Cônicas - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Cônicas - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo das Cônicas.
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Lista de Exercícios _Cônicas.dvi

Instituto de Matemática - UFBA

Disciplina: Geometria Anaĺıtica - Mat A 01

1a Lista - Cônicas

1. Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos dados:

(a) foco F (3, 4) e diretriz d : x − 1 = 0;

(b) foco F(-1, 1) e vértice V (0, 0);

(c) vértice V (1, 2), eixo focal paralelo a OX e P (-1, 6) é um ponto de seu gráfico;

(d) eixo focal paralelo a OY e os pontos P( 0, 0), Q(1, -3) e R(-4, -8) pertencem a seu gráfico;

(e) eixo focal e.f.: y − 5 = 0, diretriz d : x − 3 = 0 e vértices sobre a reta r : y = 2x + 3;

(f) vértice V (1, 1) e foco F( 0, 2);

(g) eixo focal OY e o ponto L(2, 2) é uma das extremidades do latus rectum.

2. Dadas as equações das parábolas:

(a) 4y2 − 48x − 20y − 71 = 0

(b) y2 − 2xy + x2 + 16x + 16y = 0,

Determine para cada uma delas os seguintes itens:

i. as coordenadas do vértice e do foco;

ii. as equações da diretriz e do eixo focal;

iii. o comprimento do latus rectum.

3. Uma parábola P tem equação y ′2

= −8x ′

em relação ao sistema x ′

O ′

y ′

indicado na figura 1.

Determine:

(a) o esboço gráfico de P;

(b) as coordenadas do foco e a equação da diretriz de P em relação ao sistema x ′

O ′

y ′

;

(c) uma equação de P, em relação ao sistema xOy.

1 2 3 4−1−2−3

1

2

3

4

5

6

−1

bc

x

y

y ′

x ′

Figura 1

1

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4. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distância ao ponto

P(-2, 3) é igual à sua distância à reta r : x+6 = 0. Em seguida determine uma equação deste lugar

geométrico.

5. Determine o comprimento da corda focal da parábola x2 + 8y = 0 que é paralela à reta r : 3x +

4y − 7 = 0.

6. Um cometa se desloca numa órbita parabólica tendo o Sol como o foco. Quando o cometa está

a 4.107 km do sol (figura 2), a reta que os une forma um ângulo de 60o com o eixo da órbita.

Determine a menor distância que o cometa se encontra do Sol.

x

y

60o

S

C

Figura 2

7. Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da elipse, a partir dos elementos dados;

(a) focos F1(3, 8) e F2(3, 2), e comprimento do eixo maior igual a 10;

(b) vértices V1(5,−1) e V2(−3,−1), e excentricidade e = 3 4 ;

(c) Centro C(−1,−1), vértice V (5,−1) e excentricidade e = 23 ;

(d) Centro C(1, 2), foco F (6, 2) e P (4, 6) é um ponto da elipse;

(e) F (−4,−2) e F (−4,−6), e med(LR) = 6;

(f) vértice V (3,−3) e extremos do eixo menor B1(2, 2) e B2(−2,−2);

(g) o centro sobre a reta r : y = 2, foco F (3, 4), excentrencidade e = 2 √

5 5 e os seus eixos são

paralelos aos eixos coordenados.

8. Dadas as equações das elipses:

(a) x2 + 4y2 + 2x − 24y + 33 = 0

(b) 17x2 + 12xy + 8y2 − 100 = 0,

determine para cada uma os seguintes itens:

i. as coordenadas dos vértices e focos;

ii. a excentricidade e o comprimento do latus rectum;

2

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iii. as equações dos eixos focal e normal;

iv. comprimentos dos eixos maior e menor.

9. Um ponto P(x, y) se desloca de modo a soma de suas distâncias aos pontos A(3, 1) e B(-5, 1) é 10.

Diga qual a curva descrita por P e em seguida determine sua equação.

10. Determine o comprimento dos raios focais do ponto P (3, 74 ) sobre a elipse 7x 2 + 16y2 = 112.

11. Determine uma equação da cônica com centro na reta r : x− 3 = 0, eixo focal paralelo ao eixo OX,

um dos vértices V(7, 0) e e = 12 .

12. Em cada um dos itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados:

(a) focos F1(−1, 3) , F2(−7, 3) e comprimento do eixo transverso igual a 4;

(b) vértices V1(5, 4) , V2(1, 4) e comprimento do latus rectum igual a 5;

(c) focos F1(2, 13), F2(2,−13) e comprimento do eixo conjugado igual a 24;

(d) centro C(0, 0), um dos focos F(4, 4) e um dos vértices V (2 √

2, 2 √

2);

(e) asśıntotas r : 4x + y − 11 = 0 e s : 4x − y − 13 = 0e um dos vértices V(3, 1);

(f) um dos focos F (2 √

2, 2 √

2), eixo normal: y = −x e excentricidade e = 32 ;

(g) eixo normal:y = 2, uma das asśıntotas r : 2x− y − 4 = 0 e comprimento do latus rectum igual

a 3.

13. Dada a equação xy− 3x+4y− 13 = 0, identifique a cônica e determine as coordenadas dos vértices

e focos, as equações dos eixos focal e normal, a excentricidade e o comprimento do latus rectum.

14. Uma hipérbole em relação ao sistema x ′

Oy ′

(figura 3) tem equação (x ′

−2) 2

4 − y ′2

4 = 1.

Determine, em relação ao sistema xOy:

(a) as coordenadas dos vértices e focos;

(b) as equações das asśıntotas;

(c) a sua equação.

1 2 3 4−1−2−3

3

bc bc

bc

x

y

3

y ′

x ′

Figura 3

15. Determine o lugar geométrico descrito por um ponto que se desloca de modo que o módulo da

diferença de suas distâncias aos pontos P1(−6,−4) e P2(2,−4) é igual a 6.

3

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16. Escreva uma equação da hipérbole conjugada da hipérbole de equação x 2

9 − y 2

16 = 1. Determine,

para cada curva, as coordenadas dos focos e as equações das asśıntotas.

17. Determine uma equação da hipérbole equilátera de focos nos pontos F1(1, 6) e F2(1,−2).

18. Determine uma equação da elipse com excentricidade e = 13 e cujos focos coicidem com os vértices

da hipérbole H:16x2 − 9y2 − 64x − 18y + 199 = 0.

19. Determine uma equação da parábola cujo vértice coincide com o centro da hipérbole H: 2x2−7y2−

4x + 14y − 19 = 0, e sua diretriz coincide com o eixo focal da elipse E: (x−1) 2

4 + (y + 2) 2 = 1.

20. Determine uma equação da elipse de excentricidade igual a √

3 2 e com eixo maior coincidindo com

o latus rectum da parábola de equação y2 − 4y − 8x + 28 = 0.

21. Determine e identifique uma equação do lugar geométrico dos pontos do plano cujas abcissas e

coordenadas são respectivamente iguais as abcissas e às metades das ordenadas dos pontos da

circunferência de equação x2 + y2 = 25.

22. Considere os pontos A(−1, 0) e B(2, 0). Determine uma equação do lugar geométrico dos pontos M

do plano não pertencentes à reta AB e tais que o ângulo B do triângulo AMB seja sempre o dobro

do ângulo A do mesmo triângulo. Esboce a curva.

23. Dois vértices de um triângulo são os pontos A(1, 0) e B(5, 0). Determine uma equação do terceiro

vértice C, se este se move de tal forma que a diferença entre os comprimentos AC e BC é sempre

igual à metade do comprimento do lado AB.

24. Um matemático aceitou um cargo numa nova Universidade situada a 6 km da margem retiĺınea de

um rio. O professor deseja construir uma casa que esteja a uma distância à Universidade igual a

metade da distância até a margem do rio. Os posśıveis locais satisfazendo esta condição pertencem

a uma curva. Defina esta curva e determine sua equação em relação a algum sistema à sua escolha.

25. Um segmento AB de 12 unidades de comprimento(u.c), desloca-se de modo que A pecorre o eixo

OX e B percorre o eixo OY. O ponto P(x, y) é interior ao segmento AB e fica situado a 8 u.c. de

A. Estabeleça uma equação do lugar geométrico descrito pelo ponto P.

4

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RESPOSTAS

1.

a) 4(x − 2) = (y − 4)2 b)x2 + 2xy + y2 + 8x − 8y = 0

c) −8(x − 1) = (y − 2)2 d)−(y − 1) = (x + 1)2

e) −8(x − 1) = (y − 5)2 f)x2 + 2xy + y2 + 4x − 12y + 4 = 0

g) 4(y − 1) = x2

2. (a) i) V (−2, 52 ) ; F (1,

5 2 ) ii) diretriz: x = −5; eixo focal :2y − 5 = 0

iii) med(LR) = 12

(b) i) V (0, 0) ; F (−2,−2) ii) diretriz: y = −x + 4; eixo focal :y = x

3. b) (−2, 0); diretriz: x

= 2

c) P: 4x2 − 4xy + y2 + (4 + 8 √

5)x + (16 √

5− 2)y + (1− 56 √

5) = 0

4. parábola, (y − 3)2 = 8(x + 4)

5. 252

6. 107 km

7.

a) (x−3) 2

16 + (y−5)2

25 = 1 b) (x−1)2

16 + (y+1)2

7 = 1

c) (x+1) 2

36 + (y+1)2

20 = 1 d) (x−1)2

45 + (y−2)2

20 = 1

e) (x+4) 2

12 + (y+4)2

16 = 1 13x 2 + 10xy + 13y2 − 144 = 0

g) (x−3) 2

1 + (y−2)2

5 = 1

8. (a)

i) V1(1, 3); V2(−3, 3); F1(−1 + √

3, 3); F2(−1− √

3, 3)

ii) e = √

3 2 ; med(LR) = 1

iii) eixo focal: y = 3; eixo normal: x = −1

iv) med(eixo maior) = 4u.c.; med(eixo menor) = 2 u.c.

(b)

i) V1(−2, 4); V2(2,−4); F1(− √

3, 2 √

3); F2( √

3,−2 √

3)

ii) e = √

3 2 ; med(LR) =

5

iii) eixo focal: y = −2x; eixo normal: y = x2

iv) med(eixo maior) = 4 √

5u.c.; med(eixo menor) = 2 √

5 u.c.

9. elipse, (x+1) 2

25 + (y−1)2

9 = 1

10. 74 e 25 4

11. (x−3) 2

16 + (y)2

12 = 1

12.

a) (x+4) 2

4 − (y−3)2

5 = 1 b) (x−3)2

4 − (y−4)2

5 = 1

c) y 2

25 − (x−2)2

144 = 1 d) xy = 8

e) (y+1) 2

4 − (x−3)2

1

4

= 1 9x2 + 162xy + 9y2 − 640 = 0

g) (y−2) 2

36 − (x−3)2

9 = 1

5

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13. Hiprérbole; F1(−4−

2, 3− √

2); F2(−4 + √

2, 3 + √

2); V1(−3, 4); V2(−5, 2)

eixo focal: y = x + 7; eixo normal: y = −x − 1, e e = 2√ 2 , med(LR) = 2

2

14.

a) V1(2 √

3, 2); V2(0, 0); F1( √

3(1 + √

2), 1 + √

2); F2( √

3(1− √

2), 1− √

2)

b) r: (1− √

3)y + (1 + √

3)x − 4 = 0; s:(1 + √

3)y + ( √

3− 1)x − 4 = 0

c) ( √

3x+y−4)2

16 − ( √

3y−x)2

16 = 1

15. (x+2) 2

9 − (y+4)2

7 = 1

16. Hipérbole conjugada:

equação: y 2

16 − x 2

9 = 1; focos F1(0, 5) e F2(0,−5); asśıntotas:y = 4 3x e y = −

4 3x.

Hipérbole dada:focos F1(5, 0) e F2(−5, 0); asśıntotas: as mesmas da hipérbole conjugada

17. (y−2) 2

1 − (x−1)2

1 = 8

18. (x−2) 2

128 + (y+1)2

144 = 1

19. (x − 1)2 = 12(y − 1)

20. (y−2) 2

16 + (x−5)2

4 = 1

21. x2 + 4y2 = 25 (elipse)

22. Ramo direito da hipérbole 3x2 − y2 = 3, excluindo o vértice.

23. 3x2 − y2 − 18x + 24 = 0 (menos o vértice)

24. Elipse.

Considerando o sistema xOy, onde o eixo Ox é a margem do rio e a Universidade se encontra no

ponto Q(0, 6) sobre o eixo Oy, a equação da curva é 4x2 + 3(y − 8)2 = 48.

25. x 2

16 + y 2

64 = 1

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