Derivadas - Apostilas - Matematica, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20006 de Março de 2013

Derivadas - Apostilas - Matematica, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo da derivadas de funções e variavel.
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Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática

Matemática para Químicos II

DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL

A Físico-Química se interessa bastante com o efeito na mudança de uma variável de um sistema, que apresenta outras variáveis. Cada variação de uma variável, para maior ou para menor, pode se considerar um incremento à referida grandeza. O Cálculo Diferencial é a “matemática das variações incrementais”. Ele é baseado fundamentalmente no conceito matemático conhecido como derivada. 1. PROBLEMA DA RETA TANGENTE No gráfico da função f abaixo, como se pode definir a reta tangente no ponto P(x1, f(x1))? Atribuindo-se um acréscimo ∆x para x1, obtém-se a

y

f (x 1 + ∆x )

∆y

f Q P

x1

s

abscissa de

um novo

ponto Q da curva , cujas

coordenadas são (x1+ ∆x , f(x1+ ∆x )). A reta secante s que passa pelos pontos P e Q, tem declividade t

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f (x 1 )

∆x

0

x 1 + ∆x x

ms =

∆y ∆x

. Considerando-se o acréscimo ∆x cada vez

menor ( tendendo a zero ), o ponto Q se desloca sobre a curva aproximando-se de P, e a reta secante s gira sobre o ponto fixo P,

tendendo a posição limite da reta t. Esta reta t é a tangente ao gráfico no ponto P. Portanto, podemos definir a reta tangente ao gráfico de uma função f num ponto P(x1, f(x1)) como sendo a reta, se existir, que passa por P e cuja declividade é

m t = lim

∆y ∆x

∆x →0

ou lim

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f(x + ∆x) − f(x ) 1 1 ∆x →0 ∆x

Da Geometria Analítica, a equação de uma reta, não vertical, que passa pelo ponto P(x1,y1) e tem declividade m é y – y1 = m(x – x1 )

1

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2. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO

A derivada da função f em relação a x no ponto x = x1 é o número notado por f ’(x1) e definido por:

f ′( x1 ) = lim

se esse limite existir.

f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) ∆y = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x

Significado Geométrico: f ′( x1 ) representa a declividade da reta tangente a curva,

gráfico de f , no ponto P( x1 , f ( x1 )) .

3. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA A derivada de uma função f é a função notada por f´e definida por:

f ′(x ) = lim

∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) ou lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x

Significado Geométrico: f ’(x) representa a declividade da curva,gráfico de f, em cada ponto. Notações:

f ’(x) , Dx f(x) ,

dy d , se y = f(x). f (x ) ou y’ , Dx y , dx dx

4. DERIVABILIDADE OU DIFERENCIABILIDADE

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O processo de cálculo da derivada é chamado de derivação ou diferenciação. Uma função f é derivável ou diferenciável em x1 se f´(x1) existe. Uma função será derivável ou diferenciável em um intervalo aberto se ela for derivável em todo número no intervalo aberto.

5. TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO

Sabemos que se f é uma função onde y = f (x ) , a derivada da f é uma função definida e notada por f ′(x ) = lim existe. Já obtivemos algumas derivadas através desse limite e constatamos que esse processo é longo embora seja o mais eficiente para funções que apresentam certas dificuldades em alguns pontos. Entretanto, já tendo esse conhecimento, podemos lançar mãos de regras

∆x → 0

f ( x + ∆x ) − f ( x ) para os valores de " x" onde esse limite ∆x

2

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práticas para o cálculo de derivadas sabendo, no entanto que foram obtidas através da definição conhecida.

1. D x c = 0

2. D x x P = p x

p −1

3. Dx log a ( x) =

1 ln(a) . x

Em particular D x ln( x) =

1 x

4. D x a x = a x . ln( a )

Em particular D x e x = e x

5. D x sen ( x ) = cos( x) 6. D x cos ( x) = − sen( x)

7. D x tan ( x ) = sec 2 ( x )

8. D x cot ( x ) = − csc 2 ( x )

9. D x sec( x) = sec( x). tan( x) 10. D x csc( x) = − csc( x). cot( x) 11. D x c. f ( x ) = c. f ′( x) 12. D x ( f ( x) ± g ( x)) = f ′( x) ± g ′ ( x) 13. D x ( f ( x). g ( x) = f ( x).g ′( x) + g ( x). f ′( x)

14. D x f ( x) g ( x) f ′( x) − f ( x) g ′( x) = g ( x) g 2 ( x)

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1) Encontre y’, sabendo que:

12x − 9

a) y = 7 – 6x

b) y = 3ex + 8ln x –1

c) y =

5

x2 2 − 3 x+e

d) y =

x 3

+

ln x 2

+ 5

e) y = ln 4 – 3e + 2π -1

f) y =

3

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g) y = x 3 − 2e x − πx + e 2

h) y =

2x 2 − 3x x2

3 2 + 3 x 3x

2 x

i) y =

3 1 − 2x 2 x x 3x

j) y = 2 x + 33 x

k) y =

l) y = x x −

m) y = (x -1)(2+x)

2

n) y = 3x e ex 2x

o) y =

x2 + 2 1 + 2x

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p) y = ex lnx

2 3 − 2x

q) y =

r) y = 5x3ln x

s) y =

t) y = sen x . ln x

u) y =

tgx ex

2) Seja a função definida por f(x) = 4x – x2 . a) Determine para que valores de x a declividade da curva é positiva, para que valores é negativa e para que valores é nula. b) Escreva a equação da reta tangente no ponto P(1, 3). c) Esboce os gráficos de f e da reta tangente, no mesmo sistema de eixos. 3) Encontre a declividade da reta tangente ao gráfico da função dada por y = 2x + x.ln x no ponto x = 1. 3x − 1 4) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função dada por f(x)= no 1− x ponto x = -1.

6. A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA: REGRA DA CADEIA TEOREMA ( Regra da Cadeia )

Se a função g for derivável em x e a função f for derivável em g(x), então a função composta f o g será derivável em x, e ( f o g )´(x) = f ´(g(x)).g ´(x) Outra maneira de escrever a regra da cadeia: Se y = f(u) e u = g(x) então ( f o g )´(x) = f ´(g(x)).g ´(x) torna-se Dx [f(u)] = f ´(u). u’ ou

dy dy du = . dx du dx

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4

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Supondo então que u = g(x), pela regra da cadeia podemos escrever: Dxup=p.up-1.u’ Exemplo: Dx(2x3 – 6) 6 = 6(2x3 – 6) 5 6x2 = 36x2(2x3 – 6) 5 Dx eu = eu.u’ Exemplo: Dx e 2x-3 = 2 e 2x-3

Dx ln u =

u' u 3 3x − 2

Exemplo: Dx ln 3x − 2 =

Dx sen u = cos u. u’ Exemplo: Dx sen

x = cos x

1 2 x

=

cos x 2 x

Para as demais funções compostas se procede de maneira análoga aos exemplos anteriores.

5) Encontre y’, sabendo que: a) y = (2-x)6 e) y = b) y = f) y = 1 (2x + 3) 5 2 3 1− x

2

c) y = 4x − 2 g) y = e x

2

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d) y = h) y =

x2 + 5

3 2( x − 4 x )2

2

−5

1 ex

i) y = 3 ln x 2 m) y = e − x

2

2

j) y = ln (5x+2) n) y = ln(4-5x)

3

k) y = (x2+3x-1)2 o) y = e 2 x . ln 2 x s) y = eln 3 x 1 x x) y =

(3 x + 3 ) 3 (2 x + 5) 2

l) y = e 3 x + 2 p) y =

e3 x 1− x

q) y = x .ln x

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r) y = − e v) y = 9 e 3x

x2 2

t) y = ln e5x

u) y = cos (3x2)

+ sen

5

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6) Determine a declividade da reta tangente ao gráfico da função dada por f(x) = x.e-x no ponto x = -1. 7) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada por y = ponto x = 2.

x 2 − 3 no

7. DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

8) Ache f ′(x ) se a) f ( x ) =

3

x +1

( x + 2). x + 3

b) f ( x) = x x , onde x > 0

8. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

9) Dada a equação x2 + y2 = 9 , ache

dy por derivação implícita ; dx

a) as duas funções definidas pela equação ; b) a derivada de cada função obtida na parte (b) por derivação implícita; c) comprove que o resultado obtido na parte (a) está de acordo com os resultados obtidos na parte (c). 10) Ache

dy considerando as seguintes equações: dx

b) (x + y)2 – (x – y)2 = x4 + y4 c) x cos y + y cos x = 1

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a) 3x4y2 – 7xy3 = 4 – 8y

11) Ache uma equação da reta tangente à curva x3 + y3 = 9, no ponto (1,2).

9. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR ou DERIVADAS SUCESSIVAS

Se a função f for derivável, então f´ será chamada a derivada primeira de f. Se a derivada de f´ existir, ela será chamada de derivada segunda de f, denotada por f´´. Da mesma forma, a derivada terceira de f, é definida como a derivada de f´´, se existir. A derivada terceira de f é denotada por f´´´. A derivada n-ésima da função f, onde n é um número inteiro positivo maior do que 1, é a derivada da derivada (n -1)ésima de f. Denotamos a derivada enésima de f por f(n).

6

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A notação de Leibniz para a derivada primeira é

dy . dx

d2y . dx 2

Para a derivada segunda de y em relação a x, a notação de Leibniz é

dny O símbolo é uma notação para a derivada enésima de y em relação a x. dx n dn Outros símbolos para a derivada enésima de f são [ f (x)] ; D xn [f(x)]. dx n

12) Ache todas as derivadas da função f definida por f(x) = 8x4 + 5x3 – x2 + 7 13) Calcule

Respostas

d3 (2 sen x + 3 cos x − x 3 ) dx 3

1) a) y’ = -6

b) y’ = 3ex +

8 x

c) y’ =

12 5

d) y’ =

1 1 + 3 2x

1 x

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e) y’ = 0

f) y’= x − 3

g) y’= 3x2 –2ex - π

h) y’=

3 x

2

i) y’=-

3 1 + 2 3 x x

j) y’=

+

1

3

x2

k) y’ = −

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1

3

x

4

2 3x 2

l)

3 x 2 − 3 2 3 x

m) y’= 3x2+ 4x – 1

n) y’ = 3xex(2+x)

o) y’ =

2x 2 + 2x − 4 (1 + 2 x )2

p) y’=ex(

1 + ln x) x

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q) y’ =

e x ( x − 1) 2x

2

r) y’= 5x2(1+3ln x)

s) y’=

4 (3 − 2 x )2

t) y’=

sen x + ln x. cos x x

ul) y’=

sec 2 x − tgx ex

nula: x = 2

2) positiva: {x ∈ IR / x < 2} 3) 3 4) y =

negativa : {x ∈ IR / x > 2}

x 3 − 2 2

b) y’=

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5) a) y’= -6(2-x)5

− 10 (2 x + 3)6

c) y’=

2 4x − 2

d) y’=

x x +5

2

7

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e) y’=

− 6 x + 12 ( x 2 − 4 x )3

f) y’=

2x 3 (1 − x )

2 3

g) y’=2x e x

2 −5

h) y’=-e-x

i) y’=

6 x

j) y’=

5 5x + 2 −5 4 − 5x

k) y’=(4x+6)(x2+3x-1)

l) y’=3e3x+2

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m) y’= − 2 xe − x

2

n) y’=

o) y’= e 2 x (

1 + 2 ln 2 x ) x

p) y’=

e3 x (4 − 3 x ) (1 − x )2

q) y’= 2xln x +3x

3

r) y’= xe

x2 2

s) y’= 3

⎛ 1⎞ cos⎜ ⎟ 2 x ⎝x⎠

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t) y’= 5

u) y’ = -6xsen(3x2)

v) y’ = −

27 e 3x

1

x) y’ =

(3 x + 3)2 (6 x + 33 ) (2x + 5)3

6) 2e 7) y = 2x – 3

8

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