Cálculo III Lista 4 - Exercícios - Cálculo III, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Cálculo III Lista 4 - Exercícios - Cálculo III, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o cálculo.
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(Microsoft Word - MAT 241 - C\341lculo III Lista 4 _New_.doc)

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática

MAT 241 – Cálculo III (4 a Lista de Exercícios)

1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.

a) dxdyyx y

y

221

0 ∫∫ ; b) dydxyx xa

xa

a

a )(

22

22 +∫∫

−−− ; c) dxdyedxdye yx

yyx

y

+−+ − ∫∫∫∫ +

1

0

1

0

0

1

1

0

d) dydxyx x

322

0 1+∫∫ ; e) dydxe

y

x

222

0

− ∫∫ ; f) dxdyxy

211

0 sen∫∫ ; g) dxdyxx

y sen

42

0 2∫∫ .

Resp. a) 54/1 b) 0 c) 2/12/ ee + d) 9/26 e) 42/12/1 e− f) 2/)1cos1( − g) 4cos44 −sen

2. Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.

a) 1,,0, ==== xxyzxyz (primeiro octante); b) 0,2222 >=++ aazyx .

c) 1,1 2222 =+=+ zyzx (primeiro octante); d) 0,2,0, 1

1 2

≥== +

= yxx y

z .

Resp. a) 8/1 b) 3/4 3aπ c) 3/2 d) π

3. Calcule, em coordenadas polares. a) dydx x

yarctg x

∫∫ − 29

0

3

0 ; b) dydxxy

xx

∫∫ − 22

0

2

0 ; c) dxdyx

yy 24

0

4

0

2

∫∫ −

.

Resp. a) 16/9 2π b) 3/2 c) π2 4. Escreva a soma das duas integrais como uma única integral dupla usando coordenadas polares e calcule.

dydxyx x 22

0

2

0 +∫∫ + dydxyx

x

∫∫ − +

28

0

2222

2 . Resp. 3/24 π

5. Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume de uma esfera de raio a .

Resp. 3/4 3aπ

6. Encontre k de modo que o volume dentro do hemisfério 2216 yxz −−= e fora do cilindro 222 kyx =+ seja

a metade do volume do hemisfério. Resp. 3 2242 −

7. Calcule o volume do elipsóide dado por 1 2

2

2

2

2

2

=++ c

z

b

y

a

x , onde 0,, >cba . Resp. abcπ

3

4

8. Calcule a integral tripla ∫∫∫ Q

dVzxy 3212 na caixa retangular { }20,30,21/),,( 3 ≤≤≤≤≤≤−∈= zyxRIzyxQ Resp. 648.

9. Seja Q a cunha no primeiro octante seccionada do sólido cilíndrico 122 ≤+ zy pelos planos xy = e 0=x .

Calcule ∫∫∫ Q

dVz . Resp. 8

1 .

10. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro 922 =+ yx e entre os planos 1=z e 5=+ zx . Resp. π36 .

11. Reescreva a integral ∫∫∫ −−− 4/)6312(

0

2/)4(

0

4

0

yxx dzdydx na ordem dydxdz . Resp. ∫ ∫ ∫

− −−3

0

3

4 4

0

6/)4312(

0

z zx

dzdxdy .

12. Em cada caso, use a mudança de variáveis indicada para calcular a integral dupla dada.

a) ∫∫ == +

R Ruvyuxdydx

x

yx )4,4(),0,4(),0,0(emvérticescomtriângulo:,,, .

b) ∫∫ ====== R

yyxyxyRvyvuxdydxxyy 4,1,4,1 de gráficos os entre região:,,/,sen .

Resp. a) 9/)122(32 − b) )4cos1(cos3 −

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13. Considere a região R no plano xy dada por 1 2

2

2

2 =+

b

y

a

x e a transformação bvyaux == , . Esboce a região R

e sua imagem inversa S sob essa transformação, e encontre ),(/),( vuyx ∂∂ . Resp. ab

14. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pela superfície 2216 yxz −−= e inferiormente pela região

elíptica 19/16/ 22 ≤+ yx . Resp. 2/)4 4

1 223( sensen ++

15. Calcular, por dupla integração, a área da região acima do eixo ,x limitada pela parábola semi-cúbica 32 xy = e a reta xy = , (a) integrando primeiro em relação a ;x (b) integrando primeiro em relação a y . Resp. .10/1

16. Achar o volume do sólido limitado pela superfície cilíndrica 22 aazx =+ e os planos .0,0, ===+ zyayx

Resp. 3/2 3a .

17. Descrever a imagem da circunferência 222 ayx =+ pela transformação ),4/(),(),(: yxvuyxT =→ .

Resp. A circunferência 222 ayx =+ é levada na elipse

( ) 1

4 2

2

2

2

=+ a

v

a

u .

18. Descrever as imagens das retas cx = pela transformação ),cos(),(: senyeyeyxT xx→ e fazer gráficos.

Resp. A reta cx = é levada na circunferência 222 )( cevu =+ .

19. Calcule o volume acima do cone 222 yxz += e dentro da esfera zzyx =++ 222 . Resp. 8/π

20. Calcule o volume do sólido compreendido entre os parabolóides 22 55 yxz += e 2276 yxz −−= .Resp.

2

21. O volume V abaixo do parabolóide hiperbólico xyz = e acima de uma região R no plano xy é dado por

dydxxydydxxyV yy

∫∫∫∫ −

+= 2

0

2

10

1

0 . Esboce a região R no plano xy, expresse V como uma integral dupla na

qual a ordem de integração é invertida e calcule V . Resp. 3/1 . 22. Calcule o volume do sólido que é a imagem de uma bola de raio a pela transformação linear representada pela

matriz

  

  

 −

700

520

111

. Resp. 3/56 3aπ

23. Calcule ∫∫∫ D

dVz onde D é o tetraedro de vértices )1,0,1(),0,0,1(),0,1,1(),0,0,0( . Resp. 24/1

24. Use coordenadas cilíndricas para calcular ,22 dzdydxyxz S

∫∫∫ + onde S é a metade do cone circular reto de

vértice ),0,0( h e base 222 ayx ≤+ compreendido no lado direito do plano 0=y . Resp. 60/23haπ .

25. Expresse dxdydzzyx x yx

∫ ∫∫ − −− ++

2 229

0

32229

0

3

0 )( em coordenadas esféricas e calcule.

Resp. 2/2187π .

26. Prove que 2

1

)(

1

0 3

1

0 =

+

− ∫∫ dxdy

yx

yx . E se a integração for primeiro em x ? Sugestão: )(2 yxxyx +−=− .

27. Achar o volume removido quando se abre um furo de raio a numa esfera de raio a2 , sendo o eixo do furo um

diâmetro da esfera. Resp. 3/)338(4 3πa− .

28. Sendo R a região limitada pelas retas 1,0, === xyxy , calcule a integral dupla ∫∫ ++R yx

dydx 2/322 )1( .

29. Calcule o volume do sólido S, no primeiro octante, limitado pela esfera 4=r , pelos planos coordenados, o cone

6

π =Φ e o cone

3

π =Φ .

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