Determinantes - Apostilas - Ciência da Computação, Notas de estudo de Ciência da Computação. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
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Garoto7 de Março de 2013

Determinantes - Apostilas - Ciência da Computação, Notas de estudo de Ciência da Computação. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Ciência da Computação sobre o estudo dos Determinantes, definições e métodos.
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2 DETERMINANTES

2 - DETERMINANTES 2.1 A toda matriz quadrada A sobre está associada um número real chamado determinante de A.

2.2 Notação: det A ou | A |

2.3 Definição de determinante de ordem 1: Ex: A = [ -5 ] ⇒ | A | = | -5 | = -5

2.4 Definição de determinante de ordem 2:

( ) ( ) 131525.31.2 15 32

15 32

: =+−=−−−= − −

=⇒ 

  

 − −

= AAEx

2.5 Definição de determinante de ordem 3:

9||28603 14 13 01

314 213 201

314 213 201

: −=⇒+−−+= −

−− −

− =⇒

  

  

−− −

− = AAAEx

2.6 Métodos para a determinação de determinantes de ordem n ( Laplace - Jacobi – Chió ) • Exemploenvolvendo o Teorema de Laplace: : Calcule o determinante da matriz

( ) ( ) ( ) ( )

10653.2.2

535361064330.1 323 122 115

.1

.2.0.2.0.0

3203 2321 1202 1105

32

23

32

3242322212

=⇒==⇒

=−−=−−−−+−−=− −

−=

=+++=⇒

   

   

−− −

=

+

AAquesegueAComo

AA

A

A

AAAAA

• Exemploenvolvendo o Teorema de Jacobi: Dada uma matriz quadrada A. Se multiplicarmos a uma de suas filasuma fila previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma m atriz B tal que : det B = det A

( )

 

−=−==

=+−=

   

   

 −

=

   

   

 − −

= 2 4

2 4

2 4

2 4

2 ' 12

.1.

2:

3112 3211 1000 2121

3112 3211 3242 2121

BBBbBoe

ABoeLLLo p e r a ç ã od a a t r a v é sAm a t r i zd ao b t i d af iBm a t r i za

o n d eBA

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( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6tan.6

6]161[]21.141.221.1[.1 112 211 121

1 4224

−==−=

=++−=−−−−−+= −

−= +

BAtoPorB

B

• Exemploenvolvendo o Regra de Chió: Seja A = ( aij )nxn , n ≥ 2 1ª) Suprimir a linha e a coluna que contém um elemento aij = 1 2ª) De cada elemento que sobra em A , subtrair o produto dos elementos que se situam nas extremidades perpendiculares a linha i e a coluna j de A , traçadas a partir do elemento considerado. 3ª) det A = ( -1 )i + j det A’ Exemplo : Resolva o determinante abaixo pela regra de Chió

( ) ( )

20]20[]601210321515[

545 114 233

1 )1).(3(2)2).(1(22).3(1

)1).(2(1)2).(2(32).2(0 )1.(20)2.(212.21

1

2321 1230 1122 0211

32

−=−=+++−−−−=

−− −−

− −=

−−−−−−−−−− −−−−−−−−

−−−−−− −=

−−− −

−− −

+

• Exemploenvolvendo o Determinante de matriz de Vandermonde Calcule:

2587211.7.4.7.3.42 )110).(310).(610).(16).(36).(13()13).(23).(12(

1000100101 2163661 27931 1111

det) 941 321 111

det)

=== +−−+−+=−−−=

−−

== BbAa

2.7 PROPRIEDADES: P1) Se numa matriz quadrada A, todos os elementos de uma fila são nulos, então det A = 0

P2) det A = det At

P3) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal.

P4) Se multiplicarmos por α ℜ∈ todos os elementos de uma única fila de A, obteremos uma matriz B tal que det B = α det A

P5) Se multiplicarmos por α ℜ∈ todos os elementos de uma matriz A de ordem n, obteremos uma matriz B tal que det B = αn det A

P6) Se trocarmos de posição duas filas paralelas, obteremos uma matriz B tal que det B = - det A

P7) Se a matriz A possui duas filas paralelas iguais então 0=A

P8) Se a matriz A possui duas filas paralelas proporcionais então 0=A

P9) Se uma das filas de uma matriz A for combinação linear de outras filas paralelas o detA = 0

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P10) Teorema de Binet: det (A . B) = det A. det B

LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE DETERMINANTES

1) Calcule o valor de K em 10

15 22

02 1

94,21 =

−−

k -2,5

2) Resolver a equação 1 11

10 121

= −

x x 1

3) Dada a matriz

     

     

=

x x

x x

x

A

0100 8000 0100 0010 0001

e seja f : ℜ→ℜ definida por f(x) = |A|, calcule f(-1)

4) Seja S =[sij]3x3, onde SC a l c u l e jis eji jis eji jis e

si j . ,

, ,0



  

>− =+

<

= 48

5) Dadas uma matriz A de 3ª ordem cujo determinante é 1 e outra matriz B de 4ª ordem cujo determinan te é 2 , calcule os det (2 A ) e det (3B ) -6 e 162

6) Calcule det B sabendo que   

  

− − −

= bzzc byyc bxxc

B 23 23 23

7) Se ................ 321 432121296

321 vale

zyx então

zyx −= 4

8) Calcule:



   −

+ +

+

−− −−

−−

m p r sc a b c db

a

sm rm

pm m

c

dcb da

ca ba

ba )

3) 1 6)

111 111 111 111

)

0 00

00 00

)

1111 1111 1111

1111

)

9) Calcule o valor de x em :

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{ }

  

  

   −

== −−

1) 5 3)

0

1011 1021 10 1511

)0

331 1211

1211 0121

) 2

b

axx b

x

a

10) Sendo A uma matriz real de ordem 3 , cujo determinante é igual a 4 , calcule o valor de x na equação det ( 2 A. At ) = 4 X (12)

11) Resolva os determinantes abaixo:

4110 3000 411 3001

)

12222 21222 22122 22212 22222

)

6470624 8820417 2950112 6310235

3100424 6920183 0170512

)

7211 4221 3673 1442

)

4334 1111 2422

3203

)

23468 02217 00345 00013 00001

)

5201 2122 1311 0030

)

6) 2) 0) 0) 0)

12) 60) 78)

455) 238) 55)

2103 3120 0213 2112

)

5402 1025 3121 6133

) 782 541 123

) 581 340 215

)

− −− −−− −−−−−

−− −− −− −−−−

−− −− −

− −

− −

−−− −−

      

      

− −

− −−

−−

−−

− −

− −−−−

a kji

hgfe

k j i h g f e d c b a

dcba

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12) Dada as matrizes    

   

− − −

=

4000 1300

4220 3151

A e    

   

 −

=

2312 0121 0043 0001

B calcule der ( A . B ). (192)

13) Calcule o determinante da matriz P2, onde P =   

  

− −

220 112

112

( 64 )

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