Cálculo para funções de uma variável real I - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20008 de Março de 2013

Cálculo para funções de uma variável real I - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Cálculo para funções de uma variável real.
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MAT1351 - Cálculo para Funções de uma Variável Real I

Licenciatura Noturno - IME/USP

Lista de exerćıcios 1

01/03/2011

1. Resolva e represente a solução sobre a reta real:

a) |x− 2| = |x− 7| b) |x− 1| < 3

c) |x− 1| > 3 d) |x− a| < b

2. Esboce o gráfico das seguintes funções utilizando translações e homotetias:

a)f(x) = (x− 3)2 b)f(x) = |x+ 2| − |2x− 1|

c)f(x) = 2− (x− 3)2 d)f(x) = ∣∣∣∣ 1x− 2

∣∣∣∣

3. Resolva utilizando gráficos:

a) |x− 5| ≤ 5 b) |x+ 2| |x− 1| > 3

c) |x− 4| |x+ 4| = 8 d) |x+ 2| < 1 + |2x− 1|

e) |2x− 1| < ∣∣∣∣ 1x− 2

∣∣∣∣ f) |x2 − 2x| > 2 |x|+ 1 g)

∣∣∣∣2x+ 13x− 4 ∣∣∣∣ > 2 h)(2x− 1)(x+ 3)(1− 2x) > 0

4. Represente graficamente as funções:

a)f(x) = max{(x− 1)2, (x+ 1)2}

b)f(x) = x+ |x|

2

c)f(x) = x− |x|

2

5. Seja f : IR→ IR uma função. Defina funções u e v por:

u(x) = f(x) + |f(x)|

2 , v(x) =

f(x)− |f(x)| 2

.

Mostre que u(x) ≥ 0, v(x) ≤ 0, para todo x ∈ IR e que f(x) = u(x) + v(x).

1

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6. Represente graficamente os seguintes subconjuntos do plano:

a){(x, y)/x2 − y2 = 0} b){(x, y)/x− y2 = 0}

c){(x, y)/y = x |x|} d){(x, y)/x = y |y|}

e){(x, y)/x+ y = 1} f){(x, y)/ |x|+ |y| = 1}

g){(x, y)/ |x− 1|+ |y| = 1} h){(x, y)/x2 + y2 < a2}

i){(x, y)/ |x− 1|+ y = 1} j){(x, y)/xy ≥ 0}

k){(x, y)/ax2 − by2 = 0}

7. No exerćıcio 6, decida quais são gráficos de uma função y = f(x), de uma função x = g(y) e quais não o são.

8. Determine √

3 até a quarta casa decimal.

9. Mostre que √

7 é irracional.

10. Mostre que |a+ b| = |a|+ |b| se, e somente se, ab ≥ 0.

11. Justifique porque a

b + c

d = ad+ bc

bd .

12. Verifique as seguintes desigualdades para  > 0 e a > 0:

a) |(2 + )2 − 4| ≤ 4 ||+ ||2

b) |(a+ )2 − a2| ≤ 2 |a| ||+ ||2

c) ∣∣∣√2 + −√2∣∣∣ ≤ ||√

2

d) ∣∣∣√a+ −√a∣∣∣ ≤ ||√

a

e) ∣∣∣∣ 12 +  − 12

∣∣∣∣ ≤ ||4 f)

∣∣∣∣ 1a+  − 1a ∣∣∣∣ ≤ ||a2

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