Códigos Binários - Exercícios - Tópicos de Álgebra Aplicada, Notas de estudo de Álgebra Linear. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8012 de Março de 2013

Códigos Binários - Exercícios - Tópicos de Álgebra Aplicada, Notas de estudo de Álgebra Linear. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo dos Códigos Binários.
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Tópicos de Álgebra 2010

Lista 4 - Códigos Binários 1. Para cada uma das matrizes geradoras abaixo, identifique as dimensões m e n dos espaços na função de codificação fG : Z

m

2 → Zn

2 . Encontre o número máximo de erros detectáveis, e corriǵıveis,

nos respectivos códigos.

a)

1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1

 b)

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1

c)

1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1

d)

1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1

2. Seja f : Z3 2 → Z9

2 dada por f(abc) = (abcabcabc), onde a, b, c ∈ Z2 e designamos 0 = 1 e 1 = 0.

Encontre todas as palavras-códigos desse sistema. Esse código é linear ? Quantos erros detecta e corrige ?

3. Encontre a tabela completa de decodificação por classes laterais para o código dado por

G =

1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1

4. Escreva uma tabela de decodificação de duas colunas, com ĺıderes de classe e śındromes, para o código dado por

G =

1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1

 .

Usando esta tabela corrija a mensagem

1100011 1011000 0101110 0110001 1010110 .

5. Um código linear fG : Z 3

2 → Z6

2 é dado pela matriz

G =

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1

 .

Escreva a tabela de decodificação por śındromes (assim como no ex. 4). Considerando a seguinte tabela de conversão para caracteres

000 001 010 011 100 101 110 111 esp T E D A R N H

decodifique a mensagem 011011 110000 010110 100000 110110 110111 011111.

6. Um código binário tem matriz geradora

G =

1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1

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a) Determine o peso mı́nimo entre as palavras não nulas. Quantos erros podem ser detectados ou corrigidos ? b) Decodifique a mensagem: 101010101010 111111111100 000001000000 001000100010 001010101000.

7. Usaremos a convenção: n é o número de bits das palavras codificadas, m o número de bits das palavras-mensagens originais e k = n − m o número de bits de verificação. a) Para k = 0, 1, 2, . . . , 6 encontre n, m tais que existam códigos de Hamming (m, n). b) Assumindo que dois códigos de Hamming (n, m) são distintos se suas matrizes geradoras forem diferentes, encontre todos os códigos (matrizes geradoras) de Hamming (7,4). Em geral, quantos códigos de Hamming (m, n) existem ? c) Calcule a distância mı́nima entre palavras distintas no código de Hamming (m, n). Quantos erros este código detecta/corrige ?

8. Seja S ⊂ Zn um código linear isomorfo a Zm. Seja a o peso do código, ou seja, a = min{w(u) | u ∈ S − {0}}. Mostre que para qualquer v ∈ S existe algum u ∈ S tal que d(v, u) = a.

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