no plano .02 =−+ zyx

19. Verifique que a reta

RIt

tz

ty

tx

∈ 

  

+= += +=

; 32

1 22

não intercepta o plano .3=−+ zyx

20. Determine os valores de a , b e d para que o plano dzbyax =++ 3 seja (a) paralelo ao plano 452 =−+ zyx ; (b) represente o mesmo plano que 452 =−+ zyx .

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21. Verifique que as retas

RIt

tz

ty

tx

r ∈ 

  

+= −= +=

; 5 2 1

: e RIt tz

ty

tx

s ∈ 

  

+= +−= +−=

; 22 35 22

:

são concorrentes e determine uma equação do plano por elas definido.

22. Determine a distância do ponto )3,1,2(A a cada um dos planos (a) 12 =+− zyx ; (b) 0=−+ zyx ; (c) 85 =− zx .

23. Sejam P o ponto ( )3,2,1 e Q o ponto ( )1,2,3 . Seja v o vetor ( )1,1,1 . Seja L a reta passando por P e paralela a v . (a) Dado um ponto X na reta L , calcule a distância de Q a X (como função do parâmetro t ). (b) Mostre que existe precisamente um ponto 0X na reta tal que esta distância atinge um

mínimo.

(c) Mostre que QX 0 é perpendicular à reta L .

24. Determine:

(a) a distância do ponto)7,4,5( − à reta RIt tz

ty

tx

r ∈ 

  

= −=

+= ;2

51 :

(b) a distância do ponto)1,2,1( − à reta RIt tz

ty

tx

r ∈ 

  

+−= −=

+= ;

32 5

21 :

(c) a distância do ponto)5,3,2( a cada um dos eixos do sistema de coordenadas.

25. Escreva uma equação do plano que contém o ponto )3,2,1( −A e é perpendicular a cada um dos planos 22 =−+ zyx e 3=−− zyx .

26. Escreva uma equação do plano paralelo ao eixo z e que contém a interseção dos planos 432 =++ zyx e 22 =++ zyx .

27. Determine a equação da reta r que passa pelo ponto ( )1,2,3A e que é paralela aos planos  e  de equações: 32: =+− zyx e 145:



=+− zyx .

28. Determine o ponto do plano dczbyax =++ mais próximo da origem.

29. Escreva uma equação do plano paralelo a 462 =+− zyx e tangente à esfera

424222 =+−++ yxzyx .

30. Determine o centro e o raio da circunferência de interseção da esfera 25222 =++ zyx com o plano 42 =++ zyx .

31. Seja  o plano 012 =+−+ zyx e r a reta que contém os pontos )2,0,0(A e )6,3,2(B . Determine as equações da reta m que contém o ponto )3,2,1(C , é perpendicular à reta r e paralela ao plano  .

32. Demonstrar que se ),,( cba é unitário, então a distância da origem ao plano dczbyax =++ é d .

33. Prove que existe um plano que contém todos os pontos da forma   

   

 −+ t t

t t

t 21

, 1

, , para todo

.0>t

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