Calculo Numerico na China - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
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Carnaval20006 de Março de 2013

Calculo Numerico na China - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o calculo numerico na China, principais períodos da história chinesa, regras.
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MATEMÁTICA CHINESA

Para que o leitor se situe no tempo em relação à história da matemática chinesa vamos resumir os principais períodos da história chinesa anterior a 1644:

- Período Shang (c. de 1550 –1027 a. C).

- Período Chou (1027 – 221 a. C) considerado pelos chineses como sua era clássica;

- Dinastia Chin ( 221 – 206 a.C);

- Dinastia Han (206 a.C –221 d.C);

- Dinastia pós- Han (221 –c. 600); implantação do budismo

- Dinastia Tang (618- 960); invenção da imprensa

- Dinastia Sung(960- 1279);

- Dinastia Yuan ( 1279- 1368);

- Dinastia Ming ( 1368- 1644)

Embora as civilizações da China antiga sejam provavelmente posteriores à civilização egípcia e babilônica, muito pouco material de natureza primária oriundo delas chegou até nós. Isso em virtude de os povos da época, com certeza, fazerem muitos de seus registros em bambu, uma material perecível. Além disso, o egoísta imperador Shi Huang – Ti, com o objetivo de se tornar conhecido como o mais inteligente de todos os imperadores, ordenou em 213 a.C a queima de todos os livros de matemática. Seu plano era que queimando os livros os sábios com certeza escreveriam novos livros, e como os antigos haviam sido destruídos, todos pensariam que a Matemática teria sido inventada em seu reinado (outra versão é a de que o imperador ordenou a destruição de todos os livros do país, bem como a execução em praça pública daqueles que se achassem intelectuais, porque se o gosto pela leitura se expandisse, em breve não existiria mais ninguém disposto a plantar arroz nas margens do rio Amarelo). A despeito de ameaças e represálias severas, o objetivo do imperador não foi levado a efeito completamente; mas como muito dos livros queimados foram reconstituídos de memória, hoje há dúvidas sobre a autenticidade de grande parte do material bibliográfico que se alega ser anterior àquela data infeliz. Por conseqüência, muito de nosso conhecimento sobre a matemática chinesa primitiva baseia-se em informações orais e interpretações posteriores de textos originais.

O estudo da antiga matemática chinesa também é dificultado pela falta de traduções e todos nós, que não somos sábios chineses ou apenas chineses, temos de nos contentar com as informações que se podem conseguir nos livro publicado em 1913 pelo matemático japonês Yoshio Mikami ou no publicado em 1959 por J. Needham ou então em artigos especiais.

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Um relato da história da matemática chinesa antiga começa no período Shang, com algumas inscrições em ossos e carapaças de tartarugas que revelam um sistema de numeração decimal bastante próximo do antigo sistema multiplicativo chinês- japonês. A matemática chinesa girava em torno de cálculos e as operações aritméticas elementares eram efetuadas em tábuas de contar: o familiar ábaco chinês

O mais importante dos textos de matemática chinesa antiga é o Chui-Chang Suan-Shu ou Nove Capítulos sobre a Arte Matemática, de Chuan Tsanom (200 a.C) que data do período Han. Nele estão estabelecidos os traços da matemática antiga da China. A matemática dos Nove Capítulos consiste principalmente num conjunto de problemas aplicados com regras gerais para a sua solução. O trabalho, que é rico em conteúdo, consta de 246 problemas sobre agricultura, procedimentos em negócios, engenharia, agrimensura, resolução de equações e propriedades de triângulos retângulos. São dadas regras de resolução, mas não há demonstrações no sentido grego.

Um resumo do conteúdo de cada um dos capítulos é dado a seguir:

1. Questões de agrimensura, com regras corretas para as áreas do triângulo, do trapézio e do círculo onde ( era considerado com o valor 3;

2. Porcentagem e proporção;

3. Regra de sociedade e regra de três;

4. Determinação de lados de figuras, incluindo cálculos de raízes quadradas e cúbicas;

5. Volumes;

6. Problemas de movimento e ligas;

7. A regra da falsa posição;

8. Sistemas de equações lineares e procedimentos matriciais onde aparecem os números negativos pela primeira vez;

9. Triângulos retângulos pitagóricos.

Outro livro famoso, talvez mais antigo do que os Nove Capítulos é o Chou Pei Suang Ching que trata parcialmente de matemática e que só tem interesse porque contém uma discussão do teorema de Pitágoras.

No período pós-Han vamos encontrar muitos matemáticos dedicados à tarefa de calcular (, a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo. Credita-se a um general do século III, chamado Wang Fan, a aproximação racional [pic]= 3,155 de (; Um contemporâneo de Wang Fan, chamado Liu Hui, escreveu um breve comentário sobre Os Nove Capítulos onde descobriu através de polígonos regulares inscritos e circunscritos que 3,14010 < ( < 3,1427. Cerca de dois

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séculos mais tarde, Tsu Ch’ung-Chih (430-501) e seu filho, em um livro de autoria dos dois e que se perdeu, encontraram

3, 1415926 < (< 3,1415927 e também as aproximações racionais [pic] sendo que esta última aproximação, que fornece ( corretamente até a sexta casa decimal, só foi redescoberta na Europa em 1585.

Durante a dinastia Tang reuniu-se uma coleção dos mais importantes livros de matemática disponíveis, para uso oficial nos exames imperiais. Foi nesse período que começou a imprensa, embora os primeiros livros de matemática impressos que se tem conhecimento datem de 1084 em diante. Em 1115, durante a dinastia Sung, apareceu uma edição impressa dos Nove Capítulos. Num trabalho escrito por Wang Hs’iao-t’ung, por volta de 625, encontra-se a primeira equação cúbica da matemática chinesa mais complicada do que x3 = a, dos Nove Capítulos. Mas o período de maior desenvolvimento da matemática chinesa foi o da dinastia Sung e os primeiros anos da dinastia Yuan. Entre as figuras principais encontramos Ch’in Kiu-shao (cujo livro é de 1247) que desenvolveu a teoria das equações indeterminadas. Ele foi o primeiro chinês a dar um símbolo para o zero: uma circunferência. Foi um dos matemáticos que generalizaram o método de extração de raízes (método fan-fa) para equações de grau elevado como, por exemplo, – x4 + 763200x2 – 40642560000 = 0, de uma maneira que leva ao método numérico de resolução de equações algébricas hoje conhecido como método de Horner, uma vez que foi descoberto de forma independente pelo matemático inglês Willian George Horner (1786-1837) em 1819.

Outro matemático do período Sung é Yang Hui (com livros datados de 1261 a 1275) que trabalhou com frações decimais e as escreveu de uma forma que nos recorda os métodos atuais. Devemos a ele também a primeira representação existente do triângulo de Pascal que encontramos mais uma vez num livro de cerca de 1303, escrito por Chu Shï-kié (cujos livros datam de 1299 a 1303) considerado o mais importante deste grupo de matemáticos. Nos livros de Chu encontra-se a apresentação mais acabada dos métodos aritmético-algébricos chineses de que se tem conhecimento. Ele utilizava os métodos matriciais comuns hoje em dia e os estendeu as equações lineares algébricas e equações de grau superior em várias incógnitas.

No período posterior à dinastia Sung, a atividade matemática continuou, mas pouca coisa, fundamentalmente nova, se produziu em termos matemáticos. Nos primeiros tempos do período Tang nota-se a influência hindu; e nos últimos tempos do período Yuan encontram-se traços árabes. Há muito pouco na matemática chinesa antiga que se vincule diretamente à ocidental (grega ou latina). A influencia ocidental só se torna perceptível nos matemáticos do período Ming, depois da chegada dos jesuítas na China.

COMENTÁRIOS

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O método fan-fa (ou fan-fan) (fazer até aparecer) é um método baseado em aproximações sucessivas e era utilizado na resolução de equações polinomiais. Vejamos a aplicação do método na resolução da equação x2 – x = 20.

O método chinês consiste em “chutar” um número como raiz (positiva) da equação. Vamos chutar 3. Então a solução verdadeira era escrita por x = 3 + d, onde a letra d representa a diferença entre a solução verdadeira (x) e a arbitrária (3).

Temos então:

• x1 = 3 + d

• (3 + d)2 – (3 + d) = 20 ( 9 + 6d + d2 – 3 – d = 20 ( d2 + 5d = 14

• x1 = 3 + [pic]= 3 + 2,33 = 5,33

“repetiam o cálculo até que aparecesse (fan-fa) um número cujo valor não se modificasse (convergência). Esse número era a solução desejada”

• x2 = 5,33 + d

• (5,33 + d)2 – (5,33 + d) = 20 ( 28,41 + 10,66d + d2 –5,33 – d = 20 ( d2 + 9,66 d = - 3,08

• x2 = 5,33 + [pic] = 5,33 – 0,29 = 5,04

• x3 = 5,04 + d

• (5,04 + d)2 – (5,04 +d) = 20 ( 25,40 + 10,08 d + d2 – 5,04 – d = 20 ( d2 + 9,08 d = - 0,36

• x3 = 5,04 + [pic] = 5,04 – 0,04 = 5

• x4 = 5 + d

• (5 + d)2 – (5 + d) = 20 ( 25 + 10 d + d2 – 5 – d = 20 ( d2 + 9d = 0

• x4 = 5 + [pic]= 5 (convergiu)

ATIVIDADES

1. Resolva o problema 1, Capítulo VIII tirado dos Nove Capítulos sobre a arte da Matemática : “Três feixes de uma colheita de boa qualidade, dois feixes de uma de qualidade regular e um feixe de uma de má qualidade são vendidas por 39 dou. Dois feixes de boa, três de regular e um de má são vendidos por 34 dou.Um feixe de boa, dois de regular e três de má são vendidos por 26 dou. Qual o preço do feixe para cada uma das qualidades”?

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2. Resolva este problema chinês de 152 a.C.: “ Nove lingotes de ouro pesam tanto quanto 12 lingotes de prata. Se trocarmos um lingote de ouro por um lingote de prata, então entre o peso do ouro e o da prata haverá uma diferença de 4. Quanto pesa um lingote de ouro e um de prata?”

3. Resolva este problema chinês do cento de aves: “ Se um galo vale 5 yuan, uma galinha vale 3 e três frangos valem 1, quantos de cada um se podem comprar com 100 yuan, de modo que sejam 100 aves ao todo e pelo menos 4 galos”.

4. Nenhuma abordagem da matemática chinesa antiga pode deixar de mencionar o quadrado mágico Io- shu. Um dos clássicos matemáticos chineses mais antigos é o I-King ou Livro das Permutações. Nele aparece um diagrama numérico denominado quadrado mágico com o qual muitas lendas estão relacionadas.

Um quadrado mágico de ordem n é um quadrado dividido em n2 celas, nas quais se colocam n2 números inteiros distintos dispostos de maneira tal que os números de uma linha qualquer, de uma coluna qualquer ou das duas diagonais tem mesma soma chamada constante mágica do quadrado. O quadrado mágico se diz normal se os n2 números que o formam são os n2 primeiros números inteiros positivos.

a) Preencha o quadrado mágico de ordem 3, sabendo-se que ele é normal e que sua constante mágica é igual a 15.

b) Mostre que a constante mágica de um quadrado mágico de ordem n normal é [pic];

c) Construa um quadrado mágico de ordem 5.

5) Use o método fan-fa para resolver as equações:

a) x2 – 3x = 0 b) x2 – 2 = 0 c) x3 – 27 = 0

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