Codificação em Anéis Polinomiais - Exercícios - Tópicos de Álgebra Aplicada, Notas de estudo de Álgebra Linear. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
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Brasilia8012 de Março de 2013

Codificação em Anéis Polinomiais - Exercícios - Tópicos de Álgebra Aplicada, Notas de estudo de Álgebra Linear. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo da Codificação em Anéis Polinomiais.
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Tópicos de Álgebra 2010

Lista 5 - Codificação em Anéis Polinomiais

1. Mostre que 15Z é um ideal de 5Z, e que 5Z/15Z é isomorfo a Z3.

2. Dizemos que um ideal I do anel R é não trivial se I 6= {0} e I 6= R. (a) Encontre todos os ideais não triviais de Z20. (b) Mostre que os ideais em (a) são principais, encontrando um gerador para cada um deles (ou seja, para cada I ⊂ Z20 ideal, ache a ∈ I tal que I = a.Z20.

3. Demonstre: (a) R ⊂ Z é subanel ⇐⇒ R = mZ para algum m ∈ Z, m ≥ 0. (b) qualquer subanel de Z é ideal.

4. Seja R anel comutativo e a ∈ R. Mostre que o conjunto dos múltiplos de a, aR = {a.r | r ∈ R} é um ideal de R.

5. Um anel R de ordem 4 possui as seguintes tabuadas de soma e produto:

+ 0 1 α β 0 0 1 α β 1 1 0 β α α α β 0 1 β β α 1 0

· 0 1 α β 0 0 0 0 0 1 0 1 α β α 0 α β 1 β 0 β 1 α

(a) Mostre que R é um corpo. Qual a caracteŕıstica de R ? (b) Encontre um subcorpo K ⊂ R não trivial.

6. Dentre os anéis Z,Z17,Z39 identifique quais são domı́nios. Para os que não são encontre a e b não nulos, cujo produto seja nulo.

7. Se A e B são anéis, podemos definir o anel produto como A× B, com operações dadas por:

Soma : (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2) ,

Produto : (a1, b1).(a2, b2) = (a1.a2, b1.b2) ,

para quaisquer (a1, b1), (a2, b2) ∈ A× B. (a) Verifique todos os axiomas de anel para A× B. (b) Se A e B forem comutativos, e com identidade, mostre que também A× B é comutativo e com identidade (qual ?). (c) Se A e B forem corpos, explique porque A × B não será corpo. Isso mostra que criar corpos com um número finito e não primo de elementos não é tão simples como multipicar Zp × Zq.

8. Seja K um corpo e R = K[X]/(f(X)) um anel quociente, f(X) algum polinômio de coeficientes em K. Neste exerćıcio desejamos mostrar que os ideais de R são principais. Seja J ⊂ R ideal. (a) Definimos J ′ ⊂ K[X] como o conjunto dos polinômios g(X) tais que g ∈ J . Mostre que J ′ é ideal de K[X]. (b) Mostre que J ′ ⊃ (f(X)). (c) Sabemos que os ideais em K[X] são principais. Seja g(X) um gerador de J ′, J ′ = (g(X)) = g(X).K[X]. Mostre que g(X) é divisor de f(X). (d) Conclua que J é principal e gerado por g.

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9. Efetue:

a) (5X3 + 4X2 + 3) + (4X4 + 6X2 + 3X + 5) ∈ Z7[X]. b) (10X4 + 8X3 + 6X + 7) + (7X4 + 6X2 + 8X + 9) ∈ Z11[X]. c) (5X3 + 4X2 + 3)(4X4 + 6X2 + 3X + 5) ∈ Z7[X]. d) (10X4 + 8X3 + 6X + 7)(7X4 + 6X2 + 8X + 9) ∈ Z11[X]. e) (4X4 +X2 + 3X + 1)mod (5X3 + 4X2 + 3) ∈ Z7[X]. f) (2X8 + 6X3 + 4)mod (3X5 + 7X4 + 2X + 5) ∈ Z11[X].

10. Calcule o quociente e resto da divisão de g(X) por f(X):

a) g(X) = X7 −X3 + 5, f(X) =X3 + 7 em Q[X] . b) g(X) = X2 + 1, f(X) =X2 em Q[X] .

c) g(X) = X3 + 2X2 −X + 1, f(X) =X + 2 em Z3[X] . d) g(X) = X7 − 4X6 +X3 − 3X + 5, f(X) =2X3 − 2 em Z7[X] .

11. Calcule mdc(g(X), f(X)) para cada um dos pares de polinômios do exerćıcio 10

12. Mostre que: (a) o conjunto K = {a+ b

√ 2 | a, b ∈ Q} é um subcorpo de R, e que Q é um subcorpo de K.

(b) K é isomorfo a Q[X] (X2−2)

(dica: construa um homomorfismo sobrejetor Q[X] → K como f(X) 7→ f( √ 2),

e use o T. do isomorfismo).

13. Dos polinômios abaixo, quais são irredut́ıveis ?

a) p(X) = 4X3 + 3X2 +X + 1 ∈ Z5[X] b) p(X) = X3 +X2 +X + 1 ∈ Q[X] c) p(X) = X2 − 3X + 1 ∈ Z5[X] d) p(X) = 2X2 + 1 ∈ Z3[X] e) p(X) = 4X3 + 5X + 2 ∈ Z7[X] f) p(X) = 6X5 + 2X4 + 3X + 1 ∈ Z7[X] g) p(X) = X7 +X5 +X3 +X + 1 ∈ Z2[X]

14. Obtenha todos os fatores irredut́ıveis dos polinômios do ex 13 que forem redut́ıveis.

15. Identifique todos os corpos K obtidos da forma F [X] (p(X))

, sendo p(X) um dos polinômios irredut́ıveis

do ex 13 ou um dos fatores irredut́ıveis do ex 14 (não é necessário obter nenhum diagrama de Cayley). Se K for finito, identifique-o com K = Fqn , para algum primo q.

16. Para cada escolha de f(X) ∈ Z2[X] encontre todos os códigos polinomiais, ou seja, os ideais, de Z2[X]/(f(X)), identificando o gerador (divisor de f(X)) correspondente. Calcule o peso de cada um desses códigos e diga se são ćıclicos ou não.

a) f(X) = X3 + 1 b) f(X) = X4 + 1

c) f(X) = X4 +X2 + 1 d) f(X) = X7 +X5 +X3 +X + 1

e) f(X) = X6 − 1 17. Um código binário de 7 bits é gerado pelo polinômio h(X) = X5 +X3 +X + 1. Procure erros detectáveis nas seguintes palavras recebidas:

a) (0101001) b) (1101011) c) (0001100)

d) (1110100) e) (1011011) f) (1000101)

18. Obtenha todos os polinômios códigos do código de 6 bits gerado por h(X) = 1 +X2 +X3.

19. Verifique se os polinômios abaixo são códigos de 8 bits gerados por h(X) = 1 +X2 +X3 +X4.

a) 1 +X3 +X4 +X6 +X7 b) X +X2 +X3 +X6

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