Divisibilidade e Mdc - Exercícios - Tópicos de Álgebra Aplicada, Notas de estudo de Álgebra Linear. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
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Brasilia8012 de Março de 2013

Divisibilidade e Mdc - Exercícios - Tópicos de Álgebra Aplicada, Notas de estudo de Álgebra Linear. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo da Divisibilidade e Mdc.
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Tópicos de Álgebra 2010

Lista 1-Divisibilidade e Mdc

1. Faça os exerćıcios 1-12,15,17,20,21,23-25,27,28,30,33-38 do livro (Introdução à Teoria dos Números).

2. Sejam a, b ∈ Z e U∗+ o conjunto das combinações lineares positivas de a e b. Prove que: a) Se u ∈ U∗+ então k.u ∈ U

+ ∀ k ∈ N. b) Se u1, u2 ∈ U

+ e k, l ∈ Z então ku1 + lu2 ∈ U ∗

+ desde que seja positivo. c) Seja u1 e u2 em U

+, e r o resto da divisão de u1 por u2. Mostre que r ∈ U ∗

+. d) Seja u1 o menor elemento de U∗+. Prove que u1 divide qualquer elemento de U

+. e) Explique se é verdadeiro ou falso:“U∗+ é o conjunto de todos os múltiplos positivos de mdc(a,b)”.

3. Sejam a, b, c inteiros. Mostre que c divide a e b se e somente se c divide combinações lineares arbitrárias (coeficientes em Z) de a e b.

4. Prove que se a|bc e (a, b) = 1 então a|c.

5. Prove que se p é primo e p|ab então p|a ou p|b.

6. Prove que se a|c, b|c e (a, b) = 1 então ab|c. Dê um contra-exemplo para mostrar que ab “pode não dividir c” caso a e b não sejam coprimos.

7. Dados a, b. Seja d = (a, b). Mostre que (

a

d , b

d

)

= 1.

8. Sejam a, m inteiros com m > 1. Dizemos que um inteiro b é um inverso de a módulo m se existe algum inteiro k tal que ab = 1 + km. a) Prove que b é um inverso de a módulo m se e somente se m|(ab − 1). b) Assuma que b é um inverso de a módulo m. Prove que para todo t, b + tm também é inverso de a módulo m. c) Prove: a ∈ N admite um inverso módulo m se e somente se (a, m) = 1. d) Supor que a admite algum inverso módulo m. Prove que existe um único inverso de a módulo m no conjunto {1, 2, 3, . . . , m − 2, m − 1}.

9. Calcule o inverso de a módulo m no conjunto {1, 2, 3, . . . , m − 2, m − 1} nos casos abaixo: a) a = 3 e m = 10. b) a = 8 e m = 11. c) a = 50 e m = 63. d) a = 34 e m = 22.

10. Seja A = {1, 2, 3, . . . , 11, 12}. a) Calcule todos os inversos módulo 13 dos números em A, de forma que estes inversos também pertençam a A. b) Mostre diretamente que 13|(12! + 1), onde 12! = 1 × 2× 3 × 4 × · · · × 11× 12. Você vê alguma relação entre os dados de a) e b) ?

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