Capitulo 10 logaritmos, Exercícios de Cálculo I. Universidade Estadual do Norte Fluminense (UENF)
FRIZANCO
FRIZANCO25 de Junho de 2016

Capitulo 10 logaritmos, Exercícios de Cálculo I. Universidade Estadual do Norte Fluminense (UENF)

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Teoria, Exercícios e Aplicações de Logaritmos. Capítulo do Livro Cálculo I - Fundamentos e Aplicações, de Autoria de Orlando Frizanco.
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Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação

Orlando Frizanco

1

10 LOGARITMOS Definição: Chama-se logaritmo de um número real e positivo N, em uma

base a, positiva e diferente da unidade, ao expoente real x que se deve elevar essa base a para obter o número N.

E escreve-se:

xNa log Lê-se: “Logaritmo de N na base a é igual a x”.

10.1 LOGARITMO COMO EXPOENTE

O conceito de logaritmo está associado à operação de potenciação:

mais precisamente à determinação do expoente. Exemplo:

382  xx

No caso, se diz que o logaritmo de 8, na base 2, é igual ao

expoente 3. Em símbolos:

38log2  , porque 82 3 

Logo, calcular o log2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve

elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. Então, por definição:

NaxN xa log Onde: a = base; N = logaritmando ou antilogaritmo; x = logaritmo. A partir dessa definição as seguintes propriedades gerais podem

ser consideradas e que podem auxiliar no desenvolvimento de situações que envolvem logaritmos

loga1 = 0, o logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será

igual a 0, pois a0 = 1. logaa = 1, o logaritmo de qualquer número a na própria base a será

igual a 1, pois a1 = a. logaa

m = m, o logaritmo de uma potência da base é o expoente, em

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qualquer base, pois m * logaa = m * 1 = m. aloga

b = b, a potência de base a e expoente logab é igual a b, pois logab = x → a

x = b.logab = logac ↔ b = c, dois logaritmos são iguais, quando seus

logaritmandos forem iguais. Exemplos: a) log2 64 = 6, porque 2

6 = 64

b) log3 81 = 4, porque 3 4 = 81

c) log10 0,001 = –3, porque 0,001 = 1 / 10

3 = 10-3 d) log10 0,01 = –2, porque 0,01 = 1 / 10

2 = 10-2

e) log5 √25 = 2/3, porque 5 2/3 = √52

f) Log5 1 = 0 porque 5

0 = 1

g) log7 7 = 1 porque 7 1 = 7.

h) log5 5

3 = 3, porque 3 * log5 5 = 3 * 1 = 3.

Exercícios:

Calcular os logaritmos.

a) log2 32 =

b) log3 243 =

c) log2 64 =

d) log10 0,00001 =

e) log10 0,000001 =

f) log2 √4 =

g) log3 √9 =

h) log8 √64 =

i) log7 1 =

j) log12 12 = k) log7 7

5 =

10.2 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

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3

O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma operações mais complicadas em operações mais simples. Com as propriedades operatórias dos logaritmos pode-se transformar:

 multiplicações em adições;

 divisões em subtrações;

 potenciações em multiplicações;

 radiciações em divisões. As propriedades operatórias dos logaritmos estão apresentadas a

seguir.

1ª Propriedade: Logaritmo do produto.

  yxyx aaa loglog.log 

“O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores”.

Exemplos: 1) Calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0,477, log 5 =

0,699 e log 7 = 0,845.

322,1845,0477,07log3log)7.3log(21log 

2) A partir de log 2 = 0,301; log 3 = 0,477, log 5 = 0,699 e log 13 = 1,114,

calcular:

a) log 60 Solução: Fatorando o 60 vem:

60 2 30 2 15 3 5 5

1 60 = 2 2 *3*5

Logo:

778,160log

699,0477,0602,060log

699,0477,0301,0*260log

5log3log2log260log

5log3log2log60log

)5*3*2log(60log

2

2









b) log 130

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4

Fatorando o 130, vem:

130 2 65 5 13 13

1 130 = 2 *5*13

Logo:

114,2130log

114,1699,0301,0130log

13log5log2log130log

13log5log2log130log

)13*5*2log(130log







A seguir está mostrado como calcular os exemplos utilizando o SCILAB. ------------------------------------------------------------------------------

-->log10(21) ans = 1.3222193 -->log10(60) ans = 1.7781513 -->log10(130) ans = 2.1139434 -->

------------------------------------------------------------------------------

2ª Propriedade: Logaritmo do quociente.

yx y

x aaa logloglog 

  

“O logaritmo de um quociente é igual o logaritmo do numerador menos o logaritmo do denominador”.

Exemplos:

1) Calcular o valor do log 5/3, a partir dos valores de log 3 = 0,477, log 5 = 0,699.

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5

222,0 3

5 log

477,0699,0 3

5 log

3log5log 3

5 log

 

  

 

  

 

  

A seguir está mostrado como calcular o exemplo, utilizando o SCILAB. ------------------------------------------------------------------------------

-->log10(5/3) ans = 0.2218487 -->

------------------------------------------------------------------------------

2) A partir de log 2 = 0,301 obter log 5.

699,05log

301,015log

2log10log5log

2

10 log5log





 

  

 

3) Se x e y são reais positivos, decompor em parcelas log2 (x/2y).

1loglog 2

log

log1log 2

log

log2loglog 2

log

)log2(loglog 2

log

)2(loglog 2

log

222

222

2222

2222

222

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

yx y

x

yx y

x

yx y

x

yx y

x

yx y

x

3ª Propriedade: Logaritmo da potência.

xkx a k

a log.log 

“Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base”.

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6

Exemplos:

1) Calcular o valor do log 53, a partir do valor de log 5 = 0,699.

097,25log

699,0.35log

5log.35log

3

3

3

2) Calcular o valor do log 0,081, a partir do valor de log 3 = 0,477.

-1,092081,0log

31,908081,0log

1*3477,0*4081,0log

10log*33log*4081,0log

10log3log081,0log

10

3 log081,0log

1000

81 log081,0log

34

3

4









A seguir está mostrado como calcular os exemplos 1 e 2, acima,

utilizando o SCILAB. ------------------------------------------------------------------------------ -->log10(5^3) ans = 2.09691 -->log10(0.081) ans = - 1.091515 --> ------------------------------------------------------------------------------

4ª Propriedade: Logaritmo da Raiz.

m

x x ama

log log 

“O logaritmo de uma raiz, é igual a razão entre o logaritmo do radicando e o índice da raiz”.

Exemplos:

1) Calcular o valor do 4 27log , sabendo que log 3 = 0,477.

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7

358,027log

4

431,1 27log

4

477,0477,0477,0 27log

4

)3log3log3log 27log

4

)3*3*3log( 27log

4

27log 27log

4

4

4

4

4

4

 

 

A seguir está mostrado como calcular o exemplo acima, utilizando o SCILAB.

------------------------------------------------------------------------------ -->log10(sqrt(sqrt(27))) ans = 0.3578409 --> ------------------------------------------------------------------------------

2) Calcular o valor do 4

3 27log .

750,027log

4

3 27log

4

111 27log

4

)3log3log3log 27log

4

)3*3*3(log 27log

4

27log 27log

4

3

4

3

4

3

3334

3

34

3

34

3

 

 

Exercícios

1) Calcular log 4

313 , a partir dos valores de log 2 = 0,301, log 3 =

0,477 e log 13 = 1,114 2) A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009. 3) Vamos calcular o valor do log 34, a partir do valor de log 3 = 0,477. 4) Se x e y são reais positivos, usando as propriedades decompor em

parcelas log2 (x/4y). 5) Calcular o valor do log (27/2), a partir dos valores de log 2 = 0,301 e

log 3 = 0,477.

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6) A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 52 e log

2000. 7) Calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0,477 e

log 7 = 0,845.

9.3 APLICAÇÕES DE LOGARITMOS Os logaritmos são aplicados em várias áreas de conhecimento;

Matemática, Física, Biologia, Química, Medicina, e Geografia entre outras. A seguir estão apresentados alguns exemplos de utilização das técnicas de logaritmos para resolver problemas para variadas situações.

Exemplo 1 – Matemática Financeira Uma pessoa aplicou a importância de R$ 1.500,00 em um banco que

paga juros mensais de 3,2%, no regime de juros compostos. Em quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 4.500,00?

Solução: Neste caso, o uso de logaritmos é necessário. A fórmula para o

cálculo dos juros compostos é M = C * (1 + i)n. De acordo com o enunciado do problema, vem: M (montante) = 4500 C (capital) = 1500 i (taxa) = 3,2% = 0,032 n = ? Aplicando na fórmula M = C * (1 + i)n , vem: 4500 = 1500 * (1 + 0,032)n 4500/1500 = 1,032n 1,032n = 3 Aplicando logaritmo em ambos os membros da equação, vem: log 1,032n = log 3 n * log 1,032 = log 3 Utilizando a tecla log da calculadora científica, para obter os valores dos

logaritmos. n * 0,0137 = 0,4771 n = 0,4771 / 0,0137 n = 34,8 Resposta:O montante de R$ 4.500,00 será obtido após 34,8 meses de

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aplicação.Exemplo 2 – Geografia A taxa de crescimento populacional de uma pequena cidade é de 5% ao

ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

Solução: Primeiro devem ser estabelecidas as grandezas paramétricas a

serem utilizadas no modelo para o caso problema, ou seja: População do ano-base = P0 População após 1 ano = P0 * (1,05) = P1 População após 2 anos = P0 * (1,05)*(1,05)

= P2 = P0 * (1,05)

2 = P2 População após x anos = P0 * (1,05)

x = Px Supondo que a população dobrará em relação ao ano-base (P0) após x

anos, vem: Px = 2 * P0 P0 * (1,05)

x = 2 * P0 Simplificando o P0 em ambos os membros, vem: 1,05x = 2 Aplicando logaritmo em ambos os membros, vem: log 1,05x = log 2 Aplicando a propriedade do logaritmo da potência: x * log 1,05 = log 2 Usando a calculadora científica para calcular os logaritmos, vem: x * 0,0211 = 0,3010 x = 0,3010 / 0,0211 x = 14,3 Resposta: A população dobrará em aproximadamente 14,3 anos. Exemplo 3 – Química Calcular o tempo que leva para que 500 g de certa substância radioativa,

que se desintegra a taxa de 1,5% ao ano, se reduza a 50 g. Utilize a seguinte expressão:

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Q = Q0 * e

–rt em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. Solução: Aplicando os valores diretamente na fórmula dada, vem:

Q = Q0 * e –rt

Onde: Q (Quantidade final da substância) = 50 g; Q0 (Quantidade inicial da substância) = 500 g; e (Número e – Constante de Euler) = 2,7183… r (taxa de desintegração) = 1,5% t (tempo em anos) = ? 50 = 500 * e–0,015t 50 / 500 = e–0,015t 1 / 10 = e–0,015t Aplicando a definição de logaritmo, vem: –0,015 t = loge (1 / 10) –0,015 t = loge (10

–1) –0,015 t = –1 * loge (10) –0,015 t = – loge (10) multiplicando por (–1) Como logaritmo na base e é logaritmo neperiano (ln) 0,015 t = ln 10 t = ln 10 / 0,015 t = 2,3025 / 0,015 t = 153,5Resposta: A substância radioativa levará 153,5 anos para se reduzir a 50

g. Exercícios 1) Um investidor aplicou a importância de R$ 18.500,00 em um banco que

paga juros mensais de 3,8%, no regime de juros compostos. Em quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 50.000,00?

2) A quantidade de erros de transmissão em uma determinada rede de

computadores vem crescendo a uma taxa de 15% ao mês, aproximadamente. Em

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quantos meses a quantidade de erros de transmissão desta rede irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

3) A ocupação da área em disco, em um computador mainframe vem

crescendo a uma taxa de 28% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a ocupação da área em disco deste computador irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

4) A quantidade de alunos de uma escola cresce a uma taxa de 20% ao

semestre, aproximadamente. Em quantos semestres a quantidade de alunos desta escola irá duplicar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

5) O faturamento de uma empresa cresce a uma taxa de 35% ao ano,

aproximadamente. Em quantos anos o faturamento da empresa irá duplicar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

6) Calcular o tempo que leva para que 1500 g de uma substância

radioativa, que se desintegra a taxa de 3,5% ao ano, se reduzir a 400 g. Utilize a seguinte expressão: Q = Q0 * e

–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

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