Cálculo para funções de uma variável real I Lista 3 - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20008 de Março de 2013

Cálculo para funções de uma variável real I Lista 3 - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Cálculo para funções de uma variável real.
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MAT1351 - Cálculo para Funções de uma Variável Real I

Licenciatura Noturno - IME/USP

Lista de exerćıcios 3

02/06/2011

1. Calcule os limites:

a) lim x→0

sen2x

x b) lim

x→0 x2cos

( x2 + 5x+

1

x

)

c) lim x→0

sen3x

sen4x d) lim

x→0

tgx

x

e) lim x→1

alnx − x lnx

f) lim x→0

1− cosx x

g) lim x→0

1− cosx x2

h) lim x→3

(x− 3) cossecπx

i) lim x→0

6x− sen2x 2x+ sen4x

j) lim x→0

cos2x− cos3x x2

2. Calcule f ′ (x) nos seguintes casos:

a)f(x) = x2 + x+ 1

senx+ cosx b)f(x) =

√ xsenx c)f(x) = cotgx

d)f(x) = cos(sen2x) e)f(x) = sen (3 + 5cosx)2 f)f(x) = sen (3 + 5cos2x)

g)f(x) = √

1 + cos4x2 h)f(x) =

√ x2 − 5

sen2x+ √ tgx

i)f(x) = x5 √

1 + x

1 + cos2x

j)f(x) = ex √ x k)f(x) = ln(lnx) l)f(x) = 3xlnx

m)f(x) = lnx

x+ x3 n)f(x) = esen2x o)f(x) = arctgx2

p)f(x) = arcsen(2x+ √ x) q)f(x) = arcsec3x+ 5 r)f(x) = arccos (ex)

3. Determine um polinômio p(x) de grau 2 tal que p(2) = 5, p ′ (2) = 3 e p

′′ (2) = 2.

4. Se xy3 + xy = 6, calcule dy

dx (3).

5. Seja y = eαx, onde α é uma ráız da equação λ2 + aλ+ b = 0 (com a e b constantes). Mostre que d2y

dx2 + a

dy

dx + by = 0.

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6. Seja g : IR→ IR uma função derivável até a segunda ordem. Considere f(x) = exg (3x+ 1). Calcule f

′′ (0), sabendo-se que g(1) = g

′ (1) = g

′′ (1).

7. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (0, 3) e que é tangente à circunferência com centro na origem e raio igual a 1.

8. Calcule a segunda derivada da função:

f(x) =

{ x2sen

1

x , x 6= 0

0, x = 0

9. Para as funções abaixo, decida em que intervalos elas são inverśıveis e esboce, em cada caso, o gráfico de f e de sua inversa em um mesmo par de eixos.

a)f(x) = 1

x + 2 b)f(x) = x2 − 5x+ 6

c)f(x) = x |x| d)f(x) = |5x− 1| 2− x

10. Suponha que f é inverśıvel e que f(ab) = f(a) + f(b).

a) Mostre que f(1) = 0.

b) Mostre que f−1(4) = 104 sabendo que f(10) = 1.

11. a) Mostre que a função r(x) = 1

x é inverśıvel e encontre sua inversa.

b) Mostre que se f e g são inverśıveis, então f ◦ g é inverśıvel e (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1.

c) Mostre que f(x) = 2x+ 2

x− 1 é inverśıvel e encontre sua inversa.

d) Seja f(x) = ax+ b

cx+ d , onde ad − bc 6= 0, l(x) = cx + d, r(x) = bc− da

cx , v(x) =

a

c + x. Mostre que

f = v ◦ r ◦ l e conclua que f é inverśıvel. Encontre a inversa de f .

e) O que acontece se ad− bc = 0?

f) O que acontece se c = 0?

12. Considere a parte da curva y = 1

x que fica no primeiro quadrante e desenhe a tangente num ponto

arbitrário (x0, y0) dessa curva.

a) Mostre que a porção da reta tangente compreendida entre os eixos tem como ponto médio o ponto de tangência.

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b) Ache a área do triângulo formado pelos eixos e pela tangente e verifique que essa área é independente da localização do ponto de tangência.

13. Seja p uma constante positiva e considere a parábola x2 = 4py com vértice na origem e o foco no ponto (0, p), como é mostrado na figura abaixo (à esquerda). Seja (x0, y0) um ponto dessa parábola, diferente do vértice.

a) Mostre que a tangente em (x0, y0) tem coeficiente linear −y0.

b) Mostre que o triângulo com vértices (x0, y0), (0,−y0) e (0, p) é isósceles.

c) Suponha que uma fonte de luz seja colocada no foco e que cada raio de luz deixando o foco seja refletido pela parábola de tal modo que ele forme ângulos iguais com a reta tangente no ponto de reflexão (o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão). Use b) para mostrar que, após a reflexão, cada raio aponta verticalmente para cima, paralelo ao eixo y (figura abaixo, no meio) 1.

14. Use a propriedade da reflexão das parábolas para mostrar que as duas tangentes a uma parábola nas extremidades de uma corda que passa pelo foco são perpendiculares entre si.

15. a) Mostre que y = x2+a/x tem um mı́nimo, mas não um máximo para qualquer valor da constante a.

b) Determine o ponto de inflexão de y = x2 − 8/x.

16. Encontre a e b tais que y = a √ x+

b√ x

tenha (1, 4) como um ponto de inflexão.

17. Mostre que a curva cúbica genérica y = ax3 + bx2 + cx + d tem um único ponto de inflexão e três formas posśıveis, conforme seja b2 > 3ac, b2 = 3ac ou b2 < 3ac. Esboçe essas formas.

18. Mostre que qualquer polinômio de grau ı́mpar n ≥ 3 tem pelo menos um ponto de inflexão.

1Essa é a chamada propriedade de reflexão das parábolas. Para formar uma ideia tridimensional da maneira como essa propriedade é usada no design de holofotes e faróis de automóvel, temos apenas de imaginar um espelho constrúıdo, girando- se uma parábola ao redor de seu eixo e prateando o lado interno da superf́ıcie resultante. Tal refletor parabólico pode ser também usado ao contrário (figura acima, à direita) para juntar os raios fracos, que chegam paralelos ao eixo, e concentrá-los no foco. Este é prinćıpio básico das antenas de radar, radiotelescópios e telescópios ópticos refletores.

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19. Esboce os gráficos das seguintes funções, indicando os intervalos em que cada função é crescente, decrescente, côncava para cima e côncava para baixo. Localize os pontos de inflexão e todos os valores máximos ou mı́nimos que existirem.

a)f(x) = x4 − x2 b)f(x) = 2x3 − 3x2 + 1 c)f(x) = x+ 1 x

d)f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2 e)f(x) = 2x+ 1 x2

f)f(x) = x2

x− 3

g)f(x) = x2

x2 + 9 h)f(x) = (x+ 1)1/3 i)f(x) = x

√ 3− x

j)f(x) =

{ x2, x ≤ 1 1− (x− 1)2 , x > 1

20. Considere a função f(x) = xm (1− x)n, onde m e n são inteiros positivos, e mostre que:

a) se m é par, f tem um mı́nimo em x = 0;

b) se n é par, f tem um mı́nimo em x = 1;

c) f tem um máximo em x = m

m+ n , independente de m e n serem pares ou não.

21. Esboce o gráfico de uma função f(x) definida para x > 0 e tendo as propriedades: f(1) = 0 e

f ′ (x) =

1

x (para todo x > 0).

22. Encontre o ponto sobre a parábola y2 = 2x mais próximo de (1, 4).

23. Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obra através do rio é de R$640, 00 por metro, enquanto, em terra, custa R$312, 00. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável?

24. Um certo cartaz deverá ter 600cm2 para a mensagem impressa; deve ter 7, 5cm de margem no topo e na base e uma margem de 5cm em cada lado. Determine as dimensões totais do cartaz para que a quantidade de papel usada seja mı́nima.

25. Um arame deve ser cortado em duas partes, uma delas será dobrada em forma de quadrado e a outra em forma circular. Determine como cortar o arame de forma que a soma das áreas delimitadas seja mı́nima.

26. Mostre que o quadrado tem a maior área dentre todos os retângulos inscritos numa dada circunferência x2 + y2 = a2.

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27. Um homem num barco que dista 9km da praia deve chegar a um ponto que dista 15km do local da praia mais próximo ao seu barco. Sabendo que sua velocidade na água é 4km/h e na terra é 5km/h, determine o caminho a ser feito por ele para que gaste menor tempo.

28. Retirando-se quadrados iguais dos cantos de uma folha quadrada de metal e unindo as bordas podemos fazer uma caixa. Se a folha de metal tem 1, 20 metros de lado, encontre as dimensões da caixa de modo a obter o maior volume posśıvel.

29. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 e 4, se os lados do retângulo estiverem apoiados sobre os catetos.

30. 2 Sejam 0 < a ≤ x ≤ b.

a) Usando a definição de ln, prove que

lnb− lnx ≤ b− x x

e lnx− lna ≥ x− a x

.

(Estude os casos: 1 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 < a ≤ x ≤ b ≤ 1, 0 < a < 1 ≤ x ≤ b e 0 < a ≤ x < 1 ≤ b.)

b) Usando a) conclua que

lnb− lnx lnx− lna

≤ b− x x− a

.

c) Usando b) conclua que

lnb− lna lnx− lna

≤ b− a x− a

(Observe que lnb− lna = lnb− lnx+ lnx− lna).

31. Uma função f : I → IR, definida num intervalo I, chama-se côncava quando para quaisquer pontos a e b em I, com a < b, tem-se

f(x) ≥ f(a) + x− a b− a

[f(b)− f(a)] , ∀x ∈ [a, b] .

a) Dados a, b em I, com a < b, seja r a reta que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)). Escreva a equação da reta r e interprete geometricamente a desigualdade acima.

b) Prove que a função ln é côncava. (Sugestão: Utilize o exerćıcio 30).

2Os exerćıcios 30 e 31 são, respectivamente, os exerćıcios 14 e 15 do livro Logaritmos do Elon Lages Lima, IMPA-VITAE.

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