Espaços de Hilbert, Projeção Ortogonal e Representação de Riesz - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Espaços de Hilbert, Projeção Ortogonal e Representação de Riesz - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo dos Espaços de Hilbert, Projeção Ortogonal e Representação de Riesz
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UFPB/CCEN/Departamento de Matemática

Introdução à Análise Funcional

Lista 7: Espaços de Hilbert, Projeção Ortogonal e Representação de Riesz

1. (a) Se para todo z num espaço com produto interno tem-se ⟨x, z⟩ = ⟨y, z⟩, mostre que x = y.

(b) Mostre que a condição ∥x∥ = ∥y∥ num espaço com produto interno real implica que ⟨x+ y, x− y⟩ = 0, ou seja, x+ y e x− y são ortogonais.

2. Sejam X um espaço vetorial normado e H um espaço de Hilbert. Mostre que se T :

X → H é uma isometria linear sobrejetora então X é um espaço de Hilbert.

3. Sejam x1, x2, x3 vetores num espaço com produto interno. Mostre que estes vetores

formam um conjunto linearmente independente se, e somente se, o determinante da

matriz (⟨xi, xj⟩) não é nulo.

4. Se E é um subespaço de um espaço com produto interno, mostre que y ∈ E⊥ se, e somente se, ∥y − x∥ ≥ ∥y∥, ∀x ∈ E.

5. Seja (xj) uma sequência ortogonal, ou seja, xj ⊥ xk, ∀j ̸= k.

(a) Verifique a relação de Pitágoras

∥ n

j=1

xj∥2 = n

j=1

∥xj∥2, ∀n ∈ N

(b) Se x = ∑

j=1 ajxj (soma convergente na norma), mostre que ∥x∥2 = ∑

j=1 |aj|2∥xj∥2.

6. Sejam E um subespaço fechado do espaço de HilbertH e x ∈ H. Assim de decomposição H = E⊕E⊥, tem-se x = y+z, y ∈ E e z ∈ E⊥. Mostre que y e z são os únicos elementos de E e E⊥, respectivamente, cujas distâncias a x são minimais.

7. Em L2[0,∞) considere E = [{e−t, te−t}] e ψ(t) = (1 + t2)e−t. Encontre a decomposição ψ = ψE + ψE⊥ , com ψE ∈ E e ψE⊥ ∈ E⊥.

8. Seja E = {ψ ∈ L2[1, 1] : ∫ 1 1 ψ(t) dt = 0}. Determine E

.

9. Mostre que se C é um conjunto convexo e fechado de um espaço de Hilbert H e x0 ∈ H então existe um único y0 ∈ C tal que ∥x0 − y0= infy∈C ∥x0 − y∥, isto é, y0 é o único elemento de C que realiza a distãncia de x0 a C.

10. Sejam E,F subconjuntos de H. Mostre que:

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(a) Se E ⊂ F , então F⊥ ⊂ E⊥ e E⊥⊥⊥ = E⊥

(b) E⊥⊥ é o menor subespaço vetorial fechado que contém o subconjunto E. Conclua

que se E for subespaço vetorial, então E = E⊥⊥.

(c) E é subespaço fechado de H se, e somente se, E = E⊥⊥.

11. Mostre que, no caso de espaço de Hilbert real, todo operador S : H → H que preserva distância entre vetores, ou seja, ∥S(x) − S(y)= ∥x − y∥, para todos x, y ∈ H, possui a forma S(x) = S(0) + V (x), para alguma isometria linear V ∈ L(H).

12. Se E é um subespaço fechado do espaço de Hilbert H e T ∈ L(H), diz-se que E é invariante por T se T (E) = E. Mostre que E é invariante por T se, e somente se,

TPE = PETPE, sendo PE o projetor ortogonal sobre E.

13. Sejam H1 e H2 espaços de Hilbert. Mostre que se T, S ∈ L(H1, H2) e α ∈ F, então:

(a) (T + S)= T ∗ + S∗ e (αT )= ᾱT ∗

(b) Se T−1 ∈ L(H1, H2) então (T−1)= (T ∗)1

(c) Se H1 = H2 então (ST ) = T ∗S∗, e portanto (T n)= (T ∗)n para todo n ∈ N.

14. Se H é um espaço de Hilbert e T ∈ L(H), mostre que NucT = (ImgT ∗), e também que NucT ∗ = (ImgT ).

15. Sejam S e T operadores auto-adjuntos em um espaço de Hilbert. Mostre que o produto

ST é auto-adjunto se, e somente se, esses operadores comutam entre si.

16. Seja H um espaço de Hilbert. Verifique:

(a) O conjunto dos operadores unitários em H forma um grupo em relação à operação

de multiplicação de operadores.

(b) Dados um subespaço E ⊂ H e um operador unitário U : H → H, então vale a relação U(E⊥) = (U(E)).

(c) Se U : H → H é unitário e U2 = 1, então ele é auto adjunto. Além disso, todo operador V ∈ L(H) que é unitário e auto-adjunto satisfaz V 2 = 1. (Obs: 1 é o operador identidade.)

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