Construção de tabelas e gráficos - 3° Relatório de física experimental, Exercícios de Física Aplicada. Universidade Federal de Roraima (UFRR)
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nelsonpoer13 de Maio de 2014

Construção de tabelas e gráficos - 3° Relatório de física experimental, Exercícios de Física Aplicada. Universidade Federal de Roraima (UFRR)

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Relatório de física experimentaI - Construção de tabelas e gráficos Universidade Federal de Roraima Pró-Reitoria de Graduação Centro De Ciência e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Curso de Bacharelado em E...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA

PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO

CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL

NELSON POERSCHKE

Física Experimental I

Construção de tabelas e gráficos

Relatório

Boa Vista

2013

2

OBJETIVOS

1. Construção de tabelas.

2. Construção de gráficos em papel milimetrado.

3

ATIVIDADE

Tabela 1 – Posição (x) de um móvel em função do tempo (t).

(x ± 2) (10 ) (t ± 1) (10 )

21 30

40 50

59 70

80 90

1. A partir da Tabela 1:

a) Construa o gráfico (x) versus (t).

Como a posição varia em função do tempo, teremos como variável dependente a posição e

como variável independente o tempo:

Escolho, assim, o eixo x do gráfico para expressar o tempo (t) e o eixo y do gráfico para

expressar a posição (x).

Como a maior grandeza do tempo (90) é maior que a maior grandeza da posição (80), escolho

o lado maior do gráfico, na posição horizontal, para representar o eixo x.

Cálculo da escala do gráfico:

Variável dependente, posição, (eixo y).

( ) ( )

=

⇒ = ( )

⇒ = 4,444 (10 ) ≅ 5,0 (10 )/

Assim, 5,0 (10 ) na Tabela 1, é representado por 1,0 cm no eixo y do gráfico.

Variável independente, tempo, (eixo x).

( ) ( )

=

⇒ = ( )

⇒ = 3,214 (10 ) ≅ 4,0 (10 )/

Assim, 4,0 (10 ) na Tabela 1, é representado por 1,0 cm no eixo x do gráfico.

4

Tabela 1a – Eixos do gráfico para a posição (x) de um móvel em função do tempo (t).

Gráfico – Anexo I

Eixo x (cm) (t ± 1)(10 )

4

Eixo y (cm) (x ± 2)(10 )

5

7,5 4,2

12,5 8,0

17,5 11,8

22,5 16,0

Gráfico da posição (x) de um móvel em função do tempo (t).

Anexo I

b) Obtenha a função x(t) que representa a curva com valores dos coeficientes angular e linear.

= + onde a é o coeficiente angular e b o linear.

Coeficiente angular:

Escolhidos dois pontos sob a reta: (30 , 21) e (50 , 40)

= = = ⇒ = 0,95

Coeficiente linear:

Extrapolando a reta do gráfico até cortar o eixo y, encontramos o coeficiente linear, que

representa o valor da variável dependente (y) quando a variável independente (x) for igual a 0.

= −1,5 (na escala do gráfico, 1 cm no eixo y representa 5(10-1) no eixo x).

Logo, o coeficiente linear é: = −1,5 (5 × 10 ) = −7,5.

A função x (t)=

= 0,95 − 7,5

5

c) Através do ajuste da curva pelo método direto, obtenha os valores dos coeficientes angular e

linear com seus respectivos desvios padrão. Comente o resultado em relação ao item anterior.

Pontos:

1 (30 , 21); 2 (50 , 40); 3 (70 , 59); e 4 (90 , 80)

, =

, = = = 0,95 , = = = 0,95 , = = = 0,983

, = = = 0,95 , = = = 1 , = = = 1,05

= ∑ = , , , ,

= 0,9806

, = . .

, = . . = − = −7,5 , =

. . = − = −7,5

, = . . = − = −8,5 , =

. . = − = −7,5

, = . . = − = −10 , =

. . = − = −14,5

= ∑ = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) = −9,25

A equação da posição em função do tempo é:

= 0,9806 − 9,25

Observei que tanto o coeficiente angular quanto o linear apresentaram diferenças no resultado.

Penso ser essa diferença resultado de erro no ponto 4, pois o mesmo não está sob a reta. No cálculo

realizado no item anterior, utilizam-se apenas dois pontos, aleatórios, subsequentes ou não, para

encontrar o coeficiente angular e o prolongamento da reta para o coeficiente linear, enquanto o

resultado obtido no método direto é média dos coeficientes, dois a dois pontos, entre todos os pontos.

6

2. Considere as tabelas de dados abaixo:

Tabela 3 – Velocidade em função do tempo.

v (10 / ) 108 150 164 196 234 266 311 348

t (10 ) 33 67 100 133 167 200 233 267

Tabela 4 – Posição de um móvel em função do tempo.

x (m) 1,2 4,9 11,0 19,6 30,6 44,0 60,0 78,4 99,2 122,5

t ( ) 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tabela 5 – Força em função da massa.

F (9,8 × 10-3 N) 160 200 250 285 325

m (10-2 kg) 20 25 30 35 40

a) Identifique a variável independente e a variável dependente.

Tabela 3

t é variável independente; e

v é a variável dependente.

Tabela 4

t é variável independente; e

x é a variável dependente.

Tabela 5

m é variável independente; e

F é a variável dependente.

7

b) Vale a pena incluir o zero na distribuição dos pontos? Para isso considere o que pretende

obter a partir do gráfico.

A inclusão do zero no gráfico é importante nos casos em que se deseja encontrar o valor de

uma variável quando a outra é zero. Sempre que o zero não interfere na representação gráfica,

deslocando demasiadamente os dados do gráfico para a direita ou para cima, deve ser mantido.

c) Qual é a variação de cada variável?

Tabela 3.

- variável independente: de 33 a 267 – a variação é 234 unidades.

- variável dependente: de 108 a 348 – a variação é 240 unidades.

Tabela 4.

- variável independente: de 0,5 a 5,0 – a variação é 4,5 unidades.

- variável dependente: de 1,2 a 122,5 – a variação é 121,3 unidades.

Tabela 5.

- variável independente: de 20 a 40 – a variação é 20 unidades.

- variável dependente: de 160 a 235 – a variação é 75 unidades.

d) Em cada caso, o eixo maior representa a variável dependente ou independente.

Tabela 3

A variável dependente.

Tabela 4

A variável dependente.

Tabela 5

A variável dependente.

8

e) Construa os gráficos relativos a cada tabela e verifique qual o tipo de dependência matemática entre as variáveis.

Tabela 3 – Velocidade em função do tempo.

v (10 / ) 108 150 164 196 234 266 311 348

t (10 ) 33 67 100 133 167 200 233 267

Como a velocidade varia em função do tempo, teremos como variável dependente a

velocidade e como variável independente o tempo:

Escolho, assim, o eixo x para expressar o tempo e o eixo y para expressar a velocidade.

Como a maior grandeza da variável dependente, a velocidade (348) é maior que a maior

grandeza do tempo (267), escolho o lado maior do gráfico para representar o eixo y.

Cálculo da escala do gráfico:

Variável dependente, velocidade, (eixo y).

( / ) ( / )

=

⇒ = ( / )

⇒ = 12,428 (10 / ) ≅ 13 (10 / )/ .

Assim, 13 (10 / ) na Tabela 3, é representado por 1,0 cm no eixo y do gráfico.

Variável independente, tempo, (eixo x).

( ) ( )

=

⇒ = ( )

⇒ = 13,35 (10 ) ≅ 14 (10 )/ .

Assim, 14 (10 ) na Tabela 1, é representado por 1,0 cm no eixo x do gráfico.

9

Tabela 3a – Eixos do gráfico para a velocidade (v) de um móvel em função do tempo (t).

Gráfico II

Eixo x (cm)

(10 )

14

Eixo y (cm)

(10 / )

13

2,35 8,30

4,80 11,55

7,15 12,60

9,50 15,10

11,95 18,00

14,30 20,45

16,65 23,90

19,05 26,75

Anexo II. - Gráfico da velocidade (v) função do tempo (t).

Tabela 3b - Relação matemática entre as variáveis.

X t(10-3)s

Y v (10-2) m/s

Xi.Fi Xi2

33 108 3564 1089

67 150 10050 4489

100 164 16400 10000

133 196 26068 17689

167 234 39078 27889

200 266 53200 40000

233 311 72463 54289

267 348 92916 71289

1200 1777 313739 226734

= [ .∑( . )] [(∑ ).(∑ )] .∑ (∑ )

= .226734−12002

= ,

= 1,0097 ≅ 1,01

̅ = 1200

8 = 150

10

= 1777

8 = 222,13

= + ⇒ = 222,13− 1,01.150 ⇒ = 70,67

= 1,07 + 70,67

Então:

= 1,07 + 70,67

Onde: v = velocidade e t = tempo.

Tabela 4 – Posição de um móvel em função do tempo.

x (m) 1,2 4,9 11,0 19,6 30,6 44,0 60,0 78,4 99,2 122,5

t ( ) 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Como a posição varia em função do tempo, teremos como variável dependente a posição e

como variável independente o tempo:

Escolho, assim, o eixo x para expressar o tempo e o eixo y para expressar a posição.

Como a maior grandeza da posição (122,5) é maior que a maior grandeza do tempo (5,0),

escolho o lado maior do gráfico para representar o eixo y.

Cálculo da escala do gráfico:

Variável dependente, posição, (eixo y).

, ( )

=

⇒ = ,

⇒ = 4,375 ≅ 5,0 /

Assim, 5,0 na Tabela 4, é representado por 1,0 cm no eixo y do gráfico.

Variável independente, tempo, (eixo x).

, ( )

=

⇒ = ,

⇒ = 0,25 /

Assim, 0,25 na Tabela 4, é representado por 1,0 cm no eixo x do gráfico.

11

Deixei de aproximar para o inteiro maior em virtude de que o valor aproximado desviaria os

dados para a esquerda do gráfico no eixo x.

Tabela 4a – Eixos do gráfico para a posição (x) de um móvel em função do tempo (t).

Gráfico III

Eixo x (cm)

0,25

Eixo y (cm) 5

2,00 0,25

4,00 1,00

6,00 2,20

8,00 3,90

10,00 6,10

12,00 8,80

14,00 12,00

16,00 15,70

18,00 19,85

20,00 24,50

Anexo III - Gráfico da velocidade (v) função do tempo (t).

Tabela 5 – Força em função da massa.

F (9,8 × 10-3 N) 160 200 250 285 325

m (10-2 kg) 20 25 30 35 40

Como a força varia em função da massa, teremos como variável dependente a força e como

variável independente a massa:

Escolho, assim, o eixo x para expressar a massa e o eixo y para expressar a força.

Como a maior grandeza da força (325) é maior que a maior grandeza da massa (40), escolho o

lado maior do gráfico para representar o eixo y.

Cálculo da escala do gráfico:

Variável dependente, força, (eixo y).

12

( , × ) ( ) =

⇒ = ( , × )

⇒ = 5,893 (9,8 × 10 ) / ≅

7,0 (9,8 × 10 ) /

Assim, 7,0 (9,8 × 10 N) na Tabela 5, é representado por 1 cm no eixo y do gráfico.

A escolha desta escala se deu para ajustar as duas escalas do gráfico de modo que todos os

dados pudessem ser representados.

Variável independente, massa, (eixo x).

( ) ( )

=

⇒ = ( )

⇒ = 1,0 (10 ) kg/cm

Assim, 1,0 (10 kg) na Tabela 5, é representado por 1,0 cm no eixo x do gráfico.

Tabela 5a – Eixos do gráfico para força (F) em função da massa (m).

Gráfico IV

Eixo x (cm) (10 )

Eixo y (cm)

(9,8 × 10 )

7

20 23,55

25 28,55

30 35,70

35 40,70

40 46,45

Anexo III - Gráfico da velocidade (v) função do tempo (t).

Tabela 5b - Relação matemática entre as variáveis

X m (10-2 kg)

Y F (9,8x10-3 N)

Xi.Fi Xi2

20,00 160,00 3200,00 400,00

25,00 200,00 5000,00 625,00

30,00 250,00 7500,00 900,00

35,00 285,00 9975,00 1225,00

40,00 325,00 13000,00 1600,00

150,00 1220,00 38675,00 4750,00

13

= [ .∑( . )] [(∑ ).(∑ )] .∑ (∑ )

= .

= = 0,6693 ≅ 0,67

̅ = = 30 e = = 244

= + ⇒ = 244− 0,67.30 ⇒ = 223,92

= 0,67 + 223,92

Então:

= 0,67 + 223,92

Onde: F = força e m = massa.

f) Qual a equação que representa a curva? Isto é, encontre os coeficientes angulares e lineares e escreva as respectivas equações para os casos que a dependência entre as grandezas forem lineares.

Tabela 3

= + onde a é o coeficiente angular e b o linear.

Coeficiente angular:

Escolhidos dois pontos sob a reta do gráfico: (100 , 164) e (233 , 311).

= = = ⇒ = 1,105

Coeficiente linear:

= + ⇒ = 1,105 + escolhendo um dos pontos para substituir.

164 = 1,105.100 + ⇒ = −1,105.100 + 164 ⇒ = 53,5

O coeficiente angular é 1,105 e o coeficiente linear é = 53,5.

= 1,1055 + 53,5

14

Tabela 5

= + onde a é o coeficiente angular e b o linear.

Coeficiente angular:

Escolhidos dois pontos sob a reta do gráfico: (20 , 160) e (35 , 285).

= =

= ⇒ = 8,333

Coeficiente linear:

= + ⇒ = 8,333 + escolhendo um dos pontos para substituir.

160 = 8,333.20 + ⇒ = −8,333.20 + 160 ⇒ = −6,67

O coeficiente angular é 8,333 e o coeficiente linear é = −6,67.

= 8,333 − 6,67

g) Discuta com seu professor como encontrar os coeficientes para os casos em que a

dependência entre as grandezas não for linear.

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