Cálculo Vetorial - Apostilas - Matematica, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20006 de Março de 2013

Cálculo Vetorial - Apostilas - Matematica, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo do cálculo vetorial, notação vetorial, igualdade de vetores, operações com vetores.
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Cálculo Vetorial

Notação Vetorial

Uma vez que símbolos são os componentes da linguagem matemática, uma parte importante da arte da análise matemática é a técnica de usar uma boa notação. Anotação vetorial tem duas grandes propriedades:

1. A formulação de uma lei física em termos de vetores é independente da escolha dos eixos de coordenadas. A notação vetorial oferece uma linguagem na qual enunciados têm um conteúdo físico independente do sistema de coordenadas.

2. A notação vetorial é concisa. Muitas leis físicas têm formas simples e transparentes, que são pouco aparentes quando estas leis são escritas em termos de um sistema particular de coordenadas. Algumas das leis mais complicadas, que não podem ser expressas em forma vetorial, podem ser expressas em termos de tensores. Um tensor é uma generalização de um vetor e inclui um vetor como um caso especial. A análise vetorial que conhecemos hoje é em grande parte o resultado do trabalho feito no fim do século XIX por Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside.

A notação vetorial que adotamos é a seguinte: A.

A utilidade e aplicabilidade de vetores em problemas físicos é baseada, em parte, na geometria Euclidiana. O enunciado de uma lei em termos de vetores usualmente acarreta a hipótese de que a geometria de Euclides é válida. Se a geometria não for Euclidiana, a adição de dois vetores de uma forma simples e inequívoca pode não ser possível. Para o espaço curvo existe uma linguagem mais geral, a geometria diferencial métrica, que é a linguagem da Teoria da Relatividade Geral, domínio da Física no qual a geometria Euclidiana não é mais válida.Consideramos um vetor como sendo uma grandeza tendo direção, sentido e intensidade. Esta propriedade não tem nenhuma relação com um sistema particular de referência¹. Um escalar é definido como sendo uma quantidade cujo valor não depende do sistema de coordenadas. O módulo de um vetor é um escalar.

As principais grandezas físicas e a sua classificação como escalar ou vetorial

são:

Igualdade de vetores

Dois vetores A e B são definidos como sendo iguais se tiverem o mesmo módulo, direção e sentido. Um vetor não tem, necessariamente, uma localização, apesar de que um vetor possa se referir a uma quantidade definida em um ponto.

Dois vetores podem ser comparados, mesmo que meçam quantidades físicas definidas, em diferentes pontos do espaço e de tempo.

Operações com Vetores

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Vamos estudar agora a maneira de operar com as grandezas físicas vetoriais (ou com vetores). Já estamos bastante familiarizados em somar ou subtrair grandezas escalares de uma mesma espécie:

a) assim, a adição de um comprimento de 20 m de tecido com 40 m de outro nos fornece cerca de 20 m + 40 m = 60 m;

b) b) um volume de 5 litros somado com um outro de 10 litros nos fornece um volume resultante de 15 litros;

c) se subtrairmos 4 horas, de um intervalo de tempo de 15 horas, obteremos 15h – 4 h = 11 h;

d) já a operação 10 litros + 2 horas não é possível ser efetuada visto tratar-se de grandezas de espécies diferentes. E com os vetores, de que forma podemos operar? Existem métodos gráficos e analíticos. Veremos os métodos gráficos.

Adição de Vetores²

O vetor resultante ou soma é obtido da seguinte maneira:

a) escolhe-se um ponto qualquer (ponto P).

b) desloca-se em qualquer ordem todos os vetores que se deseja somar de modo que a origem do primeiro fique sobre o ponto P e os demais fiquem dispostos de tal forma que a origem de um coincida com o vértice de outro.

c) o vetor que vai da origem do primeiro (ponto P) à extremidade do último (ponto Q) é, por definição, o vetor resultante.

1º Caso: dois vetores de mesma direção e sentido.

2º Caso: dois vetores de mesma direção e sentidos opostos.

3º Caso: dois vetores de direções perpendiculares.

Para achar o módulo do vetor resultante, usa-se o Teorema de Pitágoras:

Também estaria correto se ao invés de começar com A começássemos com B.

Podemos usar a “Regra do Paralelogramo”.

*Escolhe-se um ponto qualquer (ponto P).

*Coloca-se a origem dos dois vetores nesse ponto.

*Completa-se o paralelogramo usando linhas imaginárias.

*O vetor resultante tem origem no ponto P e tem a mesma direção da diagonal que parte de P.

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4º Caso: dois vetores com direções oblíquas.

Utilizando-se a Lei dos Cossenos pode-se deduzir que:

Poderíamos usar a “Regra do Paralelogramo”.

5º Caso: vários vetores com direções quaisquer.

Subtração de Vetores

Seja o vetor A chamamos de vetor oposto - A a um vetor de mesmo Módulo, direção e sentido oposto.

Produto de um número real por um vetor

O produto de um vetor A por um número real “n” é um vetor de mesma direção que A, com o mesmo sentido de A se “n” for positivo e sentido contrário ao de A se “n” for negativo.

Produto escalar de dois vetores

Definição:

O produto escalar de A e B é definido como uma grandeza “escalar” que é obtida tomando o produto do módulo de A pelo de B, vezes o cosseno do ângulo entre eles.

Produto vetorial de dois vetores

o “produto vetorial” A B é definido como sendo um vetor (C) perpendicular ao plano que inclui A e B.

O sentido de C é determinado por uma convenção que é a regra do saca-rolhas (também pode-se usar a regra da mão esquerda ou a regra do tapa).

A direita a regra do tapa e a esquerda regra da mão direita:

O exemplo mais importante é o da determinação da força (F) que atua sobre uma carga elétrica (q) que se move com uma velocidade (v) em um campo magnético(B).

Decomposição de Vetores

Seja um vetor F inclinado de a em relação ao eixo Ox e inclinado de “Beta” em relação ao eixo Oy.

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OBSERVAÇÕES:

Admitimos que a direção de um vetor pode ser definida. Para algumas finalidades podemos referir a sua direção ao laboratório e para outras às estrelas fixas ou à Terra.

Nem todas as quantidades que tem intensidade e direção são necessariamente vetoriais (por exemplo, corrente elétrica).

Os valores usados como módulo são apenas para exemplificar. A unidade“u” é arbitrária.

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