Cálculo III Lista 2  - Exercícios - Cálculo III, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Cálculo III Lista 2 - Exercícios - Cálculo III, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o cálculo.
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Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática

2a Lista de exerćıcios de Cálculo III - MAT 241

1. Um depósito de grãos tem formato de um cilindro circular reto de altura h e raio r e teto no formato de uma semi-esfera de raio r. Determine o volume do depósito em função de h e r.

2. Calcule: (a) f(−y, y), y 6= 0 (b) f(1, h), h 6= 1 (c) f(h, 0), h 6= 0

(d) f(x+ h, y)− f(x, y)

h , h 6= 0 (e) f(x, y + h)− f(x, y)

h , h 6= 0

nos casos f(x, y) = x5 − 3x3y2 − x+ 1; f(x, y) = x x− y

.

3. Se f(x, y, z) = (xyz)2 e h 6= 0 calcule: (a) f(0, 0, 0) (b) f(x, x, x) (c) f(y, z, z)

(d) f(x+ h, y, z)− f(x, y, z)

h (e)

f(x, y + h, z)− f(x, y, z) h

(f) f(x, y, z + h)− f(x, y, z)

h

4. Determine e esboce Dom(f) se:

(a) f(x, y) = √ x− y x+ y

(b) f(x, y) = x2 − y2

x− y (c) f(x, y) =

x+ y xy

(d) f(x, y) = 16− x2 − y2

(e) f(x, y) = |x| exp ( y x

) (f) f(x, y) =

√ |x| − |y|

(g) f(x, y) = x− y

sin(x)− sin(y) (h) f(x, y) =

√ y − x+

√ 1− y

(i) f(x, y, z) = xyz − x4 + x5 − z7 (j) f(x, y, z) = sin ( x2 − y2 + z2

) (k) f(x, y, z) =

y

xz (l) f(x, y, z) = x2 sec (y) + z

(m) f(x, y, z) = ln ( x2 + y2 + z2 − 1

) (n) f(x, y, z) =

√ z − x2 − y2

(o) f(x, y, z) = 4 √ z2 − y2 − x2

(p) f(x, y, z) = √ 400− 16x2 − 25y2 − 100z2

5. Esboce as curvas de ńıvel de f , para os seguintes c: (a) f(x, y) =

√ 100− x2 − y2 c = 0, 2, 4, 6, 8, 10.

(b) f(x, y) = √ x2 + y2 c = 0, 1, 2, 3, 4.

(c) f(x, y) = 4x2 + 9y2 c = 0, 2, 4, 6. (d) f(x, y) = 3x− 7y c = 0,±1,±2.

(e) f(x, y) = x2

y2 + 1 c = 0,±1,±2,±3.

(f) f(x, y) = (x− y)2 c = 0, 1, 2, 3. (g) f(x, y) = ln

( x2 + y2 − 1

) c = 0,±1,±2.

(h) f(x, y) = x

x2 + y2 + 1 c = ±1,±2,±3.

(i) f(x, y) = exp ( x2 + y2

) c = 0,±1,±2.

6. Esboce as superf́ıcies de ńıvel de f , para os seguintes c:

1 docsity.com

(a) f(x, y, z) = −x2 − y2 − z2 c = 0,±1,±2. (b) f(x, y, z) = 4x2 + y2 + 9z2 c = 0,±12 ,±1. (c) f(x, y, z) = x2 + y2 + z c = 0,±1,±2. (d)f(x, y, z) = x− y2 + z2 c = 0,±1,±2.

7. Seja u ∈ Rn, n = 2 ou n = 3. Uma função f(u) é dita homogênea de grau m ∈ Z, se para todo t > 0, f(tu) = tmf(u). Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau:

(a) f(x, y) = 3x2 + 5xy + y2 (b) f(x, y) = 2

x2 + y2

(c) f(x, y) = √ x2 + y2 sin

(y x

) (d) f(x, y, z) =

x

y3 +

y

z3 +

z

x3

(e) f(x, y) = 1

x+ y + z (f) f(x, y) = x2 exp

( −y x

)

8. Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de ńıvel de f : (a) f(x, y) = 2− x− y (b) f(x, y) = x2 + 4y2 (c) f(x, y) = |y| (d) f(x, y) = 2x2 − 3y2 (e) f(x, y) =

√ 9x2 + 4y2 (f) f(x, y) = exp

( −x2 − y2

) (g) f(x, y) = 1−

√ x2 + y2 (h) z = 1 + y2 − x2

(i) z = y2 (j) z = √ 1 + y2 + x2

(k) z = y3 (m) z = sin(x)

9. Seja f(x, y) = 4y

1 + y2 .

(a) Determine o domı́nio e o conjunto imagem de f . (b) Qual o valor máximo de f e em que ponto ocorre? (c) Faça um esboço do gráfico de f . (d) Calcule f

( 3, tan π8

) .

10. Seja f(x, y) = 5 + √ 1− x2 − y2.

(a) Dê o domı́nio de f . (b) Descreva o conjunto imagem de f . (c) Esboce o domı́nio de f . (d) Esboce o gráfico de f .

11. Mostre que o gráfico de f(x, y) = sin(x+ y)+ cos(x+ y) é uma superf́ıcie limitada por planos paralelos. Qual é a menor distância entre dois planos paralelos que limitam a superf́ıcie?

12. Nos seguintes problemas calcule o limite de f(x, y) de quando (x, y) tende a (0, 0), ao longo de cada um dos caminhos indicados.

(a) f(x, y) = 5xy2

x2 + y2 (i) ao longo do eixo x; (ii) ao longo do eixo y; (ii) ao longo da reta y = 5x; (iv) ao longo da parábola y = x2.

2 docsity.com

(b) f(x, y) = xy

x2 + y2 (i) ao longo do eixo x; (ii) ao longo do eixo y; (ii) ao longo da reta y = x; (iv) ao longo da reta y = mx.

(c) f(x, y) = 3x4y4

(x4 + y2)3

(i) ao longo do eixo x; (ii) ao longo do eixo y; (ii) ao longo da reta y = x; (iv) ao longo da curva y = x4.

13. Use a ”Regra dos dois caminhos” para mostrar que os limites indicados abaixo não existem:

(a) lim (x,y)→(1,2)

(−2x+ y)2

(x− 1) (y − 2) (b) lim

(x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2

(c) lim (x,y)→(0,0)

x− y x2 + y

(d) lim (x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2

(e) lim (x,y)→(0,0)

x3y

x5 + y3

14. Mostre que:

(a) lim (x,y)→(0,0)

arctg (

1 x2 + y2

) =

π

2 . (b) lim

(x,y)→(0,0)

3x3 − 2y3

x2 + y2 = 0

(c) lim (x,y,z)→(0,0,0)

( x2 + y2

) z

7 (x2 + y2 + 4z2) = 0 (d) lim

(x,y)→(0,0)

sen (2x+ 6y) x+ 3y

= 2

(e) lim (x,y)→(0,0)

x arctg (

1 x2 + y2

) = 0 (f) lim

(x,y)→(0,0)

cos (xy)− 1 x

= 0.

15. Mostre que a função

f(x, y) =

{ xy x2 + y2

, se (x, y) 6= (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0)

não é cont́ınua na origem (0, 0).

16. Dada a função f(x, y) = x2 + y2 se x2 + y2 ≤ 1, e f(x, y) = 0 se x2 + y2 > 1, faça um esboço do gráfico de f e determine em que pontos f é cont́ınua.

17. A função f(x, y) = sen √ x2 + y2 − 1 se x2 + y2 ≥ 1, e f(x, y) = 1 se x2 + y2 < 1 é cont́ınua

no ponto (1, 0)? Justifique sua resposta.

18. Dada a função f(x, y) = x2 + y2 + 7 se x2 + y2 ≤ 4, e f(x, y) = k se x2 + y2 > 4. Determine o valor de k de modo que f seja cont́ınua.

3 docsity.com

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