Baixe Vectores y Operadores Vectoriales e outras Notas de estudo em PDF para Geodésia e Cartografia, somente na Docsity! CIII©M. A. M o n g e Caṕıtulo 1 Visita rápida a las Matemáticas. El cálculo vectorial alcanzo su pleno desarrollo gracias a Jovial Gibbs, que en su libro Elements of Vector Analysis (1863) introdujo la notación vectorial más común en la actualidad. La gran claridad en la exposición de conceptos f́ısicos que permite dicho formalismo quedo plasmada por James Clerk Maxwell en su obra maestra Treatise on Electricity and Magnetismo (1873), donde sentó las bases del electromagnetismo clásico. Este caṕıtulo presenta una introducción al cálculo vectorial, integrales de ĺınea y superficie, y sistemas de coordenadas. Tras definir el concepto de vector, se explican las operaciones algebraicas básicas. A continuación se estudian los operadores vectoriales gradiente, divergencia y rotacional. Por último, se desarrollan los teoremas de Green y Stokes. 0 CIII©M. A. M o n g e 1.1 ¿Qué es un vector?. 1 1.1. ¿Qué es un vector?. Si deseamos tener toda la información 60 km/h V Figura 1.1: Para conocer la ve- locidad del viento,~v, no es sufi- ciente con medir su intensidad o módulo, V = 60 km/h, además es necesario conocer su dirección. posible del viento (figura.(1.1)), no solo ne- cesitaremos conocer su intensidad, 60 km/h , además es necesario saber su dirección y sentido. No es lo mismo para un velero que quiere llegar a puerto un viento de 60 km/h hacia el mar que hacia la costa. Existen muchas magnitudes f́ısicas cuya descripción completa exige conocer su in- tensidad y dirección. Una forma de descri- bir un viento a 60 km/h de forma sencilla es mediante una flecha cuya longitud sea pro- porcional a su velocidad y que apunte en la dirección del viento. A estas flechas se las denomina vectores, y a las magnitudes que miden vectoriales. Existen muchas magnitudes f́ısicas que se encuentran completamente determinadas con el valor de su intensidad, por ejemplo la temperatura, T = 25o C. Estas magnitudes se las denominan escalares. Esta forma gráfica de representar un vector, si bien es muy útil para visualizar la situación f́ısica, dificulta la realización de cálculos algebraicos. La forma abreviada de representar un vector es mediante tres números, denominados componentes del vector, que indican cuál es la longitud entre el comienzo y el final del vector en las tres direcciones del espacio. Lo primero que debemos hacer es elegir cuál es la derecha e izquierda, cuál es el arriba y el abajo, y dónde está adelante y atrás. Además, debemos poder medir la longitud de los vectores. Esto es lo que se denomina elegir un sistema de coordenadas, el más simple de los cuales es el cartesiano. La figura.(1.2) muestra la más común de todas las representaciones de un sistema de coordenadas cartesiano. Se elige la derecha, u orientación positiva, como aquella en la que el eje Z tiene el sentido del dedo pulgar de la mano derecha al cerrar el resto de los dedos desde el eje X positivo al eje Y positivo c© M. A. Monge Dpto. F́ısica 2001-2002 Electromagnetismo CIII©M. A. M o n g e 4 Visita rápida a las Matemáticas. ción de las componentes de los dos vectores ~V y ~W , ~V− ~W = (vx−wx, vy−wy, vz−wz) = (vx−wx)~i+(vy−wy)~j+(vz−wz)~k (1.5) 1.2.3. Producto de un vector por un escalar. Los escalares operan sobre los vec- V X Y 1 32 4 5 5 4 3 2 1 6 0 .5 V -1 .5 V 1 .5 V Figura 1.5: Producto de un vector por un escalar: La longitud y senti- do de c ~V dependen del valor de c, manteniendo su dirección. tores estirándolos o contrayéndolos. Aśı, un vector ~V multiplicado por un escalar c da lugar a otro vector ~W con la mis- ma dirección que ~V , pero cuya longitud final es mayor , si |c| > 1, o menor, si 0 < |c| < 1, y cuyo sentido es el mismo si c es positivo y contrario si es negativo ( ver figura.(1.5)). El producto por un escalar consiste en multiplicar todas las componentes del vector por el escalar ~W = c ~V = c vx~i + c vy~j + c vz~k (1.6) 1.2.4. Módulo de un vector. El módulo es la longitud total del V X Y 1 32 4 5 5 4 3 2 1 6 Figura 1.6: El módulo |~V | de las ve- locidades de todos los pájaros es el mismo, aunque su dirección y senti- do sean diferentes. vector. Cuando un vector representa una variable f́ısica, por ejemplo la velocidad, el módulo es su magnitud o intensidad, perdiéndose toda información sobre la dirección o sentido del vector. En la figura.(1.6) todos los pájaros vuelan a la misma velocidad, pero con diferentes direcciones y sentidos. El módulo de un vector ~V se calcula como |~V | = √ v2x + v2y + v2z (1.7) c© M. A. Monge Dpto. F́ısica 2001-2002 Electromagnetismo CIII©M. A. M o n g e 1.2 Operaciones sencillas con vectores. 5 Un vector cuyo módulo es 1 se denomina vector unitario. Es muy sencillo obtener un vector unitario ~U en la dirección y sentido de cualquier otro vector. Es suficiente con dividir dicho vector por su módulo. Por tanto, un vector unitario ~U con la misma dirección y sentido de ~W se obtiene como ~U = ~W | ~W | (1.8) Los vectores ~i, ~j y ~k son vectores unitarios en dirección de los tres ejes cartesianos. Siendo, ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) y ~k = (0, 0, 1). 1.2.5. Producto escalar. El producto escalar de dos vecto- V W X Y 1 32 4 5 5 4 3 2 1 6 Q Figura 1.7: Producto escalar: El pro- ducto escalar de dos vectores ~V y ~W relaciona el módulo de los vectores con el ángulo que forman, ~V · ~W = |~V || ~W | cos (Θ). res ~V y ~W es un escalar que se obtie- ne como la suma del producto de las componentes de los vectores ~V · ~W = vxwx + vywy + vzwz (1.9) Otra forma equivalente de calcular el producto escalar es a partir del ángu- lo que forman los dos vectores Θ ~V · ~W = |~V || ~W | cos (Θ) (1.10) donde Θ es el ángulo entre los dos vec- tores (ver figura.(1.7)). Si los dos vectores son perpendiculares, Θ = 90o, el producto escalar es cero. La última ecuación es muy interesante, ya que nos permite de forma sencilla calcular el coseno del ángulo entre dos vectores, cos(Θ) = ~V · ~W |~V || ~W | (1.11) y por tanto determinar su ángulo Θ. En f́ısica el producto escalar aparece en numerosas ocasiones. Por ejem- plo, si calculamos el trabajo realizado por el carro de la figura.(1.8) para ir c© M. A. Monge Dpto. F́ısica 2001-2002 Electromagnetismo CIII©M. A. M o n g e 6 Visita rápida a las Matemáticas. Figura 1.8: El trabajo realizado por el camello para desplazar el carro de A a B es T = ~d · ~F . F = (0 .8 5 ,2 ) N X (m) Y (m) 1 32 4 5 5 4 3 2 1 6 d Q A B fd desde el punto A al punto B, solo deberemos tener en cuenta la componente de la fuerza ~F que contribuye al desplazamiento del carro ~fd, es decir, la componente en la dirección del desplazamiento, y después multiplicar dicha componente por la distancia d recorrida. El trabajo es por tanto T = |~fd| d. Pero ~fd = |~F | cos(Θ), y si construimos un vector desplazamiento ~d, cuya longitud s a la distancia recorrida y cuya dirección sea la del desplazamien- to (ver figura.(1.8)), entonces aplicando la ecuación.(1.10) se obtiene que T = ~F · ~d, es decir, el trabajo es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento. En nuestro ejemplo de la figura.(1.8), ~d = B−A = (4, 4) m y ~F = (0,85, 2) N, por tanto T = ~F · ~d = 11,4 J. 1.2.6. Producto vectorial. En muchos casos es necesario calcular un vector perpendicular a otros dos vectores dados ~V y ~W . Esto es precisamente lo que permite el producto vectorial. El producto vectorial ~N = ~V × ~W es un vector ~N normal tanto a ~V como a ~W . El sentido de ~N viene determinado por la regla de la mano derecha 2, ver figura.(1.9). Se define como ~N = ~V × ~W = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k vx vy vz wx wy wz ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = = (vywz − vzwy)~i + (vzwx − vxwz)~j + (vxwy − vywx)~k (1.12) 2Si ~N = ~V × ~W , el sentido de ~N es el que indica el pulgar de la mano derecha cuando, al cerrar la mano, el resto de los dedos giran desde el vector ~V al ~W por el camino más corto. c© M. A. Monge Dpto. F́ısica 2001-2002 Electromagnetismo CIII©M. A. M o n g e 1.3 Campos vectoriales y escalares. 9 Figura 1.12: Campo escalar de la intensidad luminosa de una bom- billa I(x, y) situada en el punto (0, 0) en escala de grises, junto con el campo vectorial resultante de calcular su gradiente ~V (x, y) = ~∇I(x, y). -1 -0.5 0 0.5 1 X -1 -0.5 0 0.5 1 Y muy abstracto, estamos rodeados de campos vectoriales, la velocidad del viento en cada punto del espacio es un campo vectorial, o la velocidad del café cuando lo movemos con una cucharilla (ver figura.(1.11)), o las ondas de radio y televisión. 1.3.1. Gradiente. El gradiente de un campo escalar da lugar a un campo vectorial. Si tenemos una función cualquiera , f(x, y, z), su gradiente se determina como ~∇f(x, y, z) = ∂ ∂x f(x, y, z)~i + ∂ ∂y f(x, y, z)~j + ∂ ∂z f(x, y, z)~k (1.13) El śımbolo ~∇ designa esta operación. La figura.(1.12) muestra en blanco y negro un campo escalar que se corresponde con la intensidad luminosa de una bombilla, en escala de grises, situada en el punto (0, 0). El color blanco indica la máxima intensidad lumi- nosa y el negro la mı́nima. Los vectores de la figura.(1.12) son el gradiente de dicho campo escalar. El campo vectorial obtenido siempre apunta en la dirección de máxima variación del campo escalar, y en el punto donde todas los vectores se juntan corresponde a un máximo (o mı́nimo) del campo es- calar;3 en este caso todos se dirigen hacia la fuente luminosa. Si las polillas 3Estrictamente hablando, que el gradiente sea cero implica que es un máximo, un mı́nimo o un punto silla. Un ejemplo de punto silla es el collado de una montaña: en una dirección corresponde a un máximo y en la otra a un mı́nimo. c© M. A. Monge Dpto. F́ısica 2001-2002 Electromagnetismo CIII©M. A. M o n g e 10 Visita rápida a las Matemáticas. Figura 1.13: Campo vectorial con divergencia distinta de cero, ~V (x, y, z) = −yz ~i+ x z ~j +(−z2) ~k. -1 0 1X -1 0 1 Y 1 1.5 2 2.5 3 Z fuesen inteligentes, para llegar a una bombilla solo tendŕıan que calcular el gradiente de la intensidad luminosa y seguir el sentido de los vectores como si fuesen señales de tráfico. Existe un operador vectorial de gran importancia denominado Lapla- ciano que consiste en calcular el gradiente de un gradiente. Su definición es 4f(x, y, z) = ∂ 2 ∂x2 f(x, y, z) + ∂2 ∂y2 f(x, y, z) + ∂2 ∂z2 f(x, y, z) (1.14) El laplaciano se simboliza como 4, aunque en algunos casos se usan los siguiente śımbolos 4 = ~∇ · ~∇ = (~∇)2 = ~∇2. El Laplaciano puede tomar como argumento un campo escalar o un campo vectorial. Si el argumen- to es un campo escalar, el resultado es otro campo escalar como en el la ecuación.(1.14). Si el laplaciano actúa sobre un campo vectorial entonces obtenemos otro campo vectorial ∇2 ~F (x, y, z) = ( ∇2Fx(x, y, z),∇2Fy(x, y, z),∇2Fz(x, y, z) ) (1.15) Es decir, obtenemos un campo vectorial cuyas componentes son el laplaciano de las componentes del campo origen. 1.3.2. Divergencia. Se define la divergencia de un campo vectorial como ~∇ · ~V (x, y, z) = div V (x, y, z) = ∂ ∂x vx(x, y, z) + ∂ ∂y vy(x, y, z) + ∂ ∂z vz(x, y, z) (1.16) c© M. A. Monge Dpto. F́ısica 2001-2002 Electromagnetismo CIII©M. A. M o n g e 1.3 Campos vectoriales y escalares. 11 El resultado es un campo escalar. Los śımbolos ~∇· ó div son usados indis- tintamente para indicar esta operación. El significado f́ısico de la divergencia es muy sencillo. Si la divergencia de un campo vectorial es 0, ~∇ · ~V (x, y, z) = 0, entonces ese campo no tiene fuentes ni sumideros. En la figura.(1.11) se muestra un campo vectorial cuya ecuación ~V (x, y, z) = yz ~i+ −x z ~j +0 ~k podŕıa corresponder a la velocidad del café al ser removido por una cucharilla. En una taza no hay ni fuentes (es decir, no entra nuevo café por ningún sitio) ni sumideros (no tiene agujeros por donde se pierda café), y por tanto su divergencia es cero, ~∇ · ~V (x, y, z) = ∂ ∂x y z + ∂ ∂y (−x) z + ∂ ∂z 0 = 0 (1.17) Supongamos que alguien nos da una taza rota por la que se escapa café. La velocidad del café en la taza podŕıa ser algo parecido al campo vectorial de la figura.(1.13), donde los vectores velocidad se dirigen hacia el agujero situado en fondo de la taza. Ese agujero actúa como un sumidero del café, y por tanto su divergencia ya no es nula. La velocidad representada en la figura.(1.13) viene dada por la ecuación ~V (x, y, z) = −yz ~i+ x z ~j + −z 2 z ~k y su divergencia es distinta de cero, ya que hay un sumidero ~∇ · ~V (x, y, z) = ∂ ∂x (−y) z + ∂ ∂y x z + ∂ ∂z −z2 z = −1 (1.18) Una divergencia negativa indica hay sumideros, mientras que si fuese positiva indica la presencia de fuentes. 1.3.3. Rotacional. La ultima operación vectorial importante es el rotacional. El rotacional de un campo vectorial ~V (x, y, z) es otro campo vectorial ~R que se obtiene como ~R = ~∇× ~V (x, y, z) = rot ~V (x, y, z) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z vx vy vz ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = = ( ∂∂yvz − ∂∂zvy)~i + ( ∂∂zvx − ∂∂xvz)~j + ( ∂∂xvy − ∂∂yvx)~k (1.19) donde ~∇× ó rot designa el rotacional. c© M. A. Monge Dpto. F́ısica 2001-2002 Electromagnetismo CIII©M. A. M o n g e 14 Visita rápida a las Matemáticas. desplazamiento. Por tanto, la componente tangencial de la fuerza es4: ~F · ~t. Pero hay dos problemas más para calcu- t B C F F n a b A Figura 1.15: Para calcular el trabajo realizado por el barco si- guiendo la trayectoria indicada C bajo la acción de la fuerza va- riable ~F del viento se debe rea- lizar una integral de ĺınea, T =∫ C ~F · ~t dl. lar el trabajo. En la figura.(1.15) la fuerza del viento tiene diferentes direcciones e in- tensidades dependiendo del punto de la tra- yectoria donde se encuentre nuestro barco, ~F = ~F (x, y), y la trayectoria cambia conti- nuamente de dirección. Una estimación ra- zonable del trabajo consiste en dividir la trayectoria en pequeños trozos donde la di- rección del barco y el viento son aproxima- damente constantes. De esta forma, si en cada intervalo (por ejemplo en el que va de a a b) el barco recorre una distancia ∆li, el trabajo realizado es, ~F · ~t ∆li (1.25) Por tanto, el trabajo total aproximado con- sistirá en la suma del trabajo realizado en cada uno de los intervalos desde el comienzo del recorrido A hasta el final B, T = B∑ i=A ~F · ~t ∆li (1.26) Esta aproximación al trabajo total es tanto mejor cuando menor sea la longitud de los intervalos ∆li. En el ĺımite, cuando ∆li se hace infinitesimal- mente pequeño, el sumatorio se transforma en una integral T = ∫ C ~F · ~t dl (1.27) Esta integral se denomina integral de ĺınea, y la C en la integral quiere decir que los ĺımites de integración van desde el comienzo de la trayectoria, A, a su final, B, y que la integral debe realizarse a lo largo de la curva C que indica la trayectoria seguida5. Al resultado de la integral de ĺınea se le denomina 4El vector tangente ~t a la trayectoria debe de ser un vector unitario, ya que estamos calculando la proyección del vector ~F en la dirección de ~t. 5Como se verá en un ejemplo, esto significa que al calcular el ~t dl, o lo que es lo mismo d~l, se debe tener en cuenta la curva particular C sobre la que estamos integrando. c© M. A. Monge Dpto. F́ısica 2001-2002 Electromagnetismo CIII©M. A. M o n g e 1.4 Integrales en campos vectoriales 15 circulación del campo vectorial ~F a lo largo de C. En algunos casos se utiliza la siguiente notación para las integrales de ĺınea T = ∫ C ~F d~l (1.28) donde se sobrentiende que d~l = ~t dl, es decir, que el diferencial de longitud tiene la dirección de la trayectoria C sobre la que se integra. Existe un śımbolo especial para las integrales de ĺınea cuando la trayec- toria sobre la que se integra es una curva cerrada, T = ∮ C ~F d~l (1.29) Para clarificar ideas, suponer que la fuerza del viento esta dada por el siguiente campo vectorial ~F (x, y, z) = (x2~i+y2~j+z2~k) N, y que la trayectoria que sigue la nave es y2 = x. Deseamos calcular el trabajo necesario para ir del punto A = (0, 0, 0) m, al punto B = (2, √ 2, 0) m (la coordenada z es siempre 0, ¡los barcos no vuelan!). A continuación debemos obtener d~l para calcular el trabajo mediante ecuación.(1.28). Como la curva es y2 = x, tendremos d~l = (dx, dy, dz) = (dx, dy, 0) = dx~i + dy ~j + 0 ~k (1.30) ya que la trayectoria no depende de z. Por tanto el producto vectorial ~F · d~l será6 ~F · d~l = (x2~i + y2~j + z2~k) · (dx~i + dy ~j + 0 ~k) = x2 dx + y2 dy (1.31) El trabajo queda en función de dos variables x e y. Para realizar la integral debemos expresar todo en función de una única variable. La relación 6Otra forma de realizar el mismo cálculo es aplicando la ecuación.(1.27). Primero de- bemos calcular el vector tangente en cualquier punto de la curva y2 = x. Recordando un poco de geometŕıa, sabemos que un vector tangente ~t a una curva se define como ~t = dx dl ~i + dy dl ~j + dz dl ~k donde dl es un diferencial de longitud de la curva. Por tanto el producto escalar ~F · ~t dl es, ~F · ~t dl = (x2~i + y2~j + z2~k) · (dx dl ~i + dy dl ~j + 0~k) dl = x2 dx + y2 dy c© M. A. Monge Dpto. F́ısica 2001-2002 Electromagnetismo CIII©M. A. M o n g e 16 Visita rápida a las Matemáticas. Figura 1.16: Para calcular el flu- jo que atraviesa la superficie S se debe calcular una integral de su- perficie F = ∫S ~V · ~n ds, siendo ~V (x, y, z) la velocidad del agua en cada punto y ~n la normal a la su- perficie. X Y Z n v V(x,y,z) si S entre x e y viene determinada por la trayectoria recorrida y2 = x. Primero obtenemos la dependencia de y en función de x a partir de la ecuación de la trayectoria, y = √ x, y para calcular dy en función de dx diferenciamos la ecuación de la trayectoria (se calcula la derivada total respecto de x y se despeja el dy en función de dx) d dy y2 dy = d dx x dx ⇒ 2y dy = dx ⇒ dy = dx 2y (1.32) Una vez que todo esta en función de x nos queda T = ∫ C ~F · ~t dl = ∫ 2 0 (x2 + 1 2 √ x)dx = 1 3 x3 + 1 3 x3/2 ∣∣∣∣ 2 0 (1.33) ya que el punto inicial es x = 0 m y el final x = 2 m. Con lo que el trabajo total realizado es 23(4 + √ 2) J. 1.4.2. Integral de superficie. Un pescador desea conocer el caudal de agua que atraviesa su red, tal y como se muestra en la figura.(1.16). Se presentan dos problemas, la velocidad del agua varia con la profundidad y el flujo total de agua depende de la forma S de la red. Este problema nos recuerda el de calcular el trabajo mostrado en la sec- ción anterior, §1.4.1. Debemos de considerar tanto la velocidad del agua en cada punto de la superficie de la red y la forma de la red. Esto se debe a que solo la componente de la velocidad perpendicular a la superficie contri- buirá al flujo total (una chorro de agua con velocidad paralela a una superfi- cie nunca la atravisa, y por tanto no produce un flujo neto). Lo primero que c© M. A. Monge Dpto. F́ısica 2001-2002 Electromagnetismo CIII©M. A. M o n g e 1.5 Teoremas fundamentales del cálculo vectorial. 19 Figura 1.17: El teorema de Green relaciona las integrales de ĺınea con las de superficie. Para aplicarlo correctamente es necesa- rio conocer la normal exterior ~n a una curva C, la cual se obtiene como la que apunta en dirección a nuestra cabeza cuando recorre- mos la curva en sentido antihora- rio con los pies apuntando hacia el interior de la curva cerrada. X Y Z F(x,y,z) S n n C C La primera duda que nos surge es: ¿Cuál es la normal exterior a una curva?. Para determinar ~n debemos fijarnos en la figura.(1.17). La normal exterior es la que indicaŕıa nuestra cabeza si recorremos la curva cerrada C que define la frontera de S. Además, es importante fijarse que el teorema de Green se aplica a curvas C planas, es decir, debe existir algún plano que contenga toda la curva. El interés del teorema de Green es que relaciona las integrales de ĺınea con las de superficie, lo cuál nos permite calcular cualquiera de las dos a partir de la más sencilla. 1.5.2. Teorema de la divergencia El teorema de la divergencia es una extensión del teorema de Green al espacio. Teorema de la divergencia. 1.5.2.1 Si ~F es un campo vectorial y V es una región del espacio (un volumen, ver figura.(1.18)) delimitada por una superficie S, entonces ∫ S ~F · ~n ds = ∫ V ~∇ · ~F dV (1.41) siendo ~n la normal exterior a la superficie S. 8 8La superficie debe de ser conexa, es decir, es posible ir de un punto a cualquier otro de la superficie sin salirse de ella. Por ejemplo la superficie de la Tierra y de la Luna no son conexas entre si, ya que no es posible ir de un punto en la Tierra a otro en la Luna sin salirse de sus superficies. c© M. A. Monge Dpto. F́ısica 2001-2002 Electromagnetismo CIII©M. A. M o n g e 20 Visita rápida a las Matemáticas. Este teorema relaciona las integrales de superficie con las de volumen, y es de gran importancia en electromagnetismo ya que de su aplicación al campo eléctrico se obtiene el teorema de Gauss. 1.5.3. Teorema de Stokes. El teorema de Stokes es otra generalización del teorema de Green con importantes aplicaciones en f́ısica. Teorema de Stokes. 1.5.3.1 Si ~F es un campo vectorial y S una super- ficie que tiene como frontera una curva C (ver figura.(1.18)), entonces ∫ S (~∇× F ) · ~n ds = ∮ C ~F · ~t dl (1.42) siendo ~n la normal exterior a la superficie S y ~t la tangente a la curva C. Para conocer las direcciones correc- X Y Z F(x,y,z) S t C n n Figura 1.18: Para orientar en el espa- cio una curva C que es la frontera de una superficie S aplicaremos el criterio de la mano derecha. tas de ~n y ~t se deben orientar la curva C y la superficie S. Nosotros seguire- mos el criterio de la mano derecha ex- plicado en la figura.(1.18). Si recorre- mos la curva en sentido antihorario, aplicando la regla de la mano derecha obtenemos la dirección de la normal exterior a la superficie S. La direc- ción de la tangente queda fijada por el sentido de giro de nuestros dedos al cerrarse la mano. La aplicación del teorema de Sto- kes en f́ısica es inmediata. Si el campo vectorial ~F es una fuerza, el segundo término del teorema en la ecuación.(1.42) corresponde al trabajo realizado por dicha fuerza al recorrer una curva cerrada C, T = ∮C ~F · ~t dl. Si ~F es una fuerza conservativa debe de ser cero para cualquier curva C, es decir ∮ C ~F · ~t dl = 0. Por tanto, al sustituir este resultado en la ecuación.(1.42)∫ S (~∇× ~F ) · ~n ds = 0 (1.43) c© M. A. Monge Dpto. F́ısica 2001-2002 Electromagnetismo CIII©M. A. M o n g e 1.6 Campos conservativos. 21 para cualquier superficie S, lo que solo es posible si los términos dentro de la integral son cero ~∇× ~F = 0 (1.44) Por tanto, para saber si un campo es conservativo es suficiente calcular su rotacional y ver si es cero. Lo cual es muy sencillo de hacer. Por ejemplo, para demostrar que el campo gravitatorio es conservativo solo debemos calcular su rotacional ~F (x, y, z) = cte x ~i+y ~j+z ~k (x2+y2+z2)3/2 . El resulta- do es ~∇× ~F (x, y, z) = 0, con lo que el campo gravitatorio es conservativo. 1.6. Campos conservativos. Si ~F es un campo vectorial definido en una región del espacio, entonces las siguientes propiedades son equivalentes ∃ V (x, y, z) \ ~F (x, y, z) = ~∇V (x, y, z) ⇔ ∮C ~F ~t dl = 0 ∀ C m m ∫ C ~F ~t dl sólo depende de los extremos ⇐⇒ ~∇× ~F = 0 e implican que ~F es un campo conservativo. 1.7. Entendiendo el lenguaje matemático: Ecua- ciones de Maxwell. Las ecuaciones matemáticas son como una buen libro escrito en una len- gua extranjera esperando a descubrimos una historia. Para poder leer ese libro no solo es necesario conocer los śımbolos y la sintaxis que forman es- ta extraña lengua, es necesario una buena comprensión del significado de los śımbolos que estamos usando. Aśı, todas las propiedades de los cam- pos electromagnéticos se encuentran resumidas en las famosas ecuaciones de Maxwell, que presentan una descripción completa de los fenómenos elec- tromagnéticos observables en nuestro mundo macroscópico.9 La forma más 9El electromagnetismo clásico describe de forma exacta el mundo macroscópico pero falla al aplicarse a objetos de tamaño atómico (tamaños del orden de un átomo 1Å=10−10 m). La teoŕıa más general que actualmente existe es la cromodinámica cuántica que permi- c© M. A. Monge Dpto. F́ısica 2001-2002 Electromagnetismo 24 Visita rápida a las Matemáticas. punto P en el plano XY y se denomina ángulo acimutal. La coordenada z es la distancia del punto P al plano XY y coincide con su valor en coordenadas rectangulares (ver figura.(1.20)). Los vectores unitarios ortogonales para Y X Z P=(x,y,z) r j j r z k OP r Figura 1.20: La posición de un punto P esta determinado en coordenadas ciĺındricas por su distancia r, el ángulo ϕ, y la al- tura z. Los vectores unitarios son ~ρ, ~ϕ, y ~k. las tres direcciones espaciales son ~ρ, ~ϕ y ~k. 10 Los dos primeros se definen de igual ma- nera que en coordenadas polares, y ~k coin- cide con el vector unitario ~k ya mostrado en coordenadas cartesianas. El vector que des- cribe la posición de punto P respecto del origen es ~OP = r ~ρ + z ~k. La relación entre las coordenadas rec- tangulares y ciĺındricas es x = r cos(ϕ) (1.50) y = r sin(ϕ) (1.51) z = z (1.52) El diferencial de volumen se expresa como dV = dx dy dz = r dr dϕ dz (1.53) Un elemento de longitud d~l = ~t dl genérico en estas coordenadas se expresa como d~l = ~ρ dr + r ~ϕ dϕ + ~k dz (1.54) Las coordenadas ciĺındricas suelen ser especialmente útiles cuando una sola de las tres coordenadas vaŕıa. Cuando ϕ y z permanecen constantes mientras r vaŕıa, entonces d~l = ~ρ dr. Otro caso en que son muy útiles es si solo vaŕıa el ángulo acimutal ϕ, en este caso d~l = r ~ϕ dϕ. Por último, cuando solo vaŕıa z entonces d~l = ~k dz. 1.8.3. Coordenadas esféricas. La posición de un punto P está determinada en coordenadas esféricas por su distancia r al origen de coordenadas, el ángulo acimutal ϕ que forma 10Recordar que los vectores unitarios que representan un sistema de coordenadas cum- plen: ~k × ~ρ = ~ϕ, ~ϕ× ~k = ~ρ, y ~ρ× ~ϕ = ~k. 1.8 Sistemas de coordenadas. 25 la proyección de P en el plano XY con el eje X, y el ángulo θ que forma el radiovector ~r con el eje X (ver figura.(1.21)). Las tres direcciones espaciales están fi- Y X Z P=(x,y,z) r j j r q q Figura 1.21: La posición de un punto P en coordenadas ciĺındri- cas se especifica por su distancia r al origen, el ángulo acimutal ϕ, y el ángulo θ. Los vectores unita- rios son ~ρ, ~ϕ, y ~θ. jadas por los vectores unitarios ~ρ, ~ϕ y ~θ. El primero, ~ρ, tiene la dirección y senti- do del radiovector ~r. El vector unitario ~ϕ se define de igual forma que en coordena- das ciĺındricas, mientras que ~θ es un vector perpendicular a ~r y a ~ϕ, cuyo sentido es el de θ crecientes (ver figura.(1.21)). La po- sición del punto P queda determinada por ~OP = r ~ρ = ~r. La relación entre las coordenadas rec- tangulares y esféricas es x = r sen(θ) cos(ϕ) (1.55) y = r sen(θ) sen(ϕ) (1.56) z = r cos(θ) (1.57) Un diferencial de volumen en estas coordenadas se expresa como dV = dx dy dz = r2 sen(θ) dr dϕ dθ (1.58) En el caso de que no exista dependencia tanto en θ como ϕ y solo vaŕıe r el diferencial de volumen se simplifica a dV == 4π r2 dr. De igual forma, un diferencial de longitud es d~l = ~ρ dr + r ~θ dθ + r sen(θ) ~ϕ dϕ (1.59) Si solo varia r, entonces el diferencial de longitud se simplifica a d~l = ~ρ dr. 1.8.4. Operadores vectoriales en coordenadas curviĺıneas. En la tabla se muestra los distintos operadores vectoriales en las coor- denadas estudiadas anteriormente. 26 Visita rápida a las Matemáticas. Operación Coordenadas ciĺındricas Coordenadas esféricas ~∇f ∂f∂r ~ρ + 1r ∂f∂ϕ ~ϕ + ∂f∂z~k ∂f∂r ~ρ + 1r sen(θ) ∂f∂ϕ ~ϕ + 1r ∂f∂θ ~θ ~∇ • ~V 1r ∂(rVr)∂r + 1r ∂Vϕ ∂ϕ + ∂Vz ∂z 1 r2 sen(θ) [ ∂(r2 sen(θ)Vr) ∂r + ∂(r sen(θ)Vθ) ∂θ + ∂(r Vϕ) ∂ϕ ] ~∇× ~V 1r ∣∣∣∣∣∣∣∣ ~ρ r ~ϕ ~k ∂ ∂r ∂ ∂ϕ ∂ ∂z Vr r Vϕ Vz ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 r2sen(θ) ∣∣∣∣∣∣∣∣ ~ρ r ~θ r sen(θ)~ϕ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ Vr r Vθ r sen(θ)Vϕ ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∇2 f 1r ∂(r ∂f∂r ) ∂r + 1 r2 ∂2f ∂2ϕ + ∂2f ∂2z 1 r2 sen(θ) [ sen(θ)∂(r 2 ∂f ∂r ) ∂r + ∂(sen(θ) ∂f∂θ ) ∂θ + 1 sen(θ) ∂2f ∂2ϕ ]