Carga Elétrica - Apostilas - Química_Parte1, Notas de estudo de Química. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)
Paulo89
Paulo895 de Março de 2013

Carga Elétrica - Apostilas - Química_Parte1, Notas de estudo de Química. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)

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Apostilas e exercicios de Quimica sobre o estudo da carga elétrica, condutores, a Lei de Coulomb, definição de Campo Elétrico.
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Microsoft Word - MAF 1570_Nota de Aula 050310.doc

1

Capítulo 22: CARGA ELÉTRICA

A intensidade da interação elétrica de uma partícula com objetos ao seu redor depende da

sua carga elétrica, que pode ser tanto positiva quanto negativa. Cargas com o mesmo sinal se

repelem e cargas com sinais contrários se atraem. Um objeto com quantidades iguais dos dois tipos

de carga é eletricamente neutro, ao passo que um objeto com um desequilíbrio está eletricamente

carregado.

Condutores são materiais nos quais um número significativo de partículas carregadas

(elétrons em metais) está livre para se mover, as partículas carregadas em não-condutores, ou

isolantes, não estão livres para se moverem. Quando a carga se move através de um material,

dizemos que existe uma corrente elétrica no material.

O Coulomb e o Ampére A unidade SI de carga é o Coulomb (C). Ele é definido em termos

da unidade de corrente, o ampére (A), como a carga que passa por um determinado ponto em 1

segundo quando existe uma corrente de 1A nesse ponto.

Lei de Coulomb A Lei de Coulomb descreve a força eletrostática entre pequenas cargas

elétricas (pontuais) q1 e q2 em repouso (ou praticamente em repouso) e separadas por uma distância

r:

1 2 2

0

1 ( )

4 q q

F lei deCoulomb rπε

= (22.4)

Nesta equação, 12 2 20 8,85 10 /C N mε −= × ⋅ é a constante de permissividade, e

9 2 2 01/ 4 8,99 10 /k N m Cπε = = × ⋅ .

A força de atração ou repulsão entre cargas pontuais em repouso em repouso atua ao longo

da linha que une as duas cargas. Se mais de duas cargas estiverem presentes, a Eq. 22.4 se aplica a

cada par de cargas. A força resultante sobre cada casca neste caso é obtida, usando o princípio da

superposição, como a soma vetorial das forças exercidas sobre a carga por todas as outras.

Os dois teoremas das cacas para a eletrostática são

Uma casca com carga uniforme atrai ou repele uma partícula carregada localizada fora da

casca como se toda a carga da casca estivesse concentrada no seu centro.

Se uma partícula carregada estiver localizada dentro de uma casca com carga uniforme, a

força eletrostática resultante da casca sobre a partícula será nula.

A carga Elementar A carga elétrica é quantizada: qualquer carga pode ser escrita como ne, onde

n é um inteiro positivo ou negativo e e é uma constante da natureza chamada de carga elementar

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2

(aproximadamente 19(1,60 10 )C−× . A carga elétrica se conserva: a carga líquida (algébrica) de

qualquer sistema isolado não pode variar.

EXERCÍCIOS

Seção 22.4 – A Lei de Coulomb

1E - Qual deve ser a distância entre a carga pontual 1 26,0q Cµ= e a carga pontual 2 47q Cµ= − para

que a força eletrostática entre elas tenha uma intensidade de 5,70 N?

2E - Uma carga pontual de 63,00 10 C−+ × e está distante 12,0 cm de uma segunda carga pontual de

61,50 10 C−− × . Calcule a intensidade da força sobre cada carga.

3E - Duas partículas igualmente carregadas, mantidas a uma distância de 33,2 10 m−× , são soltas a

partir do repouso. Observa-se que a aceleração inicial da primeira partícula é de 7,0 m/s2 e que a da

segunda é de 9,0 m/s2. Se a primeira partícula for de 76,3 10 kg−× , quais serão (a) a massa da

segunda partícula e (b) a intensidade da carga de cada partícula?

4E - Duas esferas condutoras isoladas idênticas 1 e 2 possuem cargas iguais e estão separadas por

uma distância que é grande, comparada com seus diâmetros (Fig.22.16a). A forças eletrostática

atuando na esfera 2 devido à esfera 1 é F 

. Supondo agora que uma terceira esfera idêntica, a esfera

3, tendo um cabo isolante e inicialmente neutra, toque primeiro a esfera 1 (Fig.22.16b), depois a

esfera 2 (Fig.22.16c) e finalmente seja removida (Fig.22.16d). Em termos da intensidade F, qual a

intensidade da força eletrostática F 

que atua agora sobre a esfera 2?

FIG. 22.16

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3

5P - Na Fig.22.17, (a) quais as componentes horizontais e (b) quais as componentes verticais da

força eletrostática resultante sobre a partícula carregada no canto inferior esquerdo do quadrado se 71,0 10q C−= × e 5,0a cm= ?

FIG. 22.17

8P- Na Fig.22.18, três partículas carregadas estão localizadas em uma linha reta e estão separadas

por distâncias d. As cargas q1 e q2 são mantidas fixas. A carga q3 está livre para se mover, porém

está em equilíbrio (a força eletrostática atuando sobre ela é nula1). Encontre q1 em termos de q2?

FIG. 22.18

9P - Duas partículas livres (isto é, livres para se moverem) com cargas q+ e 4q+ estão separadas

por uma distância L. Uma terceira carga é colocada de modo que o sistema todo esteja em

equilíbrio. (a) Encontre a localização, a intensidade e o sinal da terceira carga. (b) Mostre que o

equilíbrio é instável.

Seção 22.5 – A carga é quantizada

18E - Qual a intensidade da força eletrostática entre um íon de sódio monovalente ( Na+ , com carga

e+ ) e um íon de cloro monovalente (Cl− com carga e− ) adjacente, em um cristal de sal, se a

separação entre eles é de 102,82 10 m−× ?

19E - Qual é a carga total em coulombs de 75,0 kg de elétrons?

21E - A intensidade da força eletrostática entre dois íons idênticos que estão separados por uma

distância de 105 10 m−× é 93,7 10 N−× (a) Qual a carga de cada íon? (b) Quantos elétrons estão

“faltando” em cada íon (causando assim o desequilíbrio de carga do íon)? 1 O que, pela primeira lei de Newton, garante que ela permanecerá em repouso se antes estava em repouso.

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4

22E - Duas gotas d’água esféricas minúscula, com cargas idênticas de 161,00 10 C−− × , possuem

uma separação de 1,00 cm de centro a centro. (a) Qual a intensidade da força eletrostática que atua

entre elas? (b) Quantos elétrons em excesso existem sobre cada gota, dando a ela este desequilíbrio

de carga?

Capítulo 23: CAMPOS ELÉTRICOS

Uma maneira de explicar a força eletrostática entre duas cargas é supor que cada carga cria um

campo elétrico no espaço ao seu redor. A força eletrostática que atua sobre qualquer carga deve-se

então ao campo elétrico criado na posição pela outra carga.

Definição de Campo Elétrico O campo elétrico E 

em qualquer ponto é definido em termos da

força eletrostática. F 

que seria exercida sobre uma carga de teste positiva 0q ali colocada:

0

F E

q = 

 (23.1)

Linhas de Campo Elétrico fornecem uma forma de visualização da direção e da intensidade de

campos elétricos. O vetor campo elétrico em qualquer ponto é tangente a uma linha de campo que

passa por esse ponto. A densidade de linhas de campo em qualquer região é proporcional à

intensidade do campo elétrico nessa região. Linhas de campo se originam em cargas positivas e

terminam em cargas negativas.

Campo devido a uma carga pontual A intensidade do campo elétrico E 

criado por uma carga

pontual q a uma distância r da carga é

2 0

1 4

q E

rπε = . (23.3)

A direção é radial a partir da carga. E 

possui o sentido que se afasta da carga pontual se a carga for

positiva e que se aproxima da carga pontual se a carga for negativa.

Campo devido a um Dipolo Elétrico Um dipolo elétrico é formado por duas partículas de mesma

intensidade q, mas com sinais contrários, separadas por um pequena distância d. O seu momento de

dipolop possui módulo qd e aponta da carga negativa para a carga positiva. A intensidade do

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5

campo elétrico criado pelo dipolo em um ponto distante situado sobre o eixo do dipolo (que passa

por ambas as cargas) é

3 0

1 ,

2 p

E zπε

= (23.9)

Onde z é a distância entre o ponto e o centro do dipolo.

Campo devido a uma Distribuição Contínua de Cargas o campo elétrico devido a uma

distribuição contínua de cargas é determinado tratando elementos de carga como cargas pontuais e

depois somando, por meio de integração, os vetores de campo elétrico produzidos por todos os

elementos de carga.

Força sobre uma Carga Pontual em um Campo ElétricoQuando uma carga pontual q é colocada

em um campo elétrico E 

criado por outras cargas, a força eletrostática F 

que atua sobre a carga

pontual é

F qE=  

. (23.28)

A força F 

possui a mesma direção e o mesmo sentido de E 

se q for positiva e a mesma direção e

sentido contrário se q for negativa.

Dipolo em um Campo Elétrico Quando um dipolo elétrico com um momento de dipolo p é

colocado em um campo elétrico E 

, o campo exerce um toque τ sobre o dipolo:

p Eτ = ×  

(23.34)

O dipolo possui uma energia potencial U associada a uma orientação no campo:

U p E= − ⋅ 

(23.38)

Esta energia potencial é definida como nula quando p 

é perpendicular a E 

; ela é mínima

(U pE= − ) quando p está alinhado com E 

e máxima (U pE= ) quando p está no sentido contrário ao de E

 .

EXERCÍCIOS

Seção 23.4 – O campo elétrico devido a uma carga pontual

4E - Qual a intensidade de uma carga pontual que criaria um campo elétrico de 1,00 N/C em pontos

afastados de 1,00m?

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6

6E - Duas partículas de mesma intensidade de carga 72,0 10 C−× , mas de sinais contrários, são

mantidas a 15 cm uma da outra. Quais a intensidade, a direção e o sentido de E 

no ponto localizado

no ponto médio entre as cargas?

9P - Duas cargas pontuais 81 2,1 10q C −= × e 2 14,0q q= − , são fixadas com uma separação de 50cm.

Encontre o ponto ao longo da linha reta que passa pelas duas cargas no qual o campo elétrico se

anula.

11P - Na Fig.23.28, qual a intensidade do campo elétrico no ponto P devida às quatro cargas

pontuais mostradas?

FIG.23.28

12P - Calcule a direção, o sentido e a intensidade do campo elétrico no ponto P da Fig. 23.29

devidos às três cargas pontuais.

FIG. 23.29

13P - Quais a intensidade, a direção e o sentido do campo elétrico no centro do quadrado da

Fig.23.30 se 81,0 10q C−= × e 5,0a cm= ?

FIG. 23.30

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7

Seção 23.5 – O campo elétrico devido a um dipolo elétrico

14E - Na Fig. 23.8, considere que as duas cargas são positivas. Supondo que z d , mostre que E

no ponto P nessa figura é então dado por

2 0

1 2 4

q E

zπε = .

FIG. 23.8

15E - Calcule o momento de dipolo elétrico de um elétron e um próton distantes 4,30 nm um do

outro.

16P - Determine a intensidade, a direção e o sentido do campo elétrico no ponto P devidos ao

dipolo elétrico da Fig. 23.31. P está localizado a uma distância r d ao longo da bissetriz

perpendicular à linha que une as cargas. Expresse a sua resposta em termos da intensidade, da

direção e o sentido do momento de dipolo elétrico p 

.

FIG. 23.31

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8

Seção 23.8 – Uma carga pontual em um campo elétrico

29E - Um elétron é solto do repouso em um campo elétrico uniforme de intensidade igual a 42,00 10 /N C× . Calcule a aceleração do elétron. (ignore a força da gravidade.)

33E - Um sistema de nuvens carregadas produz um campo magnético no ar próximo à superfície da

Terra. Uma partícula com carga de 92,0 10 C−− × sofre a ação de uma força eletrostática de

63,0 10 N−× para baixo quando colocada neste campo. (a) Qual a intensidade do campo elétrico? (b)

Qual a intensidade, a direção e o sentido da força eletrostática exercida sobre um próton colocado

neste campo? (c) Qual a força gravitacional que age sobre o próton? (d) Qual a razão entre a

intensidade da força eletrostática e a intensidade da força gravitacional neste caso?

36E - Um elétron com uma velocidade de 85,00 10 /cm s× penetra em um campo elétrico de

intensidade 31,00 10 /N C× , movendo-se paralelamente às linhas de campo, no sentido que retarda

o seu movimento (a) Qual a distância que o elétron percorrerá dentro do campo antes de parar

momentaneamente e (b) quanto tempo terá se passado? (c) se a região com o campo elétrico tiver

apenas 8 mm de comprimento (curta demais para que o elétron parasse em seu interior), qual fração

da energia elétrica inicial do elétron será perdida nessa região?

Capítulo 24: LEI DE GAUSS

A Lei de Gauss e a lei a Coulomb, apesar de serem expressas de formas diferentes, são maneiras

equivalentes de descrever a relação entre carga e campo elétrico em situações estáticas. A lei de

Gauss é

0 envqε Φ = (lei de Gauss), (24.6)

onde envq é a carga resultante no interior de uma superfície fechada imaginária (uma superfície

gaussiana) e Φ é o fluxo resultante do campo elétrico através da superfície:

.E dAΦ =  

 (fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana). (24.4)

A lei de Coulomb pode ser facilmente deduzida a partir da lei de Gauss.

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Aplicações da Lei de Gauss Usando a lei de Gauss e, em alguns casos, considerações de simetria,

podemos deduzir vários resultados importantes em situações eletrostáticas. Entre estas estão:

1. Uma carga em excesso em um condutor está localizada inteiramente sobre a superfície

externa do condutor.

2. O campo elétrico externo próximo à superfície de um condutor carregado é perpendicular à

superfície e possui intensidade

0

E σ ε

= (superfície condutora). (24.11)

No interior do condutor, 0E = .

3. O campo elétrico em qualquer ponto, devido a uma linha de carga infinita com densidade

linear de carga uniforme λ , é perpendicular à linha de carga e possui intensidade

02 E

r λ

πε = (linha de carga), (24.12)

onde r é a distância perpendicular da linha de carga até o ponto.

4. O campo elétrico, devido a uma placa não condutora infinita com densidade superficial de

carga uniforme σ , é perpendicular ao plano da placa e possui intensidade

02 E

σ ε

= (linha de carga). (24.13)

5. O campo elétrico fora de uma casca esférica de carga com raio R e carga total q possui

direção radial e intensidade dada por

2 0

1 4

q E

rπε = (casca esférica, para r R). (24.15)

Nesta equação, r é a distância do centro da casca até o ponto onde E é médio. (A carga se

comporta, para pontos externos, como se estivesse toda localizada no centro da esfera.) O

campo no interior de uma casca esférica uniforme de carga é exatamente nulo:

0E = (casca esférica, para r<R). (24.16)

6. O campo elétrico no interior de uma esfera uniforme de carga possui direção radial e

intensidade igual a

3 0

. 4

q E r

Rπε  

=    

(24.20)

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EXERCÍCIOS

Seção 24.3 – Fluxo de um campo elétrico

2E - A superfície quadrada mostrada na Fig. 24.25 mede 3,2 mm em cada lado. Ela está imersa

em um campo elétrico uniforme com intensidade 1800 /E N C= . As linhas de campo fazem um

ângulo de 35º com uma normal à superfície, como mostrado. Tome essa normal como a direção

“que aponta para fora”, como se superfície fosse uma das faces de uma caixa. Calcule o fluxo

elétrico através da superfície.

FIG. 24.25

5E - Uma carga pontual de 1,8uC está no centro de uma superfície gaussiana cúbica com

arestas de 55cm. Qual o fluxo elétrico resultante através da superfície?

Capítulo 25: POTENCIAL ELÉTRICO

Energia Potencial Elétrica A variação U∆ da energia potencial elétrica U de uma carga pontual

quando a carga se movimenta de um ponto inicial i para um ponto final f em um campo elétrico

é

,f iU U U W∆ = − = − (25.1)

Onde W é o trabalho realizado pela força eletrostática (devida ao campo elétrico) sobre a carga

pontual durante o movimento de i para f. Se a energia potencial for definida como nula no

infinito, a energia potencial elétricaU da carga pontual em um ponto particular é

.U W∞= − (25.2)

Nesta equação, W∞ é o trabalho realizado pela força eletrostática sobre a carga pontual quando a

carga é deslocada do infinito até o ponto particular.

Diferença de Potencial Elétrico e Potencial Elétrico Definimos a diferença de potencial

V∆ entre dois pontos i e f em um campo elétrico como

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11

,f i W

V V V q

∆ = − = (25.7)

onde q é carga de uma partícula sobre a qual o campo realiza trabalho. O potencial em um

ponto é

. W

V q

∞= − (25.8)

A unidade SI para o potencial é o volt: 1 volt = 1 joule por coulomb.

O potencial e a diferença de potencial também podem ser escritos em termos da energia

potencial elétrica U de uma partícula de carga q em um campo elétrico:

,

.f if i

U V

q U U U

V V V q q q

=

∆∆ = − = − = (25.5 e 25.6)

Superfícies Equipotenciais Todos os pontos sobre uma superfície equipotencial possuem o

mesmo potencial elétrico. O Trabalho realizado sobre uma carga de teste ao movê-la de uma

superfície como esta para uma outra independe da localização dos pontos inicial e final sobre

estas superfícies e da trajetória que liga os pontos. O campo elétrico E 

está sempre orientado

perpendicularmente às superfícies equipotenciais correspondentes.

Determinando V a partir de E 

A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f é

, f

f i i V V E ds− = − ⋅

  (25.18)

Onde a integral é calculada sobre qualquer trajetória que ligue os pontos. Se escolhermos 0iV =

temos, para o potencial em um ponto particular,

. f

i V E ds= − ⋅

  (25.19)

Potencial devido a Cargas Pontuais O potencial elétrico devido a uma única carga pontual a

uma distância r dessa carga pontual é

0

1 ,

4 q

V rπε

= (25.26)

V possui o mesmo sinal de q. O potencial devido a um conjunto de cargas pontuais é

1 10

1 .

4

n n i

i i i i

q V V

rπε= = = =  (25.27)

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Potencial devido a um Dipolo Elétrico A uma distância r de um dipolo elétrico com uma

intensidade do momento de dipolo p qd= , o potencial elétrico do dipolo é

2 0

1 cos 4

p V

r θ

πε = , (25.30)

para r d ; o ângulo θ é definido na Fig. 25.11.

Potencial devido a uma Distribuição Contínua de Cargas Para uma distribuição contínua de

cargas, a Eq. 25.27 se torna

0

1 ,

4 dq

V rπε

=  (25.32)

onde a integral é calculada sobre toda a distribuição.

Calculando E 

a partir de V A componente de E 

em qualquer direção é igual a menos a taxa de

variação do potencial com a distância nessa direção:

.s V

E s

∂= ∂

(25.40)

As componentes x, y e z de E 

podem ser encontradas a partir de

;x V

E y

∂= − ∂

;y V

E y

∂= − ∂

.z V

E z

∂= − ∂

(25.41)

Quando E 

é uniforme, a Eq. 25.40 se reduz a

, V

E s

∆= − ∆

(25.42)

Onde s é perpendicular às superfícies equipotenciais. O campo elétrico é nulo na direção

paralela a uma superfície equipotencial.

Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais A energia potencial elétrica de

um sistema de cargas pontuais é igual ao trabalho necessário para reunir o sistema com as

cargas inicialmente em repouso e infinitamente distantes umas das outras. Para duas cargas com

uma separação r,

1 2

0

1 .

4 q q

U W rπε

= = (25.43)

Potencial de um Condutor Carregado uma carga em excesso colocada sobre um condutor irá

se localizar, no estado de equilíbrio, inteiramente sobre a superfície externa do condutor. A

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13

carga se distribuirá de modo que todo o condutor, incluindo seus pontos interiores, esteja com

um potencial uniforme.

EXERCÍCIOS:

Seção 25.2 – Potencial Elétrico

1E - Uma certa bateria de automóvel de 12V pode enviar uma carga total de 84 ⋅ h (ampéres-hora)

através de um circuito, de um terminal ao outro. (a) Quantos coulombs de carga isso representa?

(Dica: Veja a Eq.22.3) (b) Se toda esta carga estiver sujeita a uma diferença de potencial de 12v,

qual a energia envolvida?

dq i dt= (Eq. 22.3)

2E - A diferença de potencial elétrico entre o solo e uma determinada tempestade é de 91,2 10 V× .

Qual a intensidade da variação da energia potencial elétrica (em múltiplos do elétron-volt) de um

elétron que se move entre o solo e a nuvem?

Seção 25.4 – Calculando o potencial a partir do campo

4E - Quando um elétron se move de A para B ao longo de uma linha de campo elétrico na Fig.

25.29, o campo elétrico realiza sobre ele 193,94 10 J−× trabalho. Quais as diferenças de potencial

elétrico (a) B AV V− , (b) C AV V− e (c) ?C BV V

FIG. 25.29

Seção 25.6 – Potencial devido a um campo de cargas pontuais

13E - Considere uma carga pontual 1,0q Cµ= , um ponto A a uma distância 1 2,0d m= de q e um

ponto B a uma distância 2 1,0d m= . (a) Se estes pontos estiverem diametralmente opostos um do

outro, como na Fig. 25.31a, qual a diferença de potencial elétrico A BV V− ? (b) Qual será essa

diferença de potencial elétrico se os pontos A e B estiverem localizados como na Fig. 25.31b?

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14

FIG. 25.31

15E - Na Fig. 25.32, considere 0V = no infinito e que as partículas tenham cargas 1q q= + e

2 3q q= − . Localize então (em termos da distância de separação d) um ponto qualquer sobre o eixo x

(que não esteja no infinito) no qual o potencial resultante devido às duas partículas seja nulo.

FIG. 25.32

Seção 25.10 – Energia Pontual elétrica de um sistema de cargas pontuais

37E - Deduza uma expressão para o trabalho exigido para estabelecermos a configuração de quatro

cargas da Fig. 25.41, supondo que as cargas estejam inicialmente separadas por uma distância

infinita.

FIG. 25.41

43P - Uma partícula de carga q está fixa no ponto P e uma segunda partícula de massa m e mesma

carga q é mantida inicialmente a uma distância r1 de P. A segunda partícula é então solta.

Determine sua velocidade quando ela estiver a uma distância r2 de P. Considere 3,1q Cµ= ,

20m mg= , 1 0,90r mm= e 2 2,5r mm= .

45P - Duas esferas metálicas minúsculas A e B de massas 5,00Am g= e 10,0Bm g= possuem

cargas positivas iguais 5,00q Cµ= . As esferas estão ligadas por um fio não-condutor e de massa

desprezível de comprimento 100a m= , que é muito maior do que os raios das esferas. (a) Qual a

energia potencial elétrica do sistema? (b) Suponha que você corte o fio. Nesse instante, qual a

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15

aceleração de cada esfera? (c) Muito tempo depois de você ter cortado o fio, qual a velocidade

escalar de cada esfera?

Seção 25.11 – Potencial de um condutor isolado carregado

51E - Qual a carga em excesso sobre uma esfera condutora de raio 0,15r m= se o potencial da

esfera for de 1500 V e 0V = no infinito?

53P - Duas esferas metálicas, cada uma com raio de 3,0 cm, possuem uma separação de 2,0 m de

centro a centro. Uma delas possui uma carga de 81,0 10 C−+ × ; a outra possui uma carga de

83,0 10 C−− × . Suponha que a aceleração é grande o suficiente em relação ao tamanho das esferas

para nos permitir considerar a carga sobre cada uma delas sendo distribuída uniformemente (as

esferas não afetam uma à outra).Com V = 0 no infinito, calcule (a) o potencial no ponto médio entre

seus centros e (b) o potencial de cada esfera.

Capítulo 26: CAPACITÂNCIA

Capacitor; Capacitância Um Capacitor é formado por dois condutores isolados (as placas) com

cargas iguais e de sinais contrários q+ e q− . Sua capacitânciaC é definida a partir de

,q CV= (26.1)

onde V é a diferença de potencial entre as placas. A unidade SI de capacitância é o farad (1 farad =

1F = 1coulomb por volt).

Determinando a Capacitância Geralmente determinamos a capacitância de uma configuração

particular de capacitor (1) supondo que uma carga q tenha sido colocada sobre as placas, (2)

encontrando o campo elétrico E 

devido a carga, (3) calculando a diferença de potencial V e (4)

calculando C a partir da Eq.26.1. Alguns resultados específicos são os seguintes:

Um capacitor de placas paralelas com placas paralelas planas de área A e espaçamento

entre as placas d possui capacitância

0 . A

C d

ε= (26.9)

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16

Um capacitor cilíndrico (dois longos cilindros coaxiais) de comprimento L e raios a e b

possui capacitância

02 ln( / ) L

C b a

πε= . (26.14)

Um capacitor esférico com placas esféricas concêntricas de raios a e b possui capacitância

04 ab

C b a

πε= −

. (26.17)

Se fizemos b → ∞ e a R= na Eq. 26.17, obtemos a capacitância de uma esfera isolada de

raio R:

04C Rπε= . (26.18)

Capacitores em Paralelo e em Série A capacitância equivalente Ceq de combinações de capacitores

individuais ligados em paralelo e em série pode ser determinada a partir de

1

n

eq j j

C C =

= (n capacitores em paralelo) (26.19)

e

1

1 1n

jeq jC C= = (n capacitores em paralelo) (26.20)

Capacitâncias equivalentes podem ser usadas para calcular as capacitâncias de combinações série-

paralelo mais complicadas.

Energia Potencial e Densidade de Energia A energia potencial elétricaU de um capacitor

carregado.

2 21 ,

2 2 q

U CV C

= = (26.21 , 26.22)

é igual ao trabalho necessário para carregá-lo. Esta energia pode ser associada ao campo elétrico

E 

do capacitor. Por extensão, podemos associar energia armazenada a um campo elétrico. No

vácuo, a densidadede energiau , ou a energia potencial por unidade de volume, no interior de um

campo elétrico de intensidade E é dada por

2 0

1 2

u Eε= . (26.23)

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Capacitância com um DielétricoSe o espaço entre as placas de um capacitor for completamente

preenchido com um material dielétrico, a capacitância C aumenta de um fator k, chamado de

constante dielétrica, que é característica do material. Em uma região que está completamente

preenchida por um dielétrico, todas as equações eletrostáticas contendo 0ε devem ser modificadas,

substituindo-se 0ε por 0kε .

Os efeitos do acréscimo de um dielétrico podem ser compreendidos fisicamente em termos

da ação de um campo elétrico sobre os dipolos permanentes ou induzidos na placa espessa

dielétrica. O resultado é a formação de cargas induzidas sobre as superfícies do dielétrico, que

resulta em um enfraquecimento do campo elétrico no interior do dielétrico para a mesma carga livre

sobre as placas.

Lei de Gauss com um Dielétrico Quando um dielétrico está presente, a lei de Gauss pode ser

generalizada para

0 .kE dA qε ⋅ = 

 (26.34)

Nessa equação, q é a carga livre; qualquer carga superficial induzida é levada em conta incluindo-se

a constante dielétrica k dentro da integra.

EXERCÍCIOS

Seção 26.2 - Capacitância

1E – um eletrômetro é um aparelho usado para medir carga estática – uma carga desconhecida é

colocada sobre as placas do capacitor do medidor e a diferença de potencial é medida. Qual a carga

mínima que pode ser medida por um eletrômetro com uma capacitância de 50 pF e uma

sensibilidade de voltagem de 0,15V?

3E - O capacitor da Fig. 26.24 possui uma capacitância de 25 Fµ e está inicialmente descarregado.

A bateria fornece uma diferença de potencial de 120V. Depois de a chave S ser fechada, quanta

carga passará por ela?

FIG. 26.24

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5E - Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de 8,2 cm de raio e 1,3 mm de

separação. (a) Calcule a capacitância. (b) Que carga aparecerá sobre as placas se for aplicada uma

diferença de potencial de 120V?

Seção 26.4 – Capacitores em paralelo e em série

10E – Na Fig. 26.25, determine a capacitância equivalente da combinação. Suponha que

1 2 310,0 , 5,00 4,00C F C F eC Fµ µ µ= = = .

FIG. 26.25

11E – Quantos capacitores de 1,00 Fµ devem ser ligados em paralelo para armazenar uma carga de

1,00C com um diferença de potencial de 110V entre as extremidades dos capacitores?

12E – Cada um dos capacitores descarregados da Fig. 26.26 possui uma capacitância de 25,0 Fµ .

Estabelece-se uma diferença de potencial de 4200V quando a chave é fechada. Quantos coulombs

de carga passam então pelo medidor A?

FIG. 26.26

13E – Determine na Fig.26.27 a capacitância equivalente da combinação. Suponha que

1 2 310,0 , 5,00 4,00 .C F C F e C Fµ µ µ= = =

FIG. 26.27

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15P – A Fig. 26.28 mostra dois capacitores em série; a seção central de comprimento b pode ser

movida verticalmente. Mostre que a capacitância equivalente desta combinação em série é

independente da posição da seção central e é dada por 0 / ( )C A a bε= − , onde A é a área da placa.

FIG. 26.28

19 P – Na Fig. 26.31, as capacitâncias são 1 21,0 , 3,0C F C Fµ µ= = e ambos os capacitores estão

carregados com uma diferença de potencial de 100V V= , com polaridade opostas como mostrado.

As chaves 1s e 2s são agora fechadas. (a) Agora qual a diferença de potencial entre os pontos a e b?

Agora quais as cargas sobre os capacitores (b)1 e (c) 2?

FIG. 26.31

Seção 26.5 – Energia Armazenada em um campo elétrico

23E – Qual a capacitância necessária para armazenar uma energia de .kW h com uma diferença de

potencial de 1000V?

25E – Dois capacitores, de 2,0 e 4,0 Fµ de capacitância, estão ligados em paralelo atravessando

uma diferença de potencial de 300V. Calcule a energia total armazenada nos capacitores.

35E – Dado um capacitor de 7,4 pF cheio de ar entre as placas, pede-se para convertê-lo em um

capacitor que possa armazenar até 7,4 Jµ com uma diferença de potencial máxima de 652V. Que

dielétrico da Tabela 26.1 dever ser usado para preencher o intervalo no capacitor cheio de ar se não

fosse permitida uma margem de erro?

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TABELA 26.1

41P – Um capacitor de placas paralelas com área de placa A é preenchido com dois dielétricos

como na Fig. 26.34b. Mostre que a capacitância é

0 1 2

1 2

2 .

A k k C

d k k ε=

+

Verifique essa fórmula para casos limites. (Dica: Você consegue justificar este arranjo como sendo

dois capacitores em série?)

FIG. 26.34

Seção 26.8 – Dielétricos e a lei de gauss

43E – Um capacitor de placas paralelas possui uma capacitância de 100 pF , uma área de placa de

100 cm2 e um dielétrico de mica ( 5, 4)k = que preenche completamente o espaço entre as placas.

Com uma diferença de potencial de 50V, calcule (a) a intensidade do campo elétrico E na mica, (b)

a intensidade da carga livre sobre as placas e (c) a intensidade da carga superficial induzida sobre a

mica.

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Capítulo 27: CORRENTE E RESISTÊNCIA

Corrente Uma corrente elétricai em um condutor é definida por

. dq

i dt

= (27.1)

nesta equação, dq é a quantidade de carga (positiva) que passa no tempo dt por uma superfície

hipotética que atravessa completamente o condutor. Por convenção, o sentido da corrente elétrica é

tomado como o sentido no qual portadores de carga positivos se moveriam. A unidade SI de

corrente elétrica é o ampére (A): 1 A = 1C/s.

Densidade de Corrente A corrente (um escalar) está relacionada com a densidade de corrente

J 

(um vetor) por

,i J dA= ⋅ 

(27.4)

onde dA 

é um vetor perpendicular a um elemento de superfície de área dA, e a integral é feita sobre

qualquer superfície que atravessa completamente o condutor. J 

possui a mesma direção e sentido

do vetor velocidade das cargas em movimento se elas forem positivas e o sentido contrário se elas

forem negativas.

Velocidade de Deriva dos Portadores de Carga Quando se estabelece um campo elétrico E 

em um

condutor, os portadores de carga (supostos positivos) adquirem uma velocidade de derivadv está

relacionada com a densidade de corrente por

( ) ,J ne vd=  

(27.7)

onde ne é a densidade de carga do portador.

Resistência de um condutor A resistência Rde um condutor é definida como

V R

i = (definição de R), (27.8)

onde V é a diferença de potencial entre as extremidades do condutor, e i é a corrente. A unidade SI

de resistência é o ohm ( )Ω : 1 Ω = 1V/A. Equações análogas definem a resistividade ρ e a

condutividade σ de um material:

1 E J

ρ σ

= = (definições de ρ e σ ) (27.12, 27.10)

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onde E é a intensidade do campo elétrico aplicado. A unidade SI de resistividade é o ohm ⋅ metro

( . )mΩ . A Eq. 27.10 corresponde à equação vetorial

.E Jρ=  

(27.11)

A resistência R de um fio condutor de comprimento L e seção transversal uniforme é

, L

R A

ρ= (27.16)

onde A é a área da seção transversal.

Variação de ρ com a Temperatura A resistividade ρ para maioria dos materiais varia com a

temperatura. Para muitos materiais, inclusive os metais, a relação entre ρ e a temperatura T é

aproximada pela equação

0 0 0( ).T Tρ ρ ρ α− = − (27.17)

Nesta equação, 0T é uma temperatura de referência 0ρ é a resistividade à temperatura 0T e α é

coeficiente de resistividade de temperatura para o material.

Lei de Ohm Um dado dispositivo (condutor, resistor, ou qualquer outro dispositivo elétrico)

obedecerá à lei de Ohm se a sua resistência R, definida Eq. 27.8 como /V i , for independente da

diferença de potencial V aplicada. Um dado material obedecerá à lei de Ohm se a sua resistividade,

definida pela 27.10, for independente da intensidade, da direção e sentido do campo elétrico

aplicado E 

.

Resistividade de um Metal Supondo que os elétrons de condução em um metal estão livres para se

moverem como as moléculas de um gás, é possível deduzir um expressão para a resistividade de um

metal:

2

m e n

ρ τ

= . (27.20)

Nesta equação, n é o número de elétrons livres por unidade de volume, e τ é o tempo médio entre

as colisões de um elétron com os átomos do metal. Podemos explicar por que metais obedecem à lei

de Ohm, chamando a atenção para o fato de que τ é essencialmente independente da intensidade E

de qualquer campo elétrico aplicado a um metal.

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Potência A potência P, ou taxa de transferência de energia, em um dispositivo elétrico no qual se

mantém uma diferença de potencial V entre as suas extremidades é

P iV= (taxa de transferência de energia elétrica) (27.21)

Dissipação Resistiva Se o dispositivo for um resistor, podemos escrever a Eq. 27.21 como 2

2 VP i R R

= = (dissipação resistiva) (27.22, 27.23)

Em um resistor, converte-se energia potencial elétrica em energia térmica interna por meio de

colisões entre portadores de carga e átomos.

Semicondutores são materiais com poucos elétrons de condução, mas podem se tornar condutores

quando são dopados com outros átomos que contribuem com elétrons livres.

Supercondutoressão materiais que perdem toda a resistência elétrica a baixas temperaturas.

Pesquisas recentes revelaram materiais que são supercondutores a temperaturas surpreendentemente

altas.

EXERCÍCIOS

Seção 27.2 – Corrente Elétrica

1E – Existe uma corrente de 5,0 A em um resistor de 10Ω que dura 4 min. (a) Quantos coulombs e

(b) quantos elétrons atravessam qualquer seção transversal do resistor neste intervalo de tempo?

3P – Uma esfera condutora isolada tem um raio de 10cm. Um fio transporta uma corrente de 1,000

002 A para dentro dela. Um outro fio transporta uma corrente de 1,000 0000A para fora dela.

Quanto tempo levaria para a esfera aumentar seu potencial em 1000V?

5E – Um feixe contém 82,0 10× íons positivos carregados duplamente por centímetro cúbico, que

estão se movendo todos para o norte com uma velocidade de 51,0 10 /m s× . (a) Qual a intensidade,

a direção e o sentido da densidade de corrente j 

? (b) É possível calcular a corrente total i neste

feixe de íons? Caso não seja possível, que informações adicionais são necessárias?

7E – Um fusível em um circuito elétrico é um fio que é projetado para derreter, e desse modo abrir

o circuito, se a corrente exceder um valor predeterminado. Suponha que o material a ser usado em

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um fusível se funda quando a necessidade de corrente atinge 2440 /A cm . Que diâmetro de fio

cilíndrico deveria ser usado para fazer um fusível que limitará a corrente a 0,50A?

Seção 27.4 – Resistência e Resistividade

13E – Um fio condutor possui 1,0mm de diâmetro, um comprimento de 2,0m e uma resistência de

50mΩ . Qual a resistividade do material?

15E – Um ser humano pode ser eletrocutado se uma pequena corrente de 50mA passar perto do seu

coração. Um eletricista trabalhando com as mãos suadas faz bom contato com os dois condutores

que ele está segurando, um em cada mão. Se a sua resistência for de 2000 Ω , qual poderia ser a

voltagem fatal?

19E – Um fio com uma resistência de 6,0Ω é esticado de tal modo que seu novo comprimento é de

três vezes o seu comprimento original. Determine a resistência do fio mais longo, supondo que a

resistividade e a densidade do material não tenham se modificado.

21P – Dois condutores são feitos do mesmo material e possuem o mesmo comprimento. O condutor

A é um fio sólido com diâmetro de 1,0mm. O condutor B é um tubo oco com diâmetro externo de

2,0mm e diâmetro interno de 1,0mm. Qual a razão entre as resistências /A BR R , medidas entre as

suas extremidades?

Seção 27.7 – Potência em circuitos elétricos

31E – Um certo tubo de raios X opera a uma corrente de 7,0 mA e uma diferença de potencial de 80

kV. Qual a sua potência em watts?

32E – Um estudante deixou seu rádio de 9,0V e 7,0W ligado a todo volume das 21horas até às 2

horas do dia seguinte. Quanta carga passou por ele?

33E – Uma diferença de potencial de 120V é aplicada a um aquecedor de ambiente cuja resistência

é de 14Ω quando quente. (a) Qual a taxa com que a energia elétrica é transformada em calor? (b) A

5,0 centavos/kW ⋅ h, quanto custa operar este dispositivo por 5 horas?

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37P – Uma aquecedor por irradiação de 1250W é fabricado para operar em 115V. (a) Qual será a

corrente no aquecedor? (b) Qual a resistência da bobina de aquecimento? (c) Quanta energia

térmica é produzida em 1h pelo aquecedor?

Capítulo 28: CIRCUITOS

Fem Um dispositivo de femrealiza trabalho sobre cargas para manter uma diferença de potencial

entre os seus terminais de saída. Se dW é o trabalho que o dispositivo realiza para forçar uma carga

positiva dq do terminal negativo para o terminal positivo, então a fem (trabalho por unidade de

carga) do dispositivo é

dW dq

= (definição de  ). (28.1)

O volt é a unidade SI tanto de fem quanto de diferença de potencial. Um dispotivo de fem ideal é

um dispositivo desprovidos de qualquer resistência interna. A diferença de potencial entre os seus

terminais é igual à fem. Um dispositivo de fem real possui resistência interna. A diferença de

potencial entre os seus terminais serão igual à fem somente se não houver corrente passando pelo

dispositivo.

Analisando Circuitos A variação do potencial ao atravessamos uma resistência R no sentido da

corrente é iR− ; no sentido contrário é iR+ . A variação do potencial ao atravessamos um

dispositivo de fem ideal no sentido da seta da fem é +  ; no sentido contrário é − . A conservação

da energia leva à regra das malhas:

Regra das Malhas. A soma algébrica das variações do potencial encontradas em uma travessia

completa de qualquer malha de um circuito tem que ser nula.

A conservação da carga nos fornece a regra dos nós.

Regra dos nós A soma das correntes afluentes a qualquer nó tem que ser igual à soma das correntes

afluentes desse nó.

Circuitos de Malha Única A corrente em um circuito de malha única contendo uma única

resistência R e um dispositivo de fem com fem  e resistência interna r é

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