Doc calculo , Exercícios de Cálculo. Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT)
ana_claudia
ana_claudia25 de Abril de 2016

Doc calculo , Exercícios de Cálculo. Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT)

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Apresentação do PowerPoint

Ensino Superior

1.4- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

01 de37

Unidade 1.3 Integral Indefinida (Revisão)

Integração: BASES PARA ESTUDOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Técnicas de Integração (Primitivação) uma breve revisão de “Funções de Uma Variável”

Amintas Paiva Afonso

02 de37

Técnicas de Integração (Primitivação) OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) – conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:

  F(x)dx f(x) As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (BC 0201) são:

Seguem algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.

– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL

– INTEGRAÇÃO POR PARTES

– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIO 01

Calcular   dx2x1)(x 502

Solução

Seja u = x2 + 1

Logo: 2x dx = du

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

 du(u)50

C 51

1)(xC 51 udu(u)

51251 50 

03 de37

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

2x dx du 

EXERCÍCIO 02

Calcular   dx9)sen(x

Solução

Seja u = x + 9

Logo: dx = du

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

 dusen(u)

C9)cos(xCcos(u)dusen(u) 

04 de37

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

1 dx du 

EXERCÍCIO 03

Calcular  dxcos(x)(x)sen2

Solução

Seja u = sen(x)

Logo: cos(x) dx = du

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

 duu2

C 3

(x)senC 3 uduu

33 2 

05 de37

cos(x) dx du 

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

EXERCÍCIO 04

Calcular  dxx e x

Solução

Então x2

1

x

1 2 1x

2 1x

dx d

dx du

2 1

2 1

2 1

   

  

 

Seja u = x

Logo: = du dx x2

1

Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma.

06 de37

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

Ce2Ce2due2du2e xuuu  

  dxx2 12edx

x2 2

1 edx

x e xxx

  du2edxx2 12e ux

Ou seja: Ce2dx x

e xx 

du2dx x

1dudx x2

1 

outra maneira de chegar aqui sem manipular a função dada é fazendo (página 08):

07 de37

EXERCÍCIO 05

Calcular   dx1xx2

Solução

Seja u = x – 1

Logo: dx = du

Se u = x – 1

Então x = u + 1

x2 = (u+1)2

x2 = u2 + 2u + 1

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

08 de37

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

  duu1)2u(u2 ou:



  

   

 

  

   

 

duu2uu

du1uu2uuuduu1)2u(u

2 1

2 3

2 5

2 1

2 1

2 1

22 1

2

Portanto:

C 1

2 1 u

1 2 3 u2

1 2 5 uduu2uu

1 2 11

2 31

2 5

2 1

2 3

2 5

 

 

 

  

   

 



09 de37

Cu 3 2u

5 4u

7 2duu2uu 2

3 2 5

2 7

2 1

2 3

2 5

  

   

 

Finalmente:

Escrevendo em termos de x:

C)1(x 3 2)1(x

5 4)1(x

7 2dx1xx 2

3 2 5

2 7

2 

10 de37

EXERCÍCIO 06

Calcular  dxex x

Solução

A integral dada deve ser escrita na forma . dvu Seja, portanto:

dxex x

xu  dxedv x

Deste modo:

Cexedxexeduvuvdvudxxe xxxxx   a constante C pode ser incluída apenas no final.

INTEGRAÇÃO POR PARTES

dxdu  xxx edxevdxedv  

Então:

EXERCÍCIO 07

Calcular   dxex x2

Solução

Seja: 2xu  dxedv x

Assim:

dx2xdu 

xxx edxevdxedv    Portanto:

2xdx)e(exduvuvdvudxex xx2x2   

12 de37

INTEGRAÇÃO POR PARTES

A última integral é semelhante à original, com a exceção de que x2 foi substituído por x.

ou:

dxex2exdxex xx2x2    (1)

Outra integração por partes aplicada a

completará o problema.

dxex x 

Seja:

xu  dxedv x

13 de37

Assim:

dxdu 

xxx edxevdxedv    Portanto:

dx)e(exduvuvdvudxex xxx   

ou:

1 xxxxx Ceexdxeexdxex    (2)

Substituindo (2) em (1) resulta:

14 de37

  1

xxx2

1 xxx2

xx2x2

C2e2ex2ex

Ceex2ex

dxex2exdxex











 

Portanto:

Ce)2x2x(dxex x2x2  

15 de37

O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador possui grau 4 e o denominador possui grau 5.

Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz o termo:

2x A 

16 de37

Determinar    dx

3)2)(x(x 920x16x4x3x

22

234

EXERCÍCIO 08

Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias

Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x2 + 2)2 presente no denominador introduz os termos:

222 3)(x EDx

3x CBx

 

 

Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é:

22222

234

3)(x EDx

3x CBx

2x A

3)2)(x(x 920x16x4x3x

 

 

 

 

Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x2 + 3)2

22 22

2 22

22 22

234 22

3)(x EDx3)2)(x(x

3x CBx3)2)(x(x

2x A3)2)(x(x

3)2)(x(x 920x16x4x3x3)2)(x(x

 

 

 

 



17 de37

que resulta:

E)2)(Dx(x C)3)(Bx2)(x(xA3)(x920x16x4x3x 222234

 

Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes resulta:

E)29A(6C xE)2D3C(6B xD)2C3B(6A

xC)(2BxB)(A920x16x4x3x 2

34234

  



Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado, obtém-se um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5 incógnitas:

18 de37

  

 

  

 

9E26C9A 20E2D3C6B 16D2C3B6A

4C2B 3BA

A solução deste sistema resulta:

0E4D0C2B1A 

Portanto:

22222

234

3)(x 4x

3x 2x

2x 1

3)2)(x(x 920x16x4x3x

 

 

 

 

19 de37

Logo:

dx 3)(x

4xdx 3x

2xdx 2x

1dx 3)2)(x(x

920x16x4x3x 22222

234

  

C2xlnCulndu u 1dx

2x 1

dxdu1 dx du

2xu

 







dx 3)(x

x4dx 3x

2xdx 2x

1 222  

C3xlnCulndu u 1dx

3x 2x

dx2xdu2x dx du

3xu

2 2

2

 





 20 de37

C 3)2(x

1 2u 1

12 u

2 1duu

2 1dxx3)(x

dxx 2

dudx2x du3xu

dx3)(xxdx 3)(x

x

2

12 222

2

22 22

 

 

  

 





 

 





dx 3)(x

x4dx 3x

2xdx 2x

1 222  

E, finalmente:

C 3x

23xln2xlndx 3)2)(x(x

920x16x4x3x 2

2 22

234

 

 

 21 de37

Sejam as identidades trigonométricas:

2 cos2x1xcos

2 cos2x1xsen 22 

Assim,

   dxcos2x

2 1dx

2 1dx

2 cos2x1dxxsen2

 

 

  

 

 

2 sen2x

2 1

10 x

2 1 10

Cusen 2 1

duucos 2 1dxcos2x

dx 2

du2 dx du

2xu

dxcos2x







C 4 2xsen

2 xxsen2 

22 de37

EXERCÍCIOS 09 INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)

Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:

C 4 2xsen

2 xxcos2 

A integral dxxcosxsen 22

pode ser resolvida fazendo:

    dxcos2x1 2 1cos2x1

2 1  

 dx2xcos1 4 1 2 

dx 2

cos2x1 2

cos2x1dxxcosxsen 22   

    

  

23 de37

 dx2xcos1 4 1 2 

dx2xcos 4 1dx1

4 1 2 

8 4xsen

2 x

8 2usen

4 u

4 2usen

2 u

2 1duucos

2 1dx2xcos

dx 2

du2xu

dx2xcos

22

2

 

  





 

  

8 sen4x

2 x

4 1

4 x

C 32

sen4x 8 x 

24 de37

Solução

EXERCÍCIO 10

Determinar   dx 6)4xsen(x 2)(x 2

Seja u = x2 + 4x – 6

Então:

42x dx du 

dx 2)(x 2 dx 4)(2xdu 

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

25 de37

Logo, seja: dx 2)(x 2

du 

Assim,

  du sen(u)2 1

2 dusen(u)dx 6)4xsen(x 2)(x 2

Sabe-se que:

Ccos(u)du sen(u)  TABELA

Mas:

  dx 6)4xsen(x 2)(x 2

26 de37

Então:

C)cos(u)( 2 1dx 6)4xsen(x 2)(x 2 

C6)4xcos(x 2 1dx 6)4xsen(x 2)(x 22 

Portanto:

27 de37

Solução

EXERCÍCIO 11

Determinar   dx 1xx x

2

Seja u = x2 + x + 1

Então:

12x dx du  dx 1)(2xdu 

Na integral original, fazer:

  

 

 dx

1xx

112x 2 1dx

1xx

2x 2 1dx

1xx

x 222

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

28 de37

Mas:

  



 dx 1xx

1 2 1dx

1xx

12x 2 1dx

1xx

112x 2 1

222

1 2

uu

2 1

u 2 1

1 2 1

u 2 1du u

2 1du

u 1

2 1 2

12 11

2 1

2 1

   

  

   

  

 

 



C1xxdx 1xx

12x 2 1 2

2 





1 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

   du

u 1

2 1dx

1xx

12x 2 1

2 ver detalhes na página anterior

29 de37

A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada) na forma acima:

2 TABELA

Cuaulndu ua

1 22 22

 

  

 

 

 

  

 

du au

1 2 1dx

2 3

2 1x

1 2 1dx

1xx

1 2 1

22222

onde:

2 3a dx du

2 1xu 

30 de37

Portanto:

C 2 1x

4 3

2 1xln

2 1dx

1xx

1 2 1 2

2 

 

  



Então, finalmente:

C 2 1x

4 3

2 1xln

2 11xxdx

1xx

x 22 2

  

  



31 de37

Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias

EXERCÍCIO 12

Determinar    dx

xx 13x9x

23

3

O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer aparecer frações próprias.

13x9x

9 9x9x

xx13xx09x

2

23

2323





23

2

23

3

xx 13x9x9

xx 13x9x

 

  fração própria

32 de37

  

  dx

xx 13x9x9dx

xx 13x9x

23

2

23

3

    dx

xx 13x9xdx 9 23

2

    dx )1(xx 13x9xdx 9 2

2

)1(x C

x B

x A

)1(xx 13x9x

22

2

 

 

)1(x C)1(xx

x B)1(xx

x A)1(xx

)1(xx 13x9x)1(xx 22

22 2

2 2

 

 

BxB)A(xC)(A13x9x 22 

DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

33 de37



  

 



1B 3BA

9 CA

A = 2 B = – 1 C = 7

   



 

 dx )1(x

7 x 1

x 2dx 9 2

    dx )1(xx 13x9xdx 9 2

2

dx )1(x

7dx x 1dx

x 2dx 9 2   

C1xln7 x 1xln2x9 

34 de37

Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos

EXERCÍCIO 13

Determinar   dx2xxx 1 23

2)1)(x(xx 1

2)x(xx 1

2xxx 1

223  

 



2)(x C

1)(x B

x A

2)1)(x(xx 1

 

 



2AxC)2B(AxC)B(A1 2 

Multiplicando os dois lados da igualdade por x ( x1 )( x+2 ) e rearranjando resulta:

35 de37



  

  

12A 0C2BA

0CBA

Portanto:

6 1C

3 1B

2 1A 

2)6(x 1

1)3(x 1

2x 1

2)1)(x(xx 1

 

 



E, finalmente:

Logo:

dx 2x

1 6 1dx

1x 1

3 1dx

x 1

2 1dx

2xxx 1 23  

C2xln 6 11xln

3 1xln

2 1dx

2xxx 1 23 

36 de37

crédito da figura de fundo

Catedral de Saint-Nazaire

Carcassonne, França

37 de37

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