Espaços normados, espaços separáveis, transformações lineares - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Espaços normados, espaços separáveis, transformações lineares - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo dos Espaços normados, espaços separáveis, transformações lineares.
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UFPB/CCEN/Departamento de Matemática

Introdução à Análise Funcional

Lista 1: espaços normados, espaços separáveis, transformações lineares

1. Sejam A e B subconjuntos não-vazios de um espaço vetorial normado X. Seja

A+B = {a+ b : a ∈ A, b ∈ B}

Prove que:

(a) Se A é qualquer e B é um conjunto aberto então A+B é aberto.

(b) Se A e B são compactos então A+B é compacto.

(c) Se A é compacto e B é fechado então A+B é fechado.

(d) A soma de fechados não necessariamente é fechada.

2. Sejam Ω um subconjunto compacto de um espaço de Hausdorff e C(Ω) o espaço das

funções cont́ınuas ψ : Ω F. Mostre que

∥ψ∥∞ = sup t∈

(t)|

define uma norma em C(Ω), e que o espaço normado (C(Ω), ∥.∥∞) é completo com a métrica induzida. Esta norma é também chamada de norma da convergência uniforme.

3. Mostre que ∥ψ∥1 = ∫ 1 0 (t)| dt é uma norma em C([0, 1]) e que ∥ψ∥1 ≤ ∥ψ∥∞ para toda

função ψ ∈ C([0, 1]). Mostre também que (C([0, 1]), ∥.∥1) não é completo. Existe C > 0 tal que ∥ψ∥∞ ≤ C∥ψ∥1 para toda ψ ∈ C([0, 1])?

4. Seja FN o espaço das sequências (x1, x2, . . . ) com xi ∈ F para todo i. Para cada 1 ≤ p < +, defina o espaço vetorial

lp(N) = {(xn)n ∈ FN : +n=1

|xn|p < +∞}

munido da norma (xn)n∥p = ( ∑+

n=1 |xn|p) 1 p . Mostre que (lp(N), ∥.∥p) é um espaço de

Banach.

5. Analise a convergência das sequências (ψn(t) = t n−t2n)n, (ϕn(t) = tn−tn+1)n e (φn(t) =

tn/n− tn+1/(n+ 1))n em Lp[0, 1], para p = 1 e .

6. Denote por C1[a, b] o espaço das funções continuamente diferenciáveis ψ : [a, b] R com a norma

∥ψ∥C1 := sup t∈[a,b]

(t)|+ sup t∈[a,b]

|ψ′(t)|

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Verifique que ∥.∥C1 é uma norma e C1[a, b] é Banach; generalize para funções de classe Cr. Analise a convergência da sequência (φn(t) = t

n/n− tn+1/(n+1))n em C[0, 1] e em C1[0, 1].

7. Sejam c = c(N) e c0 = c0(N) os conjuntos das sequências (αn)n em F cujos limites limαn existe e limαn = 0, respectivamente. Mostre que esses conjuntos são subespaços fechados

de l∞(N) e, portanto, são Banach com a norma ∥.∥∞. Mostre que dado um elemento x ∈ c existem um elemento y ∈ c0 e α ∈ F de modo que x = y+ z, z = (α, α, α, . . . ) ∈ c.

8. Pode ocorrer de duas métricas gerarem a mesma topologia, mas apenas um desses

espaços métricos ser completo (o que não ocorre no caso de duas métricas geradas por

normas). Verifique isto para as métricas d(s, t) = |t− s| e D(s, t) = |f(s)− f(t)| em R, sendo f(t) = t/(1 + |t|)

9. Considere 1 < p < ∞ e 1 p +

1

q = 1.

(a) (Desigualdade de Young) Mostre rs ≤ rp/p+ sq/q,, para quaisquer r, s > 0.

(b) (Desigualdade de Hölder) Use o item (a) para mostrar que

|

φψ dµ| ≤

|φψ| dµ ≤ ∥φ∥p∥ψ∥q

para φ ∈ Lpµ e ψ ∈ Lqµ

Lembre-se que:∥u∥p = ( ∫

|u|p dµ) 1 p

(c) (Desigualdade de Minkovski) Use o item (b) para concluir que

∥φ1 + φ2∥p ≤ ∥φ1∥p + ∥φ2∥p

e que ∥.∥p é uma norma.

(d) Adapte para lp.

10. Mostre que se X é um espaço vetorial normado de dimensão infinita, então qualquer

conjunto Y ⊂ X que contém um subconjunto aberto de X não pode ser compacto. Conclua que espaços vetoriais normados de dimensão infinita não podem ser localmente

compactos.

11. Uma sequência (xn)n num espaço normado X absolutamente somável se ∑

n=1 ∥xn∥ < ∞. Mostre queX é um espaço de Banach se, e somente se, toda sequência absolutamente somável é somável (ou seja,

∞ n=1 xn converge) em X.

12. Sejam N1 e N2 espaços normados, ψ : N1 → N2 uniformemente cont́ınua e Ñ1 e Ñ2 completamentos de N1 e N2, respectivamente. Mostre que a aplicação ψ possui uma

única extensão ψ̃ : Ñ1 → Ñ2 uniformemente cont́ınua.

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13. Construa uma sequência de funções ψ : [0, 1] R de forma que ∥ψ∥∞ = 1, a qual converge a zero em Lp[0, 1] para todo 1 ≤ p < ∞, e para todo t ∈ [0, 1] a sequência de escalares (ψn(t))n não é convergente.

14. Seja X espaço normado e Y ⊂ X subespaço vetorial tal que intY ̸= . Prove que Y = X.

15. Dê um exemplo de um espaço normado X e um funcional linear f : X → R descont́ınuo.

16. Sejam X, Y dois espaços normados e T : X → Y sobrejetiva e limitada tal que existe b > 0 satisfazendo ∥Tx∥ ≥ b∥x∥ para todo x ∈ X. Mostre que T é invert́ıvel e T−1 ∈ L(Y ;X).

17. Seja E espaço de Banach. Dado T ∈ L(E), podemos definir a composição T ◦ T = T 2, e indutivamente T n+1 = T ◦ T n. Mostre que T n ∈ L(E). Estime a norma de T n. Se ∥T∥ < 1, mostre que I − T é invert́ıvel, onde I : E → E é a identidade.

18. Se S, T ∈ L(E) são tais que T é invert́ıvel e ∥T − S∥ < ∥T−1∥−1 então S é invert́ıvel. Conclua que o conjunto dos operadores invert́ıveis de L(E) é aberto em L(E).

19. Seja R : lp(N) → lp(N) tal que R(x1, x2, x3, . . . ) = (0, x1, x2, . . . ). Mostre que R é injetivo, mas não é sobrejetivo. R é chamado de shift à direita. Defina também o shift

a esquerda, L(x1, x2, . . . ) = (x2, x3, . . . ). Mostre que L é sobrejetivo mas não é injetivo.

20. Mostre que um espaço métrico é separável se, e somente se, ele tem uma base topológica

contável. (Obs: Uma base topológica é uma coleção ()α∈Λ de conjuntos abertos tais

que qualquer outro aberto contém algum .)

21. Mostre que os subespaços de l∞(N), c = {(xn)n ∈ l∞(N) : limn xn existe} e c0 = {(xn)n ∈ l∞(N) : limn xn = 0}, são separáveis.

22. Mostre que um subconjunto de um conjunto separável é separável e que o fecho de um

conjunto separável é separável.

23. Sejam X1 e X2 espaços normados. Mostre que se uma aplicação ψ : X1 → X2 é cont́ınua em um ponto x0 ∈ X1 e satisfaz ψ(x+ y) = ψ(x)+ψ(y) ∀x, y ∈ X1 então ela é cont́ınua em todo ponto.

24. Seja PN o espaço dos polinômios p : [1, 1] R de grau menor ou igual a N , com a norma da convergência uniforme ∥.∥∞. Seja D : PN → PN o operador derivada D(p)(t) = p′(t). Mostre que D é limitado. Escolha uma base de PN e encontre a matriz

que representa D.

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25. Sejam X e Y espaços métricos compactos, u : Y → X uma aplicação cont́ınua, e considere o operador linear limitado Tu : C(X) → C(Y ), (Tuψ)(y) = ψ ◦ u(y). Mostre que:

(a) Tu é uma isometria se, e somente se, u é sobrejetora.

(b) Tu é sobrejetor se, e somente se, u é injetora.

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