Divergente, Rotacional e Equações de Maxwell - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal da Bahia (UFBA)
A_Santos
A_Santos8 de Março de 2013

Divergente, Rotacional e Equações de Maxwell - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal da Bahia (UFBA)

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Apostilas e exercicios de Física do Instituto de Física da UFBA sobre o estudo da Divergente, Rotacional e Equações de Maxwell.
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INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA

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I INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO

DISCIPLINA: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL IV-E (FIS 124)

Divergente, Rotacional e Equações de Maxwell

1. Se BeA rr

são funções vetoriais e φ uma função escalar (todas com derivadas contínuas), prove as

seguintes identidades vetoriais:

a. φ∇=φ∇∇ 2 rr

. onde 2 2

2

2

2

2 2

zyx ∂ ∂+

∂ ∂+

∂ ∂=∇

b. 0=∇∇ AX. rrr

c. 0=φ∇∇ rr

X

d. A)A.()AX(X rrrrrrr 2∇−∇∇=∇∇

e. A.A.)A(. rrrrrr

∇φ+φ∇=φ∇

f. AXAX)()A(X rrrrrr

∇φ+φ∇=φ∇

g. )BX(.A)AX(.B)BXA(. rrrrrrrrr

∇−∇=∇

2. Se r r

é um vetor que liga a origem ao ponto (x, y, z) e 'r r

é outro vetor desde a origem ao ponto (x', y', z'),

mostre que:

a. ( )

3 1

'rr

'rr

'rr rr

rr

rr r

− −=

  

  

− ∇ b. ( ) 0=−∇ 'rrX rrr

c. ( )

53 3 1

'rr

'rr

'rr rr

rr

rr

r

− −=

  

  

− ∇ d. 01 =

  

  

− ∇∇

'rr X rr

rr

3. Calcule o rotacional e o divergente de cada um dos seguintes campos vetoriais. Se o rotacional for nulo,

tente descobrir a função escalar da qual esse campo é gradiente.

a. Fx = x + y ; Fy = -x + y ; Fz = -2z

b. Gx = 2y ; Gy = 2x + 3z ; Gz = 3y

c. Hx = x2 - y2 ; Hy = 2 ; Hz = 2xz

4. As equações abaixo descrevem o campo eletromagnético numa região sem cargas e correntes. Sabendo-se

que c = ω/k e c Bo = Eo é mostre que as mesmas satisfazem as equações de Maxwell :

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Ex = Ey = 0 Ez = Eo cos(ky - ωt)

Bx = Bo cos(ky - ωt) By = Bz = 0

5. Um solenóide muito longo, de raio R e n espiras por metro, tem seu eixo coincidente com o eixo z. A

corrente que o percorre varia com I = Io sen ωt e tem sentido tal que entre os instantes 0 <t < π/ω produza

um campo B cujo sentido é o mesmo que o do eixo z. a. Determine o campo elétrico induzido em função da distância r do eixo, para os casos onde r < R e r > R.

b. Esboce as linhas de campo de E para os seguintes intervalos de tempo: 0< t < π/2ω ; π/2ω < t < π/ω ; π/ω <

t < 3π/2ω ; 3π/2ω < t < 2π/ω

6. Um capacitor de placas paralelas circulares de raio R tem sua carga q variando no tempo.

a. Determine o campo magnético induzido em função do raio r, para os casos onde r < R e r > R .

b. Esboce as linhas de campo de B para os casos 0> dt dq

e 0< dt dq

c. Mostre que a densidade Jd da corrente de deslocamento é dada por dt dEJ od ε= quando r < R

d. Calcule, em função de r, a intensidade da corrente de deslocamento.

e. Se o capacitor tem capacitância C e está submetido a um ddp V = V(t), mostre que a corrente de

deslocamento é dada por dt dVCd =I .

7. Há um campo elétrico paralelo ao eixo de um volume cilíndrico de raio R. O campo é espacialmente

uniforme, mas tem uma variação temporal dada por E = Eo cos ωt. Ache o campo B induzido como função de r

e t, onde r é a distância do eixo da cavidade.

8. Uma longa barra cilíndrica de raio R, está centralizada ao longo do eixo x, conforme é indicado na figura

abaixo. A barra possui um corte muito fino em x = b. Uma corrente de conduçao cresce na barra, sendo dada

por I = α t, sendo α uma constante positiva. No instante t = 0 não existe cargas nas faces do corte.

a. Calcule o módulo da carga que se acumula nas faces em função do tempo.

b. Encontre o módulo de E na região entre as duas faces. c. Determine o campo B entre as duas faces para r < R, onde r é a distância ao eixo x. Faça um esboço das

linhas de campo.

d. Compare a resposta anterior com o valor de B no interior da barra para r < R.

x

b

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9. Um capacitor de placas paralelas e circulares de área A = 0,2 m2 está ligado a uma fonte de potencial

V=Vmsen ωt , com Vm = 400 V e ω = 150 rad/s. O valor máximo da corrente de deslocamento é Id = 4,5 x 10-5 A.

Calcule :

a. O valor máximo da corrente I

b. O valor máximo de dΦE/dt, onde ΦE é o fluxo de E entre as placas c. A separação d entre as placas

d. O valor máximo do módulo de B entre as placas e a distância r = 0,1 m do centro

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