Cinemática e Dinâmica das Rotações - Apostilas - Fisica, Notas de estudo de Física. Universidade do Estado do Amazonas (UEA)
Brigadeiro
Brigadeiro6 de Março de 2013

Cinemática e Dinâmica das Rotações - Apostilas - Fisica, Notas de estudo de Física. Universidade do Estado do Amazonas (UEA)

PDF (1.2 MB)
41 páginas
4Números de download
1000+Número de visitas
Descrição
Apostilas e exercicios de Física sobre o estudo da Cinemática e Dinâmica das Rotações, movimento de um corpo rígido, rotação de um corpo rígido.
20pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 41
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Pré-visualização finalizada
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Pré-visualização finalizada
Consulte e baixe o documento completo

Física Geral I - F -128 Aula 11 Cinemática e Dinâmica das Rotações

20 semestre, 2010

docsity.com

Movimento de um corpo rígido

Vamos abandonar o modelo de partícula: passamos a levar em conta as dimensões do corpo, introduzindo o conceito de corpo rígido (CR): é aquele em que a distância entre quaisquer dois de seus pontos é constante. Sendo i e j dois pontos quaisquer de um CR: rij = cij

cij : constante característica do par (i, j)

O tipo mais geral de movimento de um CR é uma combinação de uma translação com uma rotação. Neste capítulo consideraremos apenas o caso de rotação de um CR em torno de um eixo fixo, como é o caso do movimento de roldanas, rotores, CDs, etc. Excluiremos, por exemplo, movimentos como o do Sol (não rígido) ou o de uma bola de boliche, cuja rotação se dá em torno de um eixo que não é fixo (rolamento).

docsity.com

Rotação de um corpo rígido

z

Queremos estudar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. O eixo fixo é denominado eixo de rotação. Por conveniência, vamos tomar o eixo de rotação (fixo) como sendo o eixo z. O eixo de rotação não precisa ser um dos eixos de simetria do corpo.

x

y

θ

É conveniente escolher uma linha de referência (arbitrária) presa ao corpo, perpendicular ao eixo z, para definir as variáveis angulares em relação a ela.

docsity.com

Variáveis rotacionais

a) Posição angular

A posição da linha de referência (fixa ao corpo) define o ângulo de rotação θ do corpo rígido em torno do eixo. θ é a posição angular do corpo rígido. O sentido da rotação é dado pela regra da mão direita.

z

positivo negativo

θ

docsity.com

Variáveis rotacionais

• Cada ponto do corpo rígido executa um movimento circular de raio r em torno do eixo. • distância percorrida pelo ponto:

z

s

r

s= r θ (θ em radianos )

θ

y

b) Deslocamento angular

• O deslocamento angular é definido como:

∆ θ =θ 2−θ 1

x

s

z r

Esta variável tem módulo ( ∆ θ ) , ˆ direção e sentido ( z ) a ela associados.

θ1

docsity.com

y

θ2

ˆ Vetor ∆ θ z ?

x

∆θ

docsity.com

Variáveis rotacionais

Não podemos associar um vetor a uma rotação, pois vetores devem obedecer às regras da soma vetorial, o que não acontece com as rotações.     Por exem ( A+ B = B + A ), mas duas rotações sucessivas feitas em ordens diferentes dão resultados diferentes! O exemplo ao lado mostra duas rotações sucessivas de π /2 em torno dos eixos x e y nas duas ordens possíveis: o resultado final depende da ordem!

ˆ ˆ ˆ ˆ ∆ θ 1x + ∆ θ 2 y ≠ ∆ θ 2 y + ∆ θ 1x

Então:

ˆ ∆ θ z não é um vetor!

(a menos que os ângulos de rotação sejam infinitesimais).

docsity.com

Variáveis rotacionais

c) Velocidade angular

Deslocamento angular:

∆ θ (t ) = θ (t + ∆ t ) − θ (t )

 ω

ˆ≡ ˆ z n

r

Velocidade angular (escalar) média

ω =

∆θ ∆t

Velocidade angular instantânea (vetor)

 ∆θ dθ ̂ ̂ ω = lim n= n ∆ t→ 0 ∆ t dt

θ (t )

y

∆ θ (t )

x

θ (t + ∆ t )

docsity.com

A velocidade angular é uma característica do corpo como um todo e não somente de um ponto particular nele situado.

ˆ Deslocamento angular em torno de n : θ (t 2 ) − θ (t1 ) = ∫ ω (t ′ ) dt ′

t1

t2

docsity.com

Exemplo 1

Cálculo da velocidade angular da Terra em torno do seu eixo. A Terra completa uma revolução a cada 23h56min (dia sideral). O módulo da sua velocidade angular é

ω =

2π rad 6, 28 rad rad = = 7, 23 × 10− 5 dia 86160 s s

e a sua direção aponta para o norte ao longo do eixo de rotação, cujo período de precessão é de aproximadamente 26.000 anos (analisaremos a questão da precessão mais tarde).

ω

docsity.com

Variáveis rotacionais

c) Aceleração angular

   ∆ ω = ω (t+ ∆ t ) − ω (t) Variação da velocidade angular   média ∆t   angular instantânea é um vetor paralelo a ω quando o eixo de rotação é fixo!

 α Velocidade angular em função de

t2

   ' ' ω (t 2 ) − ω (t1 ) = ∫ α (t ) dt

2

t

t

1

' ' ˆ na direção fixa ( n ): ω (t2 ) − ω (t1 ) = ∫ α (t )dt t1

docsity.com

Cinemática angular

Em capítulo anterior já estudamos o movimento circular uniforme. Vamos estudar agora o

Movimento circular uniformemente acelerado

Dadas as condições iniciais:

t1 = 0 e t 2 = t → θ (0) = θ 0 e ω (0) = ω 0

Temos, para α constante:

1 ω (t ) = ω 0 + α t ; θ (t ) = θ 0 + ω 0 t + α t 2 2 2 ω 2 = ω 0 + 2α (θ − θ 0 )

Comparando com as variáveis do movimento linear:

θ (t ) ↔ x (t ); ω (t ) ↔ v (t ); α (t ) ↔ a (t )

docsity.com

Exemplo 2

3 Pião sujeito à aceleração angular α (t ) = at + bt Calcular ω (t ) e θ (t ).

Parâmetros: a = 5 rad/s5 e b = − 4 rad/s3 Condições iniciais: ω (0) = 5 rad/s e ϕ (0) = 2 rad

t4 t2 ω (t ) − ω (0) = ∫ (at ′ + bt ′ ) dt ′ = a + b 4 2 0

t 3

 t′ 4 t′ 2  t5 t3 θ (t )− θ (0) = ∫  ω (0)+ a + b  dt ′ = ω (0)t + a + b 4 2 20 6 0

t

Usando os valores numéricos:

t4 ω (t ) = 5 + 5 − 2t 2 (rad/s) 45 t t3 ϕ (t ) = 2 + 5t + − 2 (rad) 4 3

docsity.com

Relação com as variáveis lineares

• Posição

s= r θ

• Velocidade

z ω 

r

 v

ds dθ v= = r = rω dt dt

 v é tangente à trajetória no ponto

considerado

x

θ

y

s

   v= ω × r

docsity.com

Em módulo: v = ω r ⊥ neste caso)

docsity.com

Relação com as variáveis lineares

• Aceleração

  dv d   a= = (ω × r ) = dt dt   dω   dr = ×r +ω × dt    dt

 α

z ˆ  ω

r

θ

 a aN t  

v

y ˆ

      ˆ a N = ω × v = ω × (ω × r ) =

   ˆ at = α × r = α r v

 at

docsity.com

 aN

s

x ˆ

(em módulo: a t = α r )

aN = ω 2r) (em módulo:

ˆ v é o vetor unitário tangente à trajetória; ˆ r é o vetor unitário na direção que vai do eixo de rotação até a partícula (versor da direção radial)

docsity.com

Exemplo 3

Velocidade e aceleração de um ponto na superfície da Terra a uma dada latitude θ (aproximação de esfera perfeita).

R = 6, 4 × 106 m e ω = 7, 2 enθ m / s v

 ω

Como a aceleração angular é nula:

 r θ

 aN

R

 v

  ˆ at = α r v = 0

A aceleração centrípeta é     − 2 senθ m / s 2 r

Nota: A 2a lei de Newton, para ser correta quando escrita em um referencial  acelerado (não inercial) com aceleração a0 precisa ser corrigida como:      F + F0 = m

docsity.com

Peso aparente de um corpo de massa M

Na direção y : ( aN = − 3, 4 × 10− 2 sin θ m/s 2 ) ˆ

N − Mg = MaN sin θ = − 3, 4 × 10− 2 M sin 2 θ m/s 2 ou N = Mg − 3, 4 × 10− 2 M sin 2 θ m/s 2

 ω

 Fa

O peso aparente diminui à medida que nos aproximamos do Equador Força de atrito em um corpo de massa M

ˆ Na direção x :

Fa = MaN cos θ = − 3, 4 × 10− 2 M sin θ cos θ m/s 2

 aN

θ

y ˆ

R

 Mg 

 N

x ˆ

A força de atrito estático que mantém um objeto parado na superfície da Terra é máxima a 45 graus e aponta para o norte no hemisfério norte e para o sul no hemisfério sul.

docsity.com

docsity.com

Assim, qualquer corpo sobre o qual não atua nenhuma força horizontal (com respeito à superfície da Terra) se desloca na direção do Equador (sul no hemisfério norte e norte no hemisfério sul)! ⇒ desvio diminuto de latitude dos corpos em queda livre na direção do Equador. ⇒ achatamento dos pólos ocorre pelo mesmo efeito e reduz o desvio mencionado (aparece uma pequena força horizontal)

Mg

N

docsity.com

Energia Cinética de rotação

A energia cinética de um corpo em rotação é a soma:

K= 1 1 1 2 2 m1v12 + m2 v 2 + .... mn v n = 2 2 2 1 = ∑ mi vi2 2

 vi

No corpo em rotação, todos os pontos, exceto os radiais, têm mesma velocidade angular ω . Então:

K= ∑ 1 1 2 mi (ω ri ) = ( ∑ mi ri 2 )ω 2 2

2

A grandeza entre parênteses é definida como o momento de inércia I do corpo em relação ao eixo de rotação. Isto é: ou:

I=

∑mr

2

2

i i

1 K = Iω 2

(energia cinética de rotação)

docsity.com

Cálculo do momento de inércia

No caso de partículas puntiformes, vimos:

I=

mi ri 2

 r

dm

No caso de uma distribuição contínua de massa:

I = ∫ r 2 dm ,

onde dm é uma massa infinitesimal, que pode ser a de um fio, a de uma superfície ou a de um volume:

 λ dl : em um fio  dm=  σ ds : em uma superfície  ρ

σ : densidade superficial de massa ρ : densidade volumétrica de massa

λ : densidade linear de massa

docsity.com

Cálculos de momento de inércia

Exemplos:

a) Anel de raio R e massa M uniformemente distribuída

λ=

M M ⇒ dm= R dθ 2π R 2π R

M

dl= Rdθ

R

I = ∫ R 2 dm = ∫ R 2

0

M dθ = MR 2 2π

b) Disco de raio R e massa M (idem)

M M σ= ⇒ dm = σ dA = 2π r dr 2 2 πR πR

dr

4 R

dm

docsity.com

R

r

dA= 2π r dr

2M 2M r I = ∫ r dm = ∫ r r dr = 2 R2 R 4 0

2 2

R

0

1 = MR 2 2

docsity.com

O teorema dos eixos paralelos

Se conhecermos o momento de inércia ICM de um corpo em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa, podemos facilmente determinar IO do corpo em relação a um eixo paralelo que passa por O. De fato:

       2 ri = ri′ + h ⇒ ri = (ri′ + h ) ⋅ (ri′ + h )   2 2 2 ′ + ∑ mi h + 2h ⋅ ∑ mi ri′ ⇒ ∑ mi ri = ∑ mi ri

i i i i

Mas:

 h=

i

∑ ∑m

i

 mi ri

i

i

  mi ( ri − h ) = 0 ⇒

docsity.com

i

 mi ri′= 0

o• 

h

 ri

dm

 ri′

• CM

Então:

I O = ∑ mi ri = I CM + Mh 2

2 i

(teorema dos eixos paralelos)

docsity.com

Alguns momentos de inércia

docsity.com

Torque e 2a Lei de Newton da rotação

Vamos obter a relação entre as forças que atuam sobre um corpo em rotação (com eixo fixo) e sua aceleração angular. Notamos que apenas as forças que têm uma componente ortogonal tanto ao eixo como à direção radial podem colocar um corpo em rotação. z ˆ

 Decompomos a força Fi que atua sobre uma

 α  ω

partícula de  massa mi do corpo rígido nas ⊥ ) i :

  ˆ ˆ Fi = mi ai = mi α ri vi − miω 2 ri ri

 ˆ ˆ Fi = F(| | ) i vi + F( ⊥ )i ri

 a aN t   ri vi

y ˆ

θ

s

x ˆ

F(||) i = miα ri

F( ⊥ )i = − miω 2 ri

docsity.com

Provoca a aceleração angular Não altera a velocidade angular (é uma força centrípeta).

docsity.com

Torque e 2a Lei de Newton da rotação

No plano perpendicular ao eixo de rotação:

F(||)i = Fi sinϕ i = mi riα

 Fi

 F(| | ) i

Fi ri sinϕ i = mi ri α    2  Vetorialmente: ri × Fi = mi ri α ≡ τ i

2

 τi

 F(⊥ ) i

 ri

ϕi

externa Fi sobre a i-ésima partícula do corpo rígido ( ⋅ vetor saindo do plano do desenho) No caso em que várias forças agem sobre a partícula, o torque    2  total

res

   Defini ção: τ i = ri × Fi é o torque da for

docsity.com

Finalmente:

i

i

i

i i

  τ res = I α

(2.a lei de Newton da rotação)

docsity.com

Exemplo 4

Máquina de Atwood com uma polia com massa Massa m1 Massa m2

Fy = m1 g − T1 = m1a

(1)

Fy = T2 − m2 g = m2 a (2)

Polia

τ = T1 R − T2 R = Iα =

1 1 1 2 a = MR = MRa ⇒ T1 − T2 = Ma (3) 2 R 2 2

Então, resolvendo (1), (2) e (3):

    m1 − m2 g a=  1  m +m + M  1 2  2 

docsity.com

O trabalho no deslocamento angular

 Seja uma força externa Fi aplicada a uma partícula no ponto P. O trabalho infinitesimal num

deslocamento dsi = ri dθ é:    dWi = Fi ⋅ dsi = ( Fi senϕ ) ri dθ = τ i dθ  ( Fi senϕ é a componente tangencial de Fi ;

 dsi

 ri

a componente radial não trabalha). Então:

W = ∑ ∫ τ i dθ = ∫ τ dθ

i

ϕ

dω W = ∫ I α dθ = ∫ I ω dt dt

Como τ = I α

ω

:

W = ∫ I ω dω =

ωi

f

1 Iω 2

docsity.com

2 f

1 2 I ω i = ∆ K (teorema do trabalho-energia cinética 2 na rotação)

docsity.com

Trabalho e potência no deslocamento angular

Usando a definição do momento de inércia:

W= = 1 1 1 2 2 2 I ω f − I ω i = ∑ mk ρ k2ω kf − 2 2 k 2 1 1 2 2 mk vkf − ∑ mk vki = ∆ K 2 k 2

k

1 2 mk ρ k2ω ki 2

k

que é o teorema do trabalho-energia em sua forma usual. Potência: é a taxa com que se realiza trabalho:

∆W ∆θ dW P= =τ ⇒ =τω ∆t ∆t dt

Compare com

  ∆W P= = ∑ Fi ⋅ vi ∆t i

docsity.com

Exemplo 5

• Trabalho em uma máquina de Atwood Se os corpos partem do repouso ( vi = 0 ):

 m1 − m 2  v

Velocidade angular:

 m1 − m 2 1 

1 1 2 1 2 K sistema = m1v1 f + m2 v 2 f + Iω 2 2 2 1  (m1 − m2 ) 2  2  1 2 

2 f

+ +

=

 T1

 T2

+

Esta variação da energia cinética é igual ao trabalho das forças peso no sistema (verificar).

+ +

m1 g

m2 g

docsity.com

Equações dos movimentos linear e rotacional

Movimento linear velocidade linear aceleração linear força resultante a = constante

v= dx dt   dv α = dt   Fi = m a

Movimento de rotação (eixo fixo)

dθ dt   dω acelera ção angular α = dt

velocidade angular ω =

i

torque resultante

  τ i = Iα ∑

i

v = v0 + at

v = v 0 + 2 a ( x − x0 )

1 x = x0 + v0 t + a t 2 2 2 2

xf

α = constante

docsity.com

trabalho

1 θ = θ 0+ ω 0t+ α t2 2 2 2 ω = ω 0 + 2α (θ − θ 0 )

θ

f

ω = ω 0+ α t

trabalho

W = ∫ F dx

xi

W = ∫ τ dθ

θi

energia cinética potência massa

1 K= m v 2 2

energia cinética potência

K=

1 Iω 2

docsity.com

2

P = Fv

m

P= τ ω

I

Momento de inércia

docsity.com

docsity.com

comentários (0)
Até o momento nenhum comentário
Seja o primeiro a comentar!
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome