Elementos de Teoria dos Conjuntos - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20008 de Março de 2013

Elementos de Teoria dos Conjuntos - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo dos Elementos de Teoria dos Conjuntos.
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MAT-331: Elementos de Teoria dos Conjuntos

Lista 1

1 Lógica

Exercício 1. Identique a hipótese e a tese em cada uma das seguintes armações:

(a) Se n é inteiro, então 2n é um número par.

(b) Você pode trabalhar aqui somente se tiver um diploma universitário.

(c) Um carro não anda, sempre que está sem combustível.

(d) Eu receberei a bandeirada, se cruzar a linha de chegada primeiro.

(e) Continuidade é uma condição necessária para diferenciabilidade.

(f) Normalidade é condição suciente para regularidade.

(g) Eu tenho sono na aula das 14h, sempre que almoço no bandejão.

(h) f(x) = 5 dado que x > 3.

Exercício 2. Sejam p e q as sentenças 2 < 3 e 0 + 1 = 1, respectivamente. Construa as sentenças:

(a) p ∧ q;

(b) p ∨ q;

(c) ¬(p ∨ q);

(d) ¬(p ∧ q);

(e) (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q).

Exercício 3. Sejam p e q sentenças quaisquer. Escreva as sentenças abaixo usando apenas ∧ e ¬:

(a) p ∨ q; (b) p→ q; (c) p↔ q.

Exercício 4. Sejam p e q sentenças. Quando escrevemos p∨q podemos ter p e q ao mesmo tempo. Escreva uma fórmula (usando os conectivos ∨,∧ e ¬) que diga que temos p ou q mas que não podemos ter p e q ao mesmo tempo.

Exercício 5. Escreva a negação de cada uma das seguintes armações:

(a) Para todo número x maior ou igual a zero, |x| = x.

(b) f é contínua em todos os pontos.

(c) Existe um ponto onde f é contínua.

(d) Existe um elemento neutro com relação a adição.

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2 MAT-331: Lista 1

(e) Por quaisquer dois pontos passa uma reta.

(f) Por quaisquer dois pontos passa uma única reta.

(g) Todas as cadeiras têm quatro pernas.

(h) Todo jogador de futebol é inteligente.

(i) ∃x > 1 (f(x) = 3).

(j) ∀x > 1 (0 < f(x) < 4).

(k) ∃x ∈ A (f(x) > x).

(l) ∃y ≤ 2 (f(y) < 2 ou g(y) ≥ 7).

(m) ∀x ∈ A ∃y ∈ B (x < y < 1).

(n) ∃x∃y (x+ y = 8).

(o) ∀x∃y (x < y ∨ y < x).

(p) ∃x∀y (y < x).

(q) ∀x∃y (x < y).

(r) ∀x∃y∀z (x+ y + z ≤ xyz).

Exercício 6. Para cada armação abaixo, (i) reescreva a condição da denição usando somente simbologia lógica (∀, ∃, ⇒, etc); (ii) escreva a negação da parte (i) usando da mesma simbologia. Não é necessário entender precisamente o que cada termo diz.

(a) Uma função f é par se, e somente se, para todo x, f(−x) = f(x).

(b) Uma função f é periódica se, e somente se, existe um k > 0, tal que, para todo x, f(x+ k) = f(x).

(c) Uma função f é crescente se, e somente se, para todo x e para todo y, se x ≤ y, então f(x) ≤ f(y).

(d) Uma função f é estritamente decrescente se, e somente se, para todo x e para todo y, se x < y, então f(x) > f(y).

(e) Uma função f : A→ B é injetora se, e somente se, para todos x e y em A, se f(x) = f(y), então x = y.

(f) Uma função f : A→ B é sobrejetora se, e somente se, para todo y em B, existe x em A, tal que, f(x) = y.

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MAT-331: Lista 1 3

(g) Uma função f : D → R é contínua em c ∈ D se, e somente se, para todo  > 0, existe δ > 0, tal que, |f(x)− f(c)| < , sempre que |x− c| < δ e x ∈ D.

(h) Uma função f é uniformemente contínua num conjunto S se, e somente se, para todo  > 0, existe δ > 0, tal que, |f(x)−f(y)| < , sempre que x e y estão em S e |x−y| < δ.

(i) O número real L é limite da função f : D → R no ponto c se, e somente se, para cada  > 0, existe δ > 0, tal que, |f(x)− L| < , sempre que x ∈ D e 0 < |x− c| < δ.

2 Pertinência, inclusão e potência

Exercício 7. Diga precisamente o que signica dois conjuntos serem diferentes, x 6⊆ y e x ( y.

Exercício 8. Mostre que o conjunto vazio é único.

Exercício 9. Mostre que para todo conjunto A vale:

(a) ∅ ⊆ A;

(b) A ⊆ A;

(c) A ⊆ {a} se, e somente se, A = {a} ou A = ∅.

Exercício 10. Diga se cada uma das armações abaixo é verdadeira ou falsa e justique.

(a) {a, b} ⊆ {{a}, {b}};

(b) {a} ⊆ {{a}, a};

(c) a ∈ {{a}};

(d) a ∈ {b} se, e somente se, a = b;

(e) ∅ ∈ ∅;

(f) ∅ ⊆ ∅;

(g) {{∅}} ⊆ {∅}.

Exercício 11. Escreva explicitamente os seguintes conjuntos:

(a) {2n+ 1 | n ∈ N, 1 ≤ n < 9};

(b) {2r | r ∈ R};

(c) {rq | r ∈ R e q ∈ Q};

(d) {m n | n,m ∈ N, n 6= 0};

(e) {i | i ∈ {j}}.

Exercício 12. Ache ℘({1}), ℘({1, 2}) e ℘({1, 2, 3}). Quantos elementos você acha que tem o conjunto ℘({1, 2, 3, 4})? E o conjunto ℘({1, 2, . . . , n}), onde n é um inteiro positivo?

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4 MAT-331: Lista 1

Exercício 13. Para E um conjunto qualquer, julgue em verdadeira ou falsa as seguintes sentenças:

(a) E ∈ ℘(E); (b) E ⊆ ℘(E); (c) {E} ⊆ ℘(E); (d) {E} ∈ ℘(E).

Exercício 14. Diga se cada uma das armações abaixo é verdadeira ou falsa e justique.

(a) x ∈ X se, e somente se, {x} ∈ ℘(X);

(b) {x} ∈ ℘(X) se, e somente se, {x} ⊆ X;

(c) {x} ⊆ ℘(X) se, e somente se, x ⊆ X;

(d) ∅ ∈ ℘(X).

Exercício 15. Mostre que para quaisquer conjuntos A, B e C, temos:

(a) se A ⊆ ∅, então A = ∅;

(b) se A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C;

(c) se A ⊆ B, então ℘(A) ⊆ ℘(B).

Exercício 16. Prove ou dê um contra-exemplo.

(a) A 6= B e B 6= C ⇒ A 6= C;

(b) A ⊆ B e B 6⊆ C ⇒ A 6⊆ C;

(c) x ∈ B e B ∈ C ⇒ x ∈ C;

(d) A ∈ B e B 6⊆ C ⇒ A /∈ C.

Exercício 17. Os conjuntos A, B e C são tais que A ⊆ B e B ⊆ C; além disso, a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C, d /∈ A, e /∈ B e f /∈ C. Dizer quais das seguintes sentenças são sempre verdadeiras:

(a) a ∈ C; (b) b ∈ A; (c) c /∈ A; (d) d ∈ B; (e) e /∈ A; (f) f /∈ A.

Exercício 18. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Mostre que se A ⊆ B, B ⊆ C e C ⊆ A, então A = B, B = C e C = A.

Exercício 19. Escreva explicitamente o conjunto ℘(X), onde:

(a) X = ∅;

(b) X = {∅, {∅}};

(c) X = {3, {1, 4}};

(d) X = {a, {a}, {a, {a}}};

(e) X = ℘({a});

(f) X = ℘({a, b}).

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MAT-331: Lista 1 5

Exercício 20. Prove ou dê um contra-exemplo.

(a) {x} ∈ ℘(X)⇔ x ⊆ X;

(b) {{a}, {a, b}} ∈ ℘({a, b});

(c) {{a}, {a, b}} ⊆ ℘({a, b});

(d) {a, b} ⊆ ℘({a, b});

(e) {a, b} ∈ ℘({a, b});

(f) {{a, b}} ⊆ ℘({a, b});

(g) {{a, b}} ∈ ℘({a, b});

(h) {2, 3, 4, 5} ∈ ℘({n ∈ N | n é par}).

Exercício 21. Escreva explicitamente os conjuntos:

(a) {X ∈ ℘(N) | X ∈ ℘({1, 2, 3}) e X ∈ ℘({2, 5})};

(b) {X ∈ ℘(N) | X ∈ ℘({1, 3, 8}) e 8 ∈ X}.

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