Equação polinomial - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20006 de Março de 2013

Equação polinomial - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo da equação polinominal, teoremas.
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Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio:

p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos:

x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0

10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0

x8 – x6 – 6x + 2 = 0

x10 – 6x2 + 9 = 0

As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução.

Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)

Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.

Exemplo 1

Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação:

2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0

Se 2 é raiz da equação, então temos:

2(2)4 + k(2)3 – 5(2)2 + 2 – 15 = 0

2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0

32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0

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8k + 34 – 35 = 0

8k – 1 = 0

8k = 1

k = 1/8

Temos que o valor do coeficiente k é 1/8.

Exemplo 2

Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx3 + (m + 2)x2 – 3x – m – 8 = 0.

Temos que:

m(–3)3 + (m + 2)( –3)2 – 3(–3) – m – 8 = 0

m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0

–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0

–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9

– 19m = –19

m = 1

O valor de m é 1.

Por Marcos Noé

Graduao em Matemática

Equipe Brasil Escola

“Mesopotâmia, o primeiro registro da Equação Polinomial do 2º. Grau foi feito por um escriba, em 1700 a.C., aproximadamente, em uma tábua de argila, cuja apresentação e a forma de

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apresentação era retórica, ou seja, através de palavras, considerada como uma “receita matemática” infalível para solucionar qualquer tipo de Equação e que fornecia somente uma raiz positiva” (as raízes negativas só entraram no contexto matemático a partir do século XVIII).

A História da Álgebra começa na Antiguidade, considerada como um sistema para resolver problemas matemáticos que envolvam números desconhecidos. Os problemas algébricos mais antigos hoje conhecidos datam do século XVII a.C. Estão registrados em um papiro descoberto em 1858 na cidade de Luxor, no Egito, por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Seus enunciados têm a seguinte forma: "Ah, seu inteiro, seu sétimo, fazem 19". Em álgebra moderna, a expressão pode ser traduzida por: x + = 19. O número desconhecido, ou incógnita, é representado por um símbolo, neste caso o x, manipulado até seu valor ser determinado. O intervalo de tempo transcorrido entre a escrita do Papiro de Rhind e a elaboração desta forma de apresentar as equações algébricas (x + = 19) é de 34 séculos.

A palavra Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohamed Ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm).

O chamado "pai da álgebra" é Diofante, matemático grego que vive em Alexandria no século IV d.C., o primeiro a usar sistematicamente símbolos para representar as incógnitas. Diofante é pioneiro na solução das equações indeterminadas, também chamadas de diofantinas, aquelas em que as informações não são suficientes para se obter uma resposta exata, mas permitem estabelecer uma relação entre os termos da equação.

Ninguém sabe exatamente quando nasceu ou morreu Diofante. Sabe-se apenas que viveu por 84 anos. Ao menos, este é o resultado do enigma elaborado por um de seus discípulos para descrever a vida do mestre: "A juventude de Diofante durou de sua vida; depois de mais , nasceu-lhe a barba. Ao fim de mais de sua vida, Diofante casou-se. Cinco anos depois teve um filho. O filho viveu exatamente metade do que viveu o pai, e Diofante morreu quatro anos depois da morte de seu filho. Tudo isso somado é o número de anos que Diofante viveu". O enigma pode ser traduzido por uma equação de primeiro grau onde x é a idade de Diofante:

x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/12 + 4 então , o resultado é 84.

Depois de Diofante, no século IV d.C., o próximo passo significativo no avanço da álgebra é a solução das equações de 3º e 4º graus, no século XVI. Scipione Del Ferro e Nicolo Fontana, também chamado de Tartaglia, ou "gago", são os primeiros a resolver a equação de 3º grau, e

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Lodovico Ferrari resolve a de 4º grau. Seus trabalhos são reunidos no livro Ars magma, de Girolamo Cardano, em 1545

No início da era moderna, os matemáticos aperfeiçoam as notações algébricas, aumentam a precisão dos cálculos e obtêm um grande progresso na álgebra. Passam a usar letras para representar as incógnitas, adotam os símbolos de + para adição, – para subtração e o sinal = para igualar os termos das equações. François Viète (1540-1603), advogado e matemático amador, é um dos que mais se destacam no período. Adota vogais para as incógnitas, consoantes para os números conhecidos, gráficos para resolver equações cúbicas e biquadradas (ou de 4º grau) e trigonometria, para as equações de graus mais elevados. Viète, que também simplifica as relações trigonométricas, pode ser considerado um precursor da geometria analítica. As notações atualmente utilizadas nas equações algébricas – a, b, c, para os números conhecidos, e x, y, z para as incógnitas – são estabelecidas por René Descartes, na primeira metade do século XVII.

Toda função na forma P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0, é considerada uma função polinomial, onde p(x) está em função do valor de x. A cada valor atribuído a x existe um valor em y, pois x: domínio da função e y: imagem.

O grau de um polinômio é expresso através do maior expoente natural entre os monômios que o formam. Veja:

g(x) = 4x4 + 10x2 – 5x + 2: polinômio grau 4.

f(x) = -9x6 + 12x3 - 23x2 + 9x – 6: polinômio grau 6.

h(x) = -3x3 + 9x2 – 5x + 6: polinômio grau 3.

Em uma função polinomial, à medida que os valores de x são atribuídos descobrimos os respectivos valores em y [p(x)], construindo o par ordenado (x,y), usado nas representações gráficas no plano cartesiano. Observe:

Dada a função polinomial p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1. Determine os pares ordenados quando:

x = 0

p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1

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p(0) = 2*03 + 2*02 – 5*0 + 1

p(0) = 0 + 0 – 0 + 1

p(0) = 1

par ordenado (0,1)

x = 1

p(1) = 2*13 + 2*12 – 5*1 + 1

p(1) = 2 + 2 – 5 + 1

p(1) = 0

par ordenado (1,0)

x = 2

p(2) = 2*23 + 2*22 – 5*2 + 1

p(2) = 2*8 + 2*4 – 10 + 1

p(2) = 16 + 8 – 10 + 1

p(2) = 15

par ordenado (2,15)

Polinômio nulo

Dizemos que um polinômio é nulo quando todos os seus coeficientes forem iguais a zero. P(x) = 0.

Identidade entre polinômios

Dois polinômios são idênticos quando todos os seus coeficientes são números iguais. Observe:

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ax2 + (b+3)x +(c–7) ≡ –2x2 + 6x – 9

Para que esses polinômios sejam idênticos os coeficientes de mesmo grau precisam...

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