Curvas planas, funções reais, Exercícios de Matemática. Universidade Federal do Pará (UFPA)
amandathomaz
amandathomaz23 de Março de 2016

Curvas planas, funções reais, Exercícios de Matemática. Universidade Federal do Pará (UFPA)

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III BIENAL DA SBM

Curvas planas, Funções reais e Transformações no plano;Aspectos matemáticos com apoio de programa livre

- 06 A 10 NOV / 2006 – Adelmo R. de Jesus

Rosely O. Bervian

1. Introdução

Neste minicurso/oficina lidaremos com os aspectos matemáticos de transformações P→ f(P)

onde se tem o domínio X e o contradomínio Y separadamente, em três situações distintas, mas

que em alguns casos podem podem ser interligadas. São elas:

I) Curvas planas t (x(t), y(t))

Análise do comportamento de algumas curvas planas, de forma dinâmica, melhorando a compreensão de como estes traços são construídos.

II) Funções reais (x,y) f(x,y)

Apresentação de um método geométrico de verificação da existência do limite/continuidade de funções reais de duas variáveis.

III) Transformações do plano (x,y) ( U(x,y), V(x,y) )

Estudo das transformações do plano: translações, rotações, simetrias, cisalhamentos.

Em cada uma dessas dimensões serão abordados os aspectos de investigação matemática acima

com apoio do módulo “Mapeador” do Winplot. Este módulo permite que professores e alunos

trabalhem com duas janelas simultaneamente, uma para o domínio e outra para o

contradomínio, permitindo a interação entre eles, e tornando mais dinâmica a apresentação

dessas transformações.

Pretendemos dar as justificativas matemáticas da maioria das atividades propostas. Também

está prevista uma seção no Laboratório de Informática para que os participantes realizem

algumas das atividades.

Os requisitos para este minicurso são relativamente pequenos, como o conceito de função, a

noção de limite, e Geometria Analítica básica.

Antecipadamente agradecemos as sugestões que nos forem encaminhadas, a fim de melhorar

nosso trabalho.

Adelmo Ribeiro de Jesus Rosely Ouais Pestana Bervian

2

PARTE I – PROPRIEDADES DE CURVAS1

Nesta primeira parte vamos abordar a noção de curva plana ou espacial e dar alguns exemplos.

Nosso objetivo é mostrar como podemos visualizar o traço de algumas dessas curvas utilizando

suas equações paramétricas.

Definição 1: Uma curva em IRn é uma função F: I → IRn , F(t) = (x1(t),x2(t) ..., xn(t)).

Quando t varia em I o ponto P=F(t) descreve uma trajetória em IRn que define geometricamente

uma curva neste ambiente. Esta noção de curva é uma mera generalização dos casos clássicos

de curvas planas F(t) = (x(t),y(t)) e espaciais F(t) = (x(t),y(t), z(t)).

É comum nestes casos utilizar as notações x x(t)

; t [a, b] y y(t)

= ∈ =

para curvas planas e

x x(t) y y(t) ; t [a, b] z z(t)

=  = ∈  =

para curvas espaciais. As equações o 1 x x(t)

t [t ,t ] y y(t)

= ∈ =

são

chamadas de equações paramétricas da curva C e t é chamado de parâmetro (do grego para

que significa junto e meterque significa medida ).

Dada uma curva F: [a, b] → IR2 , F(t)=(x(t), y(t) ), o conjunto C =F(I)={(x(t), y(t)); t ∈ [a, b]}

é chamado de traço da curva F. Não confundir traço de uma curva com o seu gráfico. O traço é

o mesmo que o conjunto imagem da função F, enquanto o gráfico é um subconjunto do produto

cartesiano I x IR2 , ou seja, Graf(F) = { (t, x(t), y(t)); t ∈ [a,b] }

Exemplo 1: A curva F(t) = (cos(t) , sin(t)) , t ∈ [ 0, 2π] , tem como traço a circunferência centrada na origem e raio 1, conforme figura abaixo.

Com efeito, como x(t) cos t

y(t) sent

=  =

, elevando ao quadrado e somando

as equações x(t) e y(t) obtemos x(t)2 + y(t)2 = 1.

1 Adelmo R. de Jesus – adelmo@ufba.br / Rosely Pestana Bervian – ropestana@hotmail.com

3

x(t)

y(t) P(x,y)

a b

t F

t

x

y

traço da curva

Enquanto isso, o gráfico dessa função é Graf(F) ={(t, cos(t), sin(t)); t ∈ [ 0, 2π] }, representado

nas figuras abaixo.

Note que a projeção do gráfico de F no plano XOY é o traço da curva. Matematicamente isto se

escreve como (t, cos(t), sen(t)) → (cos(t), sen(t) )

Exemplo 2: Neste caso temos uma curva no espaço dada por F: t → (2cos(t), 2sin(t), t) onde 0 ≤ t ≤ 4π . Esta curva se chama hélice. As curvas espaciais não têm gráficos visíveis pois são subconjuntos do IR4.

Exemplo 3: O gráfico de qualquer função real de uma variável y=f(x) pode ser pensado como o

traço de uma curva. Basta chamar a variável x de t e considerar a curva F(t) = (t, f(t))

Casos particulares são:

a) y = 2x+1 F(t) = (t, 2t+1)

b) y = x^2 F(t) = (t, t^2 )

c) y = sin(x) F(t) = (t, sin(t))

Estamos utilizando as sintaxes sin(t) e t^2 que o Winplot requer para traçar os gráficos.

Exemplo 4: A recíproca do mencionado no Exemplo 3 não é válida, ou seja, nem todo traço de

uma curva é o gráfico de uma função y=f(x). Por exemplo, a curva F(t) = (t^2, t) não é gráfico

de uma função y = f(x).

4

t

x

y

t

x

y

t

x

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

Exemplo 5: Uma família de curvas que simula a ação de um robô polidor é dada por F(t)=(25sin((pi)at) 12.5sin((pi)bt) ) , 0 ≤ t ≤ 2π . Quando variamos os parâmetros a, b podemos ver vários traços dessas curvas.

Exemplo 6: Dentre as curvas planas clássicas temos a circunferência (e mais geralmente, a elipse), a parábola, hipérbole, cardióde, rosáceas de n pétalas, lemniscata, ciclóide, astróide, cissóide, entre outras. Algumas delas são dadas na forma paramétrica, mas algumas outras se expressam melhor no sistema de coordenadas polares r = F(θ). Daremos abaixo as equações e os traços de algumas delas.

a) A elipse é o lugar geométrico dos pontos que cuja soma das distâncias a 2 pontos fixos

(focos) é constante. A expressão na forma paramétrica de uma elipse centrada em (xo, yo) e de

semi-eixos a e b é dada por F(t) =(xo+acos(t) , yo+bsin(t))

b) A ciclóide é gerada pelo movimento de um círculo de raio r que rola ao longo do eixo Ox.

Sua expressão na forma paramétrica é F(t) =( r(t-sin(t)) , r(1-cos(t)) ) . Pode-se mostrar que o

comprimento da ciclóide é 8r.

c) A astróide(também chamada hipociclóide) é o lugar geométrico descrito por um ponto de uma

circunferência de raio r 4

que rola sobre outra circunferência de raio r sempre dentro da

circunferência maior. Pode-se mostrar que o comprimento da ciclóide é 6r.

5

− 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4 5

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

3

4

x

y

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

− π − π / 2 π / 2 π 3 π / 2 2 π

− 8

− 7

− 6

− 5

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

x

y

-50 -40 -30 -20 -10 10 20

-50

-40

-30

-20

-10

10

x

y

-50 -40 -30 -20 -10 10 20

-40

-30

-20

-10

10

x

y

As equações paramétricas da astróide são x r (cos(t)) ^ 3

; 0 t 2 y r (sin(t)) ^ 3

= ≤ ≤ π =

d) O folium de Descartes tem um aspecto de uma “folha” . Sua expressão na forma paramétrica

é

3atx 1 t ^ 2 ; - t 3at ^ 2y

1 t ^ 2

 = + ∞ ≤ ≤ + ∞  = +

, onde a constante a dá

o “tamanho” da folha.

e)As rosáceas de n pétalas são dadas na forma polar por r = a cos(nθ) , onde a é o raio do círculo onde está inscrita a rosácea. Curiosamente, quando n é par a rosácea tem 2n pétalas, e quando n é ímpar ela tem o mesmo número de pétalas.

6

− 4 − 3 − 2 − 1 1 2

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

x

y

− 8 − 7 − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3

− 7

− 6

− 5

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

3

x

y

n =2

− 8 − 7 − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3

− 7

− 6

− 5

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

3

x

y n =3

− 8 − 7 − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3

− 7

− 6

− 5

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

3

x

y

n =4

− 8 − 7 − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3

− 7

− 6

− 5

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

3

x

y

n =5

7

PARTE I A)DESCREVENDO CURVAS COM AUXÍLIO DE PARÂMETROS DE ANIMAÇÃO

Dada uma curva F: [a, b] → IR2 , F(t)=(x(t), y(t) ) podemos visualizar o seu traço de uma forma

dinâmica inserindo o que chamamos de “parâmetros de animação”.

Exemplo 7: Uma circunferência x r cos(t)

; 0 t 2 y rsin(t)

= ≤ ≤ π =

pode ser melhor visualizada

introduzindo um parâmetro “k” no argumento t.

As equações paramétricas ficam então x r cos(kt)

; 0 t 2 , 0 k 1 y rsin(kt)

= ≤ ≤ π ≤ ≤ =

. Esta maneira

de atuar funciona bem porque o programa já tem como dado que 0 ≤ t ≤ 2π . O fator “k” atua

somente como um “retard” na curva, ou seja, 0 ≤ kt ≤ k2π . Dessa forma, quando fazemos k=0

vemos somente um ponto P=(r,0) . Quando k=1/2 temos a variação 0 ≤ kt ≤ π e por isso vemos

a “metade da curva”. Quando k=1 vemos toda a curva.

Para obter esta animação use o menu Anim|K do Winplot e coloque K variando de 0 até 1

Exemplo 8: Analogamente, a curva x t

; 0 t 2 y sin(t)

= ≤ ≤ π =

, pode ser reescrita como

x kt ; 0 t 2 , 0 k 1

y sin(kt) =

≤ ≤ π ≤ ≤ = . Dessa forma podemos visualizar a curva sendo

construída passo a passo

Para animações que não começam na origem a reparametrização é um pouco mais delicada. Veja o artigo da

RPM 56, na seção O Computador na Sala de Aula.

8

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

−π −π/2 π/2 π 3π/2 2π

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

x

y

−π −π/2 π/2 π 3π/2 2π

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

x

y

PARTE I B)DESCREVENDO CURVAS COM AUXÍLIO DO MAPEADOR DO WINPLOT

Na seção anterior vimos exemplos de curvas F(t)=(x(t), y(t)) onde o parâmetro t está embutido,

oculto. Podemos entretanto descrever traços de curvas planas F(t)=(x(t), y(t) ) , visualizando

também o domínio, ou seja, os valores do parâmetro t que a curva está definida. Isto é feito

com o “Mapeador”.

O “mapeador” do Winplot é um módulo que permite se trabalhar com

02 telas, uma para o domínio e outra para o contradomínio. Em

princípio foi configurada para trabalhar com transformações no plano

F: IR2 → IR2, F(x,y) =( U(x,y), V(x,y) ) . Ele é acessado através do

menu principal Janela|Mapeador|Plano xy . A outra opção “Plano z” é

útil para trabalhar com transformações complexas z → F(z)

No exemplo abaixo digitamos na opção Função|Nova as expressões U(x,y)=x-y, V(x,y)=x+y ,

que representa uma transformação linear (rotação no plano de ângulo 45º). Além disso, em

Equação|Explícita plotamos a parábola y=x^2-4. Feito isso, o Winplot determina os

transformados dos pontos dessa parábola.

A (feliz) idéia de usar o mapeador para curvas é fazer y=0 em F(x,y) =(U(x,y), V(x,y)) ,

obtendo expressões do tipo F(x) = (U(x), V(x) ), ou seja, curvas planas. Além disso, nos

comandos Ver|Grade omitimos no domínio o eixo Oy, ficando somente como eixo Ot .

Como o programa somente usa x como variável, temos que digitar dessa forma, U(x) e V(x) .

9

− 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4 5

− 5

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

3

4

5

x

y

− 9 − 8 − 7 − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

− 1 0 − 9 − 8 − 7 − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0

x

y

F

Exemplo 9: No exemplo abaixo temos a curva F(t) = (t, t^2) ) . Digitando U(x)=x e V(x) =

x^2 obtemos as janelas para t e ( U(t), V(t) ) separadamente.

Na figura abaixo foi digitado um ponto genérico (a, 0). Usando o menu Anim|A e colocando o

parametro -2 ≤ a ≤ 2, obtemos a construção da curva F(t) = ( t, t^2 )

Para obter os pontos “t” acima e os correspondentes pontos da imagem usamos a opção Equação|

Inventário . Nela selecionamos o ponto (x,y)=(a,0) e usamos a opção “família”. Neste exemplo variamos o

parâmetro -2 a 2 e pedimos família com 8 pontos. Veja figura abaixo.

10

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

−2 −1 0 2

F

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

−2 −1 0 1 2

F

Exemplo 10: Tomemos o caso da astróide t → x(t) (cos(t)) ^ 3

; 0 t 2 y(t) (sin(t)) ^ 3

= ≤ ≤ π =

. Omitindo

o eixo Oy do domínio e digitando U(x,y) = (cos(x))^3 e V(x,y) = (sin(x))^3 obtemos a

transformação que leva o plano na astróide. Digitando agora um ponto genérico (a,0) podemos

visualizar o traço (discreto) da astróide.

Caso queiramos obter a curva astróide continuamente, podemos construir um segmento ( opção

Equação|Segmento) de (0,0) até (a,0) . Ativando o parâmetro A em Anim|A vemos a curva

sendo descrita de modo contínuo.

11

0π π/2 π 3π/2 2π − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

3

4

x

y

F

0π π/2 π 3π/2 2π

− 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

3

4

x

y

F

− 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

3

4

x

y

0π π/2 π 3π/2 2π

F

Exemplo 11: O folium de Descartes t →

3tx(t) 1 t ^ 3 ; - t 3t ^ 2y(t)

1 t ^ 3

 = + ∞ ≤ ≤ + ∞  = +

é uma curva que

não está definida para t=-1. Para compreender melhor como é descrita essa curva observe que:

(i) 3t t 3tlim x(t) lim 0

1 t +

→ − ∞ → − ∞ = =

+ e

2

3t t

3tlim y(t) lim 0 1 t

− → − ∞ → ± ∞

= = +

.

(ii) t 1 t 1 lim x(t) e lim y(t)

− −→ − → − = + ∞ = − ∞

iii) Também, t 1 t 1 lim x(t) e lim y(t)

+ +→ − → − = − ∞ = + ∞

(iv) Em t=0 temos x(t) 0

y(t) 0

=  =

(v) 3t t 3tlim x(t) lim 0

1 t +

→ + ∞ → + ∞ = =

+ e

2

3t t

3tlim y(t) lim 0 1 t

+ → + ∞ → + ∞

= = +

.

Tradução:

• Para valores de t ∈ (- ∞ -1] o traço vai da origem (0,0) a (+∞, -∞) no 2º quadrante (veja o

traço vermelho na figura).

• Logo após t=-1 a curva passa (descontinuamente) para o 3º quadrante (-∞, +∞) e tende a zero

quando t → 0. Dessa forma, para t ∈ (-1, 0) a curva vem de (-∞, +∞) até (0,0) ( cor verde).

• Entre t=0 e t =+∞ a curva descreve a folha, no 1º quadrante (cor azul).

12

−8−7−6−5−4−3−2−101234567

− 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3

− 6

− 5

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

3

x

y

13

PARTE II – FUNÇÕES REAIS; LIMITE E CONTINUIDADE1

Neste tópico vamos abordar o conceito de limite e continuidade de funções reais de mais de

uma variável. Mostraremos como é possível verificar geometricamente que certas funções não

possuem limite em um dado ponto, utilizando-se de um programa computacional. Mesmo que

este modo de proceder não seja aceito como uma demonstração matemática, ele tem bastante

utilidade como recurso didático. Além disso, a “investigação matemática” sobre

comportamento de funções se torna mais rica, no sentido de termos mais uma ferramenta à

nossa disposição para “experimentar”. A experimentação é, neste caso, um passo preliminar

para verificar se uma dada função pode ter ou não limite em um dado ponto P=(xo, yo).

Veremos inicialmente algumas definições e exemplos a fim de cobrir alguns pré-requisitos e fixar

notações. Aqueles que já dominam estes tópicos poderão passar diretamente para as atividades com o

Mapeador do Winplot.

1. Funções de Várias Variáveis Definição: Uma função f de duas variáveis (x e y) é uma regra que associa para cada ponto

(x,y) de um subconjunto D do plano um único número real f(x,y). Analogamente, uma função f

de três variáveis, x, y e z , é uma regra que associa para cada ponto (x,y,z) de um domínio D do

espaço um único número real f(x,y,z) . A notação utilizada para funções é f: X → IR , z=f(x,y).

É comum também escrever apenas z=f(x,y) para designar funções de 02 variáveis. Neste caso

está implícito que o conjunto X (chamado domínio) é o maior subconjunto de pares (x,y) ∈ IR2

onde podemos calcular f(x,y). Analogamente, o domínio de uma função de três variáveis w =

f(x,y,z) é o subconjunto do R3 formado pelos ternos (x,y,z) onde podemos calcular f(x,y,z).

1 Adelmo Ribeiro de Jesus/Rosely Ouais Pestana

−2 −1 0 1 2

z

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

x

y

f

14

Exemplos:

a) f(x, y) = x2 + y2 . O domínio dessa função é todo o plano IR2.

b) 22 yx25)y,x(f −−= . Neste caso temos uma restrição para o domínio. Devemos ter 25 − x2 − y2 ≥ 0 , o que equivale à inequação x2 + y2 ≤ 25. Logo, o domínio de f é o conjunto X = {(x,y) ∈IR2 ; x2 + y2 ≤ 25 } . Isto

corresponde geometricamente ao interior do círculo de centro na origem e raio 5

c) As funções 2

2 2 4 2 2xy 2x yz e z

x y x y = =

+ + só não estão definidas no ponto O =(0,0) . Logo, o

domínio é IR2-{(0,0)}. Voltaremos mais adiante com estas funções no caso de limites.

2. Gráficos de Funções de Duas Variáveis Lembremos que o gráfico de uma função de uma variável f: X → IR é um subconjunto (curva) do plano, ou seja, G(f) ={(x, y) ∈ IR2 ; x ∈ X , y = f(x) }.

No caso de uma função de duas variáveis z=f(x,y) o gráfico de f é um subconjunto do espaço dado por G(f) ={(x, y, z) ∈ IR3 ; (x,y) ∈ X , z = f(x,y) }. Em geral tal gráfico é uma superfície do R3. Exemplo 12:

A função 22 yx1z −−= tem por gráfico a parte superior da esfera x2 + y2 + z2 = 1, que é chamada de calota esférica.

Exemplo 13: O gráfico da função f(x,y) = 1 – x − y Como z = 1-x-y temos x + y + z = 1 , que é um plano de vetor normal

v = (1,1,1) passando pelo ponto P=(0,0,1)

Exemplo 14: O gráfico da função z = f(x,y) = x2 − y2 é uma superfície

chamada parabolóide hiperbólico, ou sela. Este nome se deve ao fato de que as

interseções de planos com o gráficos são ou parábolas ou hipérboles, como

mostra a figura.

−5 5

−5

5

x

y

x

y

z

x

y

z

x

y

z

15

Exemplo 15: A função 2 2 2xyf (x, y)

x y =

+ tem um gráfico estranho... O comportamento dessa

função próximo à origem não está bem claro. Veja as duas cópias abaixo, tiradas com ângulos

de visão diferentes.

3. Visualizando Limites de Funções de Várias Variáveis Como se viu acima, desenhar gráficos de funções de 2 variáveis não é uma tarefa fácil. Sem

ajuda de um programa computacional ficamos em situação embaraçosa, tendo que calcular

interseções desta superfície com planos z=c (curvas de nível), x=c e y=c. No caso de limites a

situação não é muito diferente...

Quando tratamos de limite de funções de uma variável y = f(x) em um ponto de acumulação xo,

temos como únicas opções nos aproximarmos desse ponto pela esquerda, ou pela direita. O

limite ox x

lim f (x) L →

= se sempre que x → xo temos f(x) → L

No caso da figura abaixo, quando nos aproximamos do ponto xo pela esquerda e pela direita as

imagens f(x) se aproximam de valores diferentes. Logo, o limite

ox x lim f (x) →

não existe.

x

y

z

x

y

z

xo x L

x

y

xo

16

Em funções de duas variáveis a situação se torna mais complexa porque existem infinitas

direções nas quais podemos nos aproximar do ponto (xo, yo). Isso torna a visibilidade de limites

muito mais difícil e o cálculo bastante delicado.

Na figura acima temos exemplos de como podemos nos aproximar do ponto (0,0). Além dessas

temos também “direções curvas”, como parábolas, cúbicas, espirais, etc. Dessa forma, fica

difícil saber quando uma função pode ou não ter limite em um ponto (xo, yo).

No que segue vamos apresentar exemplos de funções z = f(x,y) que possuem limite em um

ponto fixado, e casos em contrário. Usaremos o módulo “mapeador” do Winplot, que pode ser

acessado logo quando se abre o programa.

Para usar o Mapeador, clique em Janela|Mapeador|Planoxy. Dessa

forma o programa abrirá duas janelas, uma para o domínio e outra

para o contradomínio.

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

x

y

f

17

Exemplo 16: O que acontece com função 2 2 2xyf (x, y)

x y =

+ quando (x,y) → (0,0) ? Nas figuras

abaixo fazemos uma aproximação para (0,0) por meio de duas parábolas y = x2 e y =-x2 Iniciando com os pontos P=(-2,4), Q=(-2,-4) temos no contradomínio dois pontos.

Como se vê abaixo, quando os pontos Pn, Qn das parábolas se aproximam de (0,0) suas imagens também se aproximam de z=0

Neste último quadro, vemos os pontos Pn, Qn muito próximos de (0,0) e suas imagens também bastante próximas de z = 0

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

z

f

f

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

z −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

z

f

18

Para ver se o limite da função 2 2 2xyf (x, y)

x y =

+ na origem (0,0) fazemos uma aproximação

para (0,0) por meio de círculos x2 +y2 = 9-a , com a → 9 . Dessa forma cuidamos de nos aproximar em todas as direções do plano que tendem a este ponto. Ativando o parâmetro A em Anim|A temos:

O círculo centrado em (0,0) é levado em um segmento [-3,3]

Um círculo de raio menor que 1 é levado em um segmento menor que o anterior...

Neste último quadro, vemos círculo muito próximo de (0,0) e sua imagen também bastante

próxima de z = 0 . Isto sugere fortemente que 2 2(x,y) (0,0)

2xyl i m 0 x y→

= +

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

z

f

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

z

f

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

z

f

19

Exemplo 17: A função 2 2 2xyf (x, y)

x y =

+ não tem limite no ponto (0,0). Como se vê abaixo no

Mapeador do Winplot, os círculos x2+y2 = 4-a , com a → 0 , são transformados no segmento de

tamanho constante [-1, 1]. Ou seja, imagens de círculos que tendem a (0,0) não tendem a um

ponto do eixo Oz. Isso mostra que 2 2(x,y) (0,0)

2xyl i m x y→ +

não pode existir.

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

z −3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

z

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

z

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

20

Outra abordagem que pode ser feita é a de nos aproximarmos de (0,0) por direções diferentes. Nas figuras abaixo tomamos direções retas y=-x de P=(-2,2) até a origem, y=x de Q=(-2,-2) até a origem e também a direção y=x2 de R=(2,4) até a origem. O que se vê é que f(x,y) é constante -1 ao longo de y=-x, constante 1 ao longo de y=x e tende a zero quando nos aproximamos pela parábola y = x2 no 1º quadrante.

As parametrizações dessas curvas para animação são dadas por:

De P=(-2,2) até a origem, ao longo de y=-x : x(t) -2 k(t 2)

; -2 t 0 ; 0 k 1 y(t) (-2 k(t 2))

= + +⎧ ≤ ≤ ≤ ≤⎨ = − + +⎩

O parâmetro k é utilizado para dar a animação, enquanto o parâmetro t é o que define a curva.

De fato, temos:

k = 0 ⇒ x(t) -2

; -2 t 0 y(t) (-2)

=⎧ ≤ ≤⎨ = −⎩

e k =1 ⇒ x(t) -2 (t 2) = t

; -2 t 0 y(t) (-2 (t 2)) = -t

= + +⎧ ≤ ≤⎨ = − + +⎩

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

x

f

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

z

f

21

De Q=(-2,-2) até a origem, ao longo de y=x : x(t) -2 k(t 2)

; -2 t 0 ; 0 k 1 y(t) -2 k(t 2) = + +⎧

≤ ≤ ≤ ≤⎨ = + +⎩

De Q=(2, 4) até a origem, ao longo de y=x2 : 2 x(t) 2 k(t 2)

; 0 t 2 ; 0 k 1 y(t) (2 k(t 2))

= + −⎧⎪ ≤ ≤ ≤ ≤⎨ = + −⎪⎩

Veja que também neste caso temos:

k = 0 ⇒ 2 x(t) 2

; 0 t 2 y(t) (2) 4

=⎧⎪ ≤ ≤⎨ = =⎪⎩

e k =1 ⇒ 2 2 x(t) 2 (t 2) = t

; 0 t 2 y(t) (2 (t 2)) = t

= + −⎧⎪ ≤ ≤⎨ = + −⎪⎩

Exemplo 18: Vamos verificar se pode ou não existir o limite da função 3 2 2 3

2 2 x x y xy yf (x, y)

x y

− + − =

+

no ponto (0,0).

Pelo que vemos abaixo, o limite pode existir, e além disso (x, y) (0,0)

3 2 2 3

2 2 x x y xy yl i m 0

x y→ − + −

= +

Animação de pontos que tendem ao ponto P=(0,0) e suas respectivas imagens

−3 −2 −1 0 1 2 3

z −2 −1 1 2

−2

−1

1

2

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3

z −2 −1 1 2

−2

−1

1

2

x

y

22

Exemplo 19: Verificar se existe o limite da função 4 4

2 2 x yf (x, y) x y

− =

− no ponto (1,1).

Animação de pontos que tendem ao ponto P=(1,1) e suas respectivas imagens

Transformando família de círculos de centro (1,1) em segmentos que tendem para L=2

0 1 2 3 4

z

1 2

1

2

x

y

1 2

1

2

x

y

0 1 2 3 4

z

0 1 2 3

z 1 2

1

2

x

y

PARTE III – TRANSFORMAÇÕES NO PLANO1 Definição: Sejam E e F espaços vetoriais. Uma transformação linear T: E → F é uma função de E em F tal que:

i) T(u + v) = T(u) + T(v), quaisquer que sejam u e v em E. ii) T(αv) = αT(v), quaisquer que sejam α ∈ R e v ∈ E.

Quando E = F, a transformação linear é chamada um operador linear de E.

Em particular, trabalharemos com os operadores lineares de R2, isto é, as transformações

lineares do tipo T: R2 → R2 que associam a cada ponto do plano outro ponto do plano.

Exemplo 20: A aplicação T: R2 → R2 definida por T(v) = kv é um operador linear de R2,

chamado uma homotetia de razão k de R2. Se k > 1, dizemos que T é uma dilatação (ou

expansão) e se 0 < k < 1, dizemos que T é uma contração.

Seja T: R2 → R2, T(v) = 2v, ou T(x,y) = 2(x,y). Esta aplicação leva cada vetor do plano num

vetor de mesma direção e sentido de v, mas de módulo igual ao dobro de v. Para visualizar o

efeito geométrico produzido por esta aplicação, na opção Função|Nova, digite U(x,y) = 2x e

V(x,y) = 2y. Agora, em Equação|Segmento (x,y), digite x1 = 0, y1 = 0, x2 = 2 e y2 = 2, espessura

2, cor vermelha, seta em p2.

Agora, considere a seguinte transformação T: R2 → R2, T(v) = 1 2

v, ou T(x,y) = 1 2

(x,y). Na

opção Função|Nova, digite U(x,y) = 1 2

x e V(x,y) = 1 2

y e plote um triângulo, com os seguintes

segmentos: de (1,1) até (5,1), de (1,1) até (2,4) e de (2,4) até (5,1), espessura 2, cor vermelha.

1 Rosely Ouais Pestana Bervian - roselybervian@yahoo.com.br ; Adelmo Ribeiro de Jesus – adelmo@ufba.br

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

T

2

Observe o efeito geométrico obtido com essa transformação. A homotetia (contração)

“diminuiu” o tamanho do triângulo original. O primeiro triângulo tem base e altura de medidas

4 u.c.* e 3 u.c., respectivamente, enquanto o segundo tem base e altura de medidas 2 u.c.e 1,5

u.c., respectivamente. * unidades de comprimento

Exemplo 21: O ponto P’ é o ponto simétrico do ponto P em relação à reta r quando r é a

mediatriz do segmento PP’. Se P pertencer a r, então o seu simétrico em relação a r é ele

próprio.

A reflexão em torno da reta r é a transformação T que faz corresponder a cada ponto P do plano

o ponto P’, simétrico de P em relação à reta r. Se desenharmos uma figura numa folha de papel

e dobrarmos o papel, de tal modo que a dobra coincida com a reta r, as figuras coincidirão

perfeitamente. Isto acontece porque pontos simétricos estão em lados opostos, mas à mesma

distância da reta.

A aplicação T: R2 → R2 definida por T(x,y) = (x , –y ) é uma reflexão em torno do eixo x. Na

opção Função|Nova, digite U(x,y) = x e V(x,y) = –y e plote o mesmo triângulo do exemplo

anterior com cor azul.

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

T

T

−1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

−1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

3

Agora, considere a aplicação T: R2 → R2 definida por T(x,y) = ( –x , y ) que é uma reflexão em

torno do eixo y. Na opção Função|Nova, digite U(x,y) = –x e V(x,y) = y e observe a nova

posição do triângulo.

A aplicação T: R2 → R2 definida por T(x,y) = ( –x , –y ) que é uma reflexão em torno da

origem. Na opção Função|Nova, digite U(x,y) = –x e V(x,y) = –y e plote o segmento de (0,0)

até (2,3), espessura 2, cor vermelha, seta em p2.

Exemplo 22: A aplicação T: R2 → R2 definida por T(x,y) = (xcosθ – ysenθ, xsenθ + ycosθ)

é chamada rotação de centro (0,0) e ângulo θ. Por exemplo, para θ = 2 π , digite

U(x,y) = xcos(pi/2) – ysin(pi/2) e V(x,y) = xsin(pi/2) + ycos(pi/2). Se plotarmos os segmentos

de (0,0) até (2,3) e de (0,0) até (1,3) visualizaremos a rotação dos mesmos de um ângulo de 90°.

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

x

y

T

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

T

4

Exemplo 23: Considere novamente a aplicação T: R2 → R2 definida por T(x,y) = (xcosθ –

ysenθ, xsenθ + ycosθ). Digitando U(x,y) = xcos(a) – ysin(a) e V(x,y) = xsin(a) + ycos(a)) e

fazendo o parâmetro “a” variar num determinado intervalo, podemos visualizar a rotação de

uma figura em torno da origem dinamicamente. Pro exemplo, construa um quadrado com os

seguintes segmentos: de (0,0) até (1,0), de (1,0) até (1,1), de (1,1) até (0,1) e de (0,1)

até (0,0). Na opção Anim | Parâmetros A-W , digite 0 e clique em “def-L” e digite 2pi e

clique em “def-R” e, em seguida, clique em “auto cícl”.

T

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

4

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

x

y

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

x

y

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

x

y

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

x

y

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

x

y

5

Exemplo 24: A aplicação T: R2 → R2 definida por T(x,y) = (x + αy, y) é chamada

cisalhamento horizontal de fator α . Na opção Função|Nova, digite U(x,y) = x+2y e V(x,y) =

y e plote o mesmo quadrado do exemplo anterior. Observe o que ocorre com o quadrado.

OBSERVAÇÕES FINAIS A opção Mapeador|Plano xy do Winplot pode ser utilizada para funções F(x,y) = (U(x,y),

V(x,y)) quaisquer. No Exemplo 25 abaixo damos uma ilustração para o caso da translação no

plano, que não é linear. Outros exemplos podem ser criados, bem como pode-se utilizar a outra

opção Mapeador|Plano z , para transformações em Variáveis Complexas.

Exemplo 25: A aplicação T: R2 → R2 definida por T(x,y) = (a+x, b+y) é chamada translação

de vetor v=(a,b) . Na opção Função|Nova, digite U(x,y) = a+x e V(x,y) = b+y . Animando os

parâmetros a, b podemos variar a figura abaixo ao longo do plano.

Obs: A curva que define a boca do bonequinho é animada por um parâmetro C. A equação digitada é y= cx^2-1/2. Quando variamos o parâmetro C temos uma movimentação do sorriso do mesmo.

−1 1 2 3

−1

1

2

3

−1 1 2 3

−1

1

2

3

x

y

T

−1 1 2 3

1

2

3

x

y

−2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

x

y

T

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