Continuação topologias fracas; Teorema de Alaoglu - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Continuação topologias fracas; Teorema de Alaoglu - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo da Continuação topologias fracas; Teorema de Alaoglu.
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UFPB/CCEN/Departamento de Matemática

Introdução à Análise Funcional

Lista 6: Continuação topologias fracas; Teorema de Alaoglu

1. Seja δn ∈ l2(N)= l2(N) definido por δn(x1, x2, . . . ) = xn. Mostre que δn w∗−→ 0, mas

(δn)n não converge em l 2(N).

2. Seja X um espaço de Banach e seja (fn)n sequência em X ∗ tal que para cada x ∈ X,

fn(x) é convergente. Mostre que existe f ∈ X∗ tal que fn w∗−→ f .

3. Seja X um espaço de Banach. Mostre que K ⊂ X∗ é compacto na topologia fracase, e somente se, é fechado na topologia fracae limitado na topologia forte (na norma de

X∗).

4. Se X é um espaço reflexivo, então K ⊂ X é compacto na topologia fraca se, e somente se, K é fechado na topologia fraca e limitado (na norma de X).

5. Seja X um espaço vetorial normado. Dizemos que uma sequência (xn)n ⊂ X fraca- mente de Cauchy se (f(xn)n) é uma sequência de Cauchy em F para todo f ∈ X∗. Se qualquer sequência fracamente de Cauchy é fracamente convergente diremos que X

fracamente sequencialmente completo. Mostre que todo espaço reflexivo é fracamente

sequencialmente completo.

6. Se X é separável, mostre que toda sequência limitada (fn)n em X ∗ possui uma sub-

sequência fracamenteconvergente.

7. Seja X um espaço vetorial normado de dimensão infinita. Mostre que:

(a) A esfera unitária S = {x ∈ X : ∥x∥ = 1} não é fechada na topologia fraca e que seu fecho fraco coincide com a bola unitária B = {x ∈ X : ∥x∥ ≤ 1}.

(b) A bola aberta B = {x ∈ X : ∥x∥ < 1} não é aberta na topologia fraca e seu interior fraco é vazio.

(c) Se F é um conjunto fechado e convexo então F é um fechado fraco.

8. Verifique que no cubo de Hilbert

C = {x = (x1, x2, . . . ) ∈ lp(N) : |xj| ≤ 1

j , ∀j}, 1 ≤ p < ∞

a convergência fraca é equivalente a convergência forte.

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