Derivada, Exercícios de Computadores e Tecnologias de Informação. Universidade Federal Fluminense (UFF)
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cvsilveira..15 de Outubro de 2015

Derivada, Exercícios de Computadores e Tecnologias de Informação. Universidade Federal Fluminense (UFF)

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Disciplina: CCE 0043 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Professor: Manoel

Nome: Carla Regina dos Santos Pinto

Matricula: 201407073176

Nome: Claudio Vinicius de Souza Silveira

Matricula: 201408258285

Nome: Julio César Barbosa de Almeida

Matricula: 201407073231

AV1: 07/04/15

Sumário:

- 1 - Conceito de Derivadas

- 2 - Funções Crescentes e Decrescentes

- 3 - Máximo e Mínimo

- 4 Conceito da Integral Indefinida

- 5 Propriedades da Integral Indefinida

-6 Conceito da Integral Definida

- 7 Propriedades da Integral Definida

- 8 Teorema fundamental do Calculo

- 9 Aplicação e Método de Integração por parte

- 10 Calculo de Área

1 - Derivada

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Para entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a definição matemática da derivada de uma função em um ponto:

Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0, denotada por f ’(x0), é dada por:

se este limite existir. ∆x representa uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando x = x0+ ∆x (∆x = x − x0) , a derivada de f em x0 pode também se expressa por

Notações:

Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma

função y = f(x), quando a variável independente varia de x a x + ∆x, a correspondente

variação de y será ∆y = f(x + ∆x) — f(x). O quociente

representa a taxa média de variação de y em relação a x.

A derivada

é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x. A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações praticas nas mais diversas ciências.

Exemplo:

Sabemos que a área de um quadrado e função de seu lado. Determinar:

(a) a taxa de variação media da area de um quadrado em relação ao lado

quando este varia de 2,5 a 3 m.;

(b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede

4 m.

Solução:

Sejam A a área do quadrado e 1 seu lado. Sabemos que

A = l².

(a) A taxa media de variação de A em relação a l quando l varia de 2,5 m a

3 m e dada por

(b) A taxa de variação da área em relação ao lado e dada por

Quando l= 4, temos

ou

Portanto, quando l= 4 m, a taxa de variação da área do quadrado será de 8 m² por variação de 1 metro no comprimento do lado.

3 - Máximos e Mínimos

Definição 1: Sejam f uma função , A U Df e p E A. Dizemos que f (p) é o valor máximo de f em A ou que p um ponto de máximo de f em A se f (x) ≤ f (p) para todo x em A. Se f(x) ≥ f (p) para todo x em A, dizemos então que f(p) é o valor mínimo de f em A ou que p é um ponto de mínimo de f em A.

Definição 2: Sejam f uma função e p E DF. Dizemos que f(p)é o valor máximo global de f ou que p é um ponto de máximo global de f se, para todo x em Df,f(x)≤ f(p). Se, para todo x em Df, f(x)≥ f(p), diremos então que f(p) é o valor mínimo global de f ou que p é um ponto de mínimo de f.

Definição 3: Sejam f uma função e p E Df. Dizemos que p é um ponto de máximo local de f se 0 2 C 3existir r 0 tal que:

f(x)≤ f(p)

para todo x [p – r, p + r [∩ Df. Por outro lado, dizemos que p é um ponto de mínimo local de f 0 2 C 3se existir r 0 tal que:

f(x)≥ f(p)

para todo x em x [p – r, p + r [∩ Df.

Uma boa maneira de se determinar os pontos de máximo e de mínimo de uma função f é 0 2 C 20 2 C 2estudá-la com relação a crescimento e decrescimento. Sejam a c b; se f for crescente em

]a,c] e decrescente em [c,b[ , então c será um ponto de máximo local de f ; se f for decrescente em]a,c] e crescente em [c,b[ então c será um ponto de mínimo local de f.

Exemplo 1:

Seja f (x)= x³ - 3x² + 3

a. Estude f com relação a máximos e mínimos.

b. Determine os valores máximo e mínimo de f EM [-2,3]. Em que pontos estes valores são atingidos?

Solução:

Como lim (x³- 3x²+ 3)= + ∞ e lim (x³ - 3x² + 3)= -∞, segue que f não assume nem valor máximo global, nem valor mínimo global.

Condição necessária e Condição suficiente para máximo e mínimo local

Sejam f uma função e p um ponto interior a Df( p interior a DF <=> existe um intervalo

aberto I, com Suponhamos f derivável em p. O nosso próximo teorema conta- nos que uma condição necessária, mas não suficiente, para que p seja ponto de máximo ou de mínimo local é que f’ (p)=0. A figura abaixo dá-nos uma ideia geométrica do que falamos acima:

4 - Conceito Integral indefinido

Definição. Uma função F(x) e chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de f(x)), se para todo x e 1, temos:

F’ (x) = f (x).

Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo 1.

Exemplos:

(i) F (x) = x3 \ 3 e uma primitiva da função f(x) = x², pois

F ' (x) = 1/3 3x² = x² = f(x).

(ii) As funções G(x) = x³/3 + 4, H(x) = 1/3 (x³ + 3) também são primitivas

da funcao f(x) = x², pois G ' (x) = H' (x) = f(x).

(iii) A função F(x) = 1/2 sen 2x + c, onde c e uma constante, e primitiva da

função f(x) = cos 2x.

(iv) A função F(x) = 1/2x² e uma primitiva da função f(x) = —1/x³ em qualquer intervalo que não contem a origem, pois para todo x O, temos F '(x) = f (x).

Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma função f(x) admite mais que uma primitiva. Temos as seguintes proposições.

Proposição (1) . Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c e uma constante qualquer, a função G(x) F(x) + c também e primitiva de f(x).

Prova. Como F(x) e primitiva de f(x), temos que F '(x) = f(x). Assim,

G ' (x) = (F(x) + c)’ = F ' (x) + O = f(x),

o que prova que G(x) e uma primitiva de f(x).

Proposição (2). Se f ' (x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f e constante em I.

Prova. Sejam x, y € I, x < y. Como f e derivável em I, f e continua em [x, y] e derivável em (x, y). Pelo Teorema do Valor Médio, existe z € (x, y), tal que

f' (z) = f(y) – f(x)

y-x

Como f '(z) = 0, vem que f(y) — f(x) = 0 ou f( y) = f(x). Sendo x e y dois pontos quaisquer de I, concluímos que f é constante em I.

Proposição (3). Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante c tal que G(x) — F(x) = c, para todo x € I.

Prova. Seja H(x) = G(x) — F(x). Como F e G são primitivas de f(x) no intervalo I, temos F ' (x) = G ' (x) = f(x), para todo x € I. Assim,

H ' (x) = G '(x) — F ' (x) = f(x) — f(x) = 0, para todo x € I.

Pela proposição (2), existe uma constante c, tal que H (x) = c, para todo x € I. Logo, para todo x € 1, temos

G(x) — F(x) = c.

Da proposição (3), concluímos que se F(x) é uma particular primitiva de f, então toda primitiva de f é da forma

G(x) = F(x) + c,

onde c é uma constante. Assim o problema de determinar as primitivas de f, se resume em achar uma primitiva particular.

Exemplo. Sabemos que (sen x)' = cos x. Assim, F(x) = sen x é uma primitiva da função f(x) = cos x e toda primitiva de f(x) = cos x é da forma

G(x) = sen x + c,

para alguma constante c.

Definição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e e denotada por

f(x) dx = F(x) + c.

De acordo com esta notação o símbolo é chamado sinal de integração, f(x) função integrando e f(x) dx integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma função e chamado integração. O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração.

Da definição da integral indefinida, decorre que:

i. f (x) dx = F (x) + c <=> F ' (x) = f (x).

ii. f(x) dx representa uma familia de funções (a família de todas as primitivas da função integrando).

5- Propriedades da Integral Indefinida

Proposição. Sejam f, g: I —> R e K uma constante. Entao:

i. ∫ K f(x) dx = K ∫ f (x) dx.

ii. (f (x) + g (x)) dx = f(x) dx + g (x) dx.

Prova.

i. Seja F (x) uma primitiva de f (x). Então K F (x) é uma primitiva de K f(x), pois (K F(x))' = K F ' (x) = K f (x). Desta forma, temos

∫ K f(x)dx = K F(x)+c= K F(x)+K ci

= K [F(x) + c] = K ∫ (x) dx.

(ii) Sejam F(x) e G(x) funções primitivas de f(x) e g(x), respectivamente. Então, F (x) + G (x) é uma primitiva da função (f (x) + g (x)), pois [F(x) + G(x)]' = F '(x) + G '(x) = f(x) + g(x).

Portanto,

O processo de integracao exige muita intuicao, pois conhecendo apenas a derivada de uma dada funcao nos queremos descobrir a funcao. Podemos obter uma tabela de integrais, chamadas imediatas, a partir das derivadas das funcoes elementares.

Exemplos.

i. Sabemos que (sen x)’ = cos x. Então cos x dx = sen x + c.

ii. Como (—cos 0)’ = sen 0, então sem 0 d0 = — cos 0 + c.

iii. ex dx = ex + c, pois (ex)' = ex.

iv.

v.

9 - Método de integração por partes

Suponhamos f e g definidas e deriváveis num mesmo intervalo I. Temos

Supondo, então, que f’(x) g (x) admita primitiva em I e observando que f( x) g (x) é ma primitiva de [f(x) g (x)]’ , então f(x) g’ (x)também admitirá primitiva em i e

Que é a regra de integração por partes.

Fazendo u= f(x) e v= g(x) teremos du=f’(x)dx e dv=g’ (x) dx, o que nos permite escrever a regra 1 na seguinte forma usual:

Suponha, agora, que se tenha que calcular Se você perceber que, multiplicando a derivada de umas das funções do integrando por uma primitiva da outra, chega-se a uma função que possui primitiva imediata, então aplique a regra de integração por partes.

Exemplo: Calcule .

Solução: A derivada de x é 1; sen x é uma primitiva de cos x. Como 1 .sen x tem primitiva imediata a regra de integração por partes resolve o problema.

Assim:

Ou seja:

10 - Cálculo de Áreas:

Seja f contínua em [a,b], com f(x)≥0 EM [a,b]. Estamos interessados em definir a área do conjunto A do plano limitado pelas retas x= a,x =b,y=0 e pelo gráfico de y =f(x).

Uma boa definição para área de A deverá implicar que a soma de Riemann

Seja uma aproximação por falta da área de A e que seja uma aproximação por

excesso, isto é .

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