Conjuntos - Apostilas - Estatística, Notas de estudo de Estatística. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Conjuntos - Apostilas - Estatística, Notas de estudo de Estatística. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Estatística sobre o estudo dos conjuntos, subconjuntos, conjunto das partes, operações com conjuntos, propriedades da união e intersecção.
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Conjuntos

Definição: Conjunto é uma coleção de objetos ou coisas com uma mesma propriedade. Igualdade de Conjuntos: Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Vazio: Não existe nenhum elemento, a notação é φ. Unitário: Quando existe apenas um elemento. Universo: É o conjunto de todos os elementos. Dizemos que um elemento pertence ao conjunto A escrevemos a ∈ A

Subconjuntos

Definição: A é subconjunto de B, quando todo elemento de A também é elemento de B, notação A ⊂ B. o conjunto vazio e subconjunto de qualquer conjunto. Algumas propriedades: (i) Reflexiva: Para qualquer conjunto temos que A ⊂ A; (ii) Anti-simétrica: Se A ⊂ B e B ⊂ A então A = B; (iii) Transitiva: Se A ⊂ B e B ⊂ C então A ⊂ C.

Geralmente quando se quer mostrar que dois conjuntos são iguais usamos o item (iii).

Conjunto das Partes

Definição: O conjunto das partes é o conjunto formado por todos os sub- conjuntos de um conjunto. Notação PA. Complementar de um conjunto de um modo geral, dado um conjunto A de um certo universo U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Notação CAU = Ac = A podemos escrever o complementar como

Ac = {x|x ∈ U e x /∈ A}

algumas observações: (i)(Ac)c = A para todo A ⊂ U ;

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(ii)A ⊂ B então Bc ⊂ Ac.

Operações com Conjuntos (i) A − B é o conjunto formado pelos elementos que estão em A mas não estão em B, ou seja,

A−B = {x|x ∈ A e x /∈ B}

(ii) A∩B é o conjunto formado pelos elementos que estão em ambos, ou seja,

A ∩B = {x|x ∈ A e x ∈ B}

(iii) A ∪B é o conjunto formado pelos elementos que estão em A ou em B

A ∪B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}

Propriedades da União e Intersecção Para todos os conjuntos A,B,C tem-se (i) Comutatividade: A ∪B = B ∪ A e A ∩B = B ∩ A; (ii) Associatividade: (A ∪B)∪C = A∪(B ∪ C) e (A ∩B)∩C = A∩(B ∩ C); (iii) Distributividade: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C); (iv) Se A ⊂ B ⇒ A ∪B = B ⇒ A ∩B = A; (v) A ⊂ B ⇒ (A ∪ C) ⊂ (B ∪ C) e A ⊂ B ⇒ (A ∩ C) ⊂ (B ∩ C); (vi) Leis de Morgan

(A ∪B)c = Ac ∩Bc e (A ∩B)c = Ac ∪Bc

Números de elementos da reunião de dois conjuntos

n (A ∪B) = n (A) + n (B)− n (A ∩B)

Análise Combinatória

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Princípio Fundamental da Contagem

Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na primeira etapa é m e para a segunda etapa é n, então o número total de possobilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m.n. podemos generalizar para o caso em que exista t etapas, o número total de possobilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m1.m2. · · ·mn.

Permutação Simples

Permutação com Repetição A permutação de m elementos dos quais alguns se repetem a1, a2, · · · , an vezes com a1 + a2 + · · ·+ an = m

P a1,a2,···,ann = n!

a1!a2! · · ·!an

Arranjo simples

Arranjo simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os agrupamentos ordenados diferentes que se podemos formar com p dos n elementos dados. Indica-se por (An,p ou Apn)

An,p = n!

(n− p)!

Combinação Simples

Combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os subcon- juntos tomados com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados. Indica-se por

( Cn,p ou C

p n ou

( n p

)) Cn,p =

n!

p!. (n− p)! ou Cn,p =

An,p p!

OBS:

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Como são subconjuntos de um conjunto, a ordem dos elementos não im- porta. Uma propriedade importante das combinações é

Cn,p = Cn,n−p

Espaço Amostral

Definição: Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório e é representado por Ω ele pode ser enumerável (finito ou infinito) ou não-enumerável (reta real). Definição: Uma classe de subconjuntos de ω. Representado por F é de- nominado uma Γ− algebra se satisfaz: (i) Ω ∈ F (ii) Se A ∈ F então Ac ∈ F (iii) Se Ai ∈ F, i ≥ 1 então

⋃ i≥1 ∈ F

Se apenas a união finita está em F temos uma classe menos restrita, de- nominada álgebra.

Probabilidade

Definição: Uma função P , definida na Γ− algebra F de subconjuntos de Ω e com valores em [0, 1] é uma probabilidade se satisfaz: (i)P (Ω) = 1 (ii) Para toda sequência de eventos A1, A2, · · · , An disjuntos então

P

⋃ i≥1

Ai

 = ∑ i≥1

P (Ai)

Propriedades: (1) P (A) = 1− P (Ac) (2) Sendo A e B eventos quaisquer então P (B) = P (AB) + P (BAc) (3) Se A ⊂ B então P (A) ≤ P (B) (4) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) (5) Para quaiquer eventos A1, A2, · · · , An tem-se

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P

⋃ i≥1

Ai

 ≤∑ i≥1

P (Ai)

Probabilidade Condicional

Seja (Ω, F, P ) Espaço de probabilidade dado. Suponha que tenha ocorrido um evento B ∈ F . Seja A ⊂ F um evento qualquer a única forma dele ocorrer seria se existise A ∩B, é natural considerarmos (B,FB, PB).

FB é uma Γ − algebra formada por elementos do tipo A ∩ B, então PB(A) = k.P (A ∩B). Mas

PB(B) = k.PB(B ∩B) = kPB(B)⇒ k = 1

PB(B)

Definição: Considere os eventos A e B em (Ω, F, P ) sendo P (B) > 0 a probabilidade condicional de A dado que B ocorreu é dado por

P (A|B) = P (A ∩B) P (B)

Se P (B) = 0 então definimos P (A|B) = P (A).

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