Espaços vetoriais - Exercícios - Álgebra Linear, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Espaços vetoriais - Exercícios - Álgebra Linear, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo dos Espaços vetoriais.
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Exercícios Espaços vetoriais

1. Considere os vetores x1 = (8 , 6)T e x2 = (4 , -1)T em 2. (a) Encontre o comprimento de cada vetor. (b) Seja x3 = x1 + x2. Determine o comprimento de x3. Qual a relação entre seu comprimento e a soma dos comprimentos de x1 e x2? (c) Desenhe um gráfico ilustrando como x3 pode ser construído geometricamente usando x1 e x2. Use esse gráfico para dar uma interpretação geométrica da sua resposta em (b). 2. Repita o exercício 1 para os vetores x1 = (2 , 1)T e x2 = (6 , 3)T.

3. Seja C o conjunto dos números complexos. Defina a soma em C por

       idbcadicbia  e defina a multiplicação por um escalar por

  biabia   Para todos os números reais  . Mostre que C é um espaços vetoriais em relação a

essas operações. 4. Mostre que mxnR , com as operações usuais de soma e multiplicação por um escalar,

satisfaz os oito axiomas de espaços vetoriais. 5. Mostre que  baC , , com as operações usuais de soma e multiplicação por um

escalar, satisfaz os oito axiomas de espaços vetoriais.

6. Seja P o conjunto de todos os polinômios. Mostre que P, com as operações usuais de soma e multiplicação por um escalar para funções, forma um espaço vetorial.

7. Mostre que o elemento 0 de um espaço vetorial é único.

8. Sejam x, y e z vetores de um espaço vetorial V. Mostre que, se x + y = x + z então y

= x.

9. Seja V um espaço vetorial e seja x V . Mostre que: (a) 00  para todos os escalares  ; (b) se 0x , então  = 0 ou x = 0.

10. Seja S o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Defina a

multiplicação por um escalar e a soma em S por    2121 ,, xxxx  

     0,,, 112121 yxyyxx  Usando o símbolo  para denotar a soma nesse sistema para evitar confusão com a

soma usual de x + y de vetores linhas. Mostre que S, junto com a multiplicação

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usual por um escalar e a operação  , não é um espaço vetorial. Quais dos oito axiomas não são válidos?

11. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais com a soma definida por

     22112121 ,,, yxyxyyxx  e a multiplicação por um escalar definida por

   2121 ,, xxxx   Como a multiplicação por um escalar é definida de maneira diferente da usual,

usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor linha por um escalar. V é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique sua resposta.

12. Denote por R o conjunto dos números reais positivos. Defina a operação de

multiplicação por um escalar por  xx 

Para cada  Rx e para cada número real  . Defina a operação de soma por yxyx  para todos  Ryx,

Então, para esse sistema, o produto do escalar – 3 por 2 1 é dado por

8 2 1

2 13

3

  

  

e a soma de 2 com 5 é dada por 105252 

R é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique sua resposta. 13. Seja R o conjunto de todos os números reais. Defina a multiplicação por um escalar

por xx   (a multiplicação usual de números reais)

e a soma, denotada por  , por  yxyx ,max (o máximo entre dois números)

R é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique sua resposta. 14. Denote por Z o conjunto de todos os números inteiros com a soma definida da

maneira usual e a multiplicação por um escalar definida por    kk    para todos Zk

onde    denota o maiôs inteiro menor ou igual a  . Por exemplo,    842425,2425,2 

Mostre que Z não é um espaço vetorial em relação a essas operações. Quais dos axiomas não são válidos?

15. Denote por S o conjunto de todas as seqüências infinitas de números reais com a

multiplicação por um escalar e a soma definida por

docsity.com

         nnnn

nn

baba aa

  

Mostre que S é um espaço vetorial. 16. Podemos definir uma bijeção entre os elementos de Pn e de Rn por

      Tnnn aaxaxaaxp ,,1121  a Mostre que, se bqe a p , então (a) a p qualquer que seja o escalar  ; (b) ba  qp .

Exercícios Subespaços:

1. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de R2.

(a)   0/, 2121  xxxx T (b)   0/, 2121  xxxx T (c)   2121 3/, xxxx T  (d)   13/, 2121  xxxx T

2. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de R3. (a)   1/,, 31321  xxxxx T (b)   321321 /,, xxxxxx T  (c)   213321 /,, xxxxxx T  (d)   22213321 /,, xxxxxx T 

3. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de R2 x 2.

(a) O conjunto de todas as matrizes diagonais 2 x 2. (b) O conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores 2 x 2. (c) O conjunto de todas as matrizes A 2 x 2 tais que a12 = 1. (d) O conjunto de todas as matrizes B 2 x 2 tais que b11 = 0. (e) O conjunto de todas as matrizes simétricas 2 x 2. (f) O conjunto de todas as matrizes singulares 2 x 2.

4. Determine o núcleo de cada uma das matrizes a seguir.

(a)  

  

 23 12

(b)  

  

 

 3642 1321

docsity.com

(c)   

  

  

431 112 431

(d)   

  

  

5011 1322 2111

5. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de P4. (Cuidado!)

(a) O conjunto dos polinômios em 4 de grau par. (b) O conjunto dos polinômios de grau 3. (c) O conjunto dos polinômios p(x) em P4 tais que p(0) = 0. (d) O conjunto dos polinômios em P4 que tem pelo menos uma raiz real.

6. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de C[-1 , 1].

(a) O conjunto das funções f em C[-1 , 1] tais f (-1) = f (1). (b) O conjunto das funções ímpares em C[-1 , 1]. (c) O conjunto das funções não decrescentes em [-1 , 1]. (d) O conjunto das funções em f em C [-1 , 1] tais f (-1) = 0 e f (1) = 0. (e) O conjunto das funções f em C [-1 , 1] tais f (-1) = 0 ou f (1) = 0.

7. Mostre que Cn[a , b] é um subespaço de C[a , b]. 8. Seja A um vetor particular em R2 x 2. Determine se cada conjunto a seguir é ou não

um subespaço de R2 x 2. (a)  BAABRBS x  /221 (b)  BAABRBS x  /222 (c)  0/223  BARBS x

9. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um conjunto gerador para R2.

(a)   

  

 

  

  

  

 2 3

, 1 2

(b)   

  

 

  

  

  

 6 4

, 3 2

(c)   

  

 

  

  

  

  

  

  4 2

, 3 1

, 1 2

(d)

  

  

 

  

 

 

  

 

 

  

  4

2 ,

2 1

, 2 1

(e)

  

  

 

  

   

  

 1 1

, 2 1

10. Quais dos conjuntos a seguir são ou não conjuntos geradores para R3? Justifique

suas respostas.

(a) {(1 , 0 , 0)T, (0 , 1 , 1 )T, (1 , 0 , 1)T}

(b) {(1 , 0 , 0)T, (0 , 1 , 1 )T, (1 , 0 , 1)T, (1 , 2 , 3)T}

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(c) {(2 , 1 , -2)T, (3 , 2 , -2 )T, (2 , 2 , 0)T} (d) {(2 , 1 , -2)T, (-2 , -1 , 2 )T, (4 , 2 , -4)T} (e) {(1 , 1 , 3)T, (0 , 2 , 1 )T}

11. Sejam

  

  

  

   

  

 

  

  

 

  

  

 

5 2 9

, 6 6 2

, 2 4 3

, 3 2 1

21 yxxx

(a)   21 , xxx ? (b)   21 , xxy ?

12. Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para P3? Justifique suas respostas.

(a) {1, x2, x2 – 2} (b) {2, x2, 2x + 3} (c) {x + 2, x + 1, x2 – 1} (d) {x + 2x, x2 – 1}

13. Em R2 x 2, sejam

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

10 00

01 00

00 10

00 01

2221

1211

EE

EE

Mostre que E11, E12, E21, E22 geram R2 x 2.

14. Seja S o espaço vetorial das seqüências infinitas definido no exercício 15 da seção1. Seja S0 o conjunto das seqüências  na tais que 0na quando n . Mostre que S0 é um subespaço de S.

15. Prove que, se S é um subespaço de R1, então S = {0{ ou S = R1.

16. Seja A uma matriz n x n. prove que as seguintes afirmações são equivalentes:

(a) N(A) = {0}: (b) A é invertível: (c) Para cada nRb , o sistema Ax = b tem uma única solução.

17. Sejam U e V subespaços de um espaço vetorial W. prove que VU  também é um

subespaço de W.

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18. Seja S o subespaço de R2 gerado por e1 e seja T o subespaço de R2 gerado por e2. TS  é um subespaço de R2? Explique.

19. Sejam U e V subespaços de um espaço vetorial W. defina

U + V = {z/ z = u + v onde u  U e v  V}

Mostre que U + V é um subespaço de W.

ExercíciosIndependência linear

1. Determine se os vetores dados são ou não linearmente independente em R2.

 

  

   

  

 

  

 

 

  

 

 

  

   

  

  

  

  

  

 

 

  

  

  

  

  

  

  

1 1

, 2 1

)(

4 2

, 2

1 ,

2 1

)( 4 2

, 3 1

, 1 2

)(

6 4

, 3 2

)( 2 3

, 1 2

)(

e

dc

ba

2. Determine se os vetores são ou não linearmente independentes em R3.

(a)   

  

  

  

  

  

1 0 1

, 1 1 0

, 0 0 1

(b)   

  

  

  

  

  

  

  

3 2 1

, 1 0 1

, 1 1 0

, 0 0 1

(c)   

  

  

  

  

  

 4 2 4

, 2

2 3

, 2

1 2

(d)   

  

  

  

  

  

  

 4 2 4

, 2 1 2

, 2

1 2

(e)   

  

  

  

1 2 0

, 3 1 1

3. Descreva geometricamente o espaço gerado por cada um dos seguintes vetores no

exercício 2. 4. Determine se os vetores dados são ou não linearmente independente em R2 x 2.

(a)  

  

  

  

 00 10

, 11 01

(b)  

  

  

  

  

  

 01 00

, 00 10

, 10 01

docsity.com

(c)  

  

  

  

  

  

 20 32

, 00 10

, 10 01

5. Determine se os vetores dados são não linearmente independentes em P3.

1,2)(1,1,2)( 32,,,2)(2,,1)(

22

222

 

xxdxxxc xxxbxxa

6. Mostre que os vetores dados são linearmente i8ndependentes em C [0 , 1].

xxxxxxx eeedeeeec xxbxsenxa

2

2523

,,)(,,1)( ,)(,cos)(  



7. Determine se os vetores cos x, 1 , sen2 (x/2) são linearmente independentes em

  ,C .

8. Considere os vetores cos  x e sen x em   ,C . Para que valores de  os dois vetores vão ser linearmente dependentes? Interprete graficamente sua resposta.

9. Dadas as funções 2x e /x/ , mostre que:

(a) esses dois vetores são linearmente independentes em C[-1 , 1; (b) esses dois vetores são linearmente independentes em C [0 , 1].

10. Prove que qualquer conjunto finito de vetores contendo o vetor nulo tem que ser

linearmente dependente.

11. Sejam v1 e v2 dois vetores em um espaço vetorial V. Mostre que v1 e v2 são linearmente dependentes se e somente se um dos vetores é múltiplo do outro.

12. Prove que qualquer subconjunto não-vazio de um conjunto linearmente

independente de vetores {v1, ..., vn} também é linearmente independente.

13. Seja A uma matriz m x n. Mostre que, se os vetores colunas de A são linearmente independentes então N(A) = {0}.

(Sugestão: para todo nn n xxxR aaaAx,x 2211   )

14. Sejam x1, ..., xk vetores linearmente independentes em Rn e seja A uma matriz

invertível em m x n.Defina yi = Axi para i = 1, ..., k. Mostre que y1, ...,yk são linearmente independentes.

15. Seja {v1, ..., vn} um conjunto gerador para o espaço vetorial V e seja v um outro

vetor qualquer em V. Mostre que v, v1, ..., vn são linearmente independentes.]sejam

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v1, v2, ..., vn vetores linearmente independentes em um espaço vetorial V. Mostre que v2, ..., v, v1, ..., vn não podem gerar V.

Exercícios Base e dimensão:

1. Indique se os vetores dados no Exercício 1 da seção 3 formam ou não base para R2.

2. Indique se os vetores dados no Exercício 2 da seção 3 formam ou não uma base para R3.

3. Considere os vetores

 

  

 

 

  

 

  

 

3 7

, 3 4

, 1 2

321 xxx

(a) Mostre que x1 e x2 formam uma base para R2. (b) Por que x1, x2, x3 têm que ser linearmente dependente? (c) Qual a dimensão de [{x1, x2, x3}]?

4. Considere os vetores

  

  

 

  

  

 

  

  

 

8 4 6

, 4

2 3

, 4 2

3

321 xxx

Qual a dimensão de [{x1, x2, x3}]?

5. Considere

  

  

 

  

  

 

  

  

 

4 6 2

, 4 1

3 ,

3 1 2

321 xxx

(a) Mostre que x1, x2, x3 são linearmente dependentes. (b) Mostre que x1, x2 são linearmente independentes. (c) Qual a dimensão de [{x1, x2, x3}]? (d) Descreva geometricamente [{x1, x2, x3}].

6. Alguns dos conjuntos do exercício 2 da seção 2 formam subespaços de R3. em cada

um desses casos, encontre uma base para o subespaço e determine sua dimensão.

7. Encontre uma base para o subespaço S de R4 formado por todos os vetores da forma (a + b, a – b + 2c, b , c)T, onde a, b, c são números reais. Qual a dimensão de S?

8. Considere os vetores x1 = (1, 1, 1)T e x2 = (3, -1, 4)T.

(a) x1 e x2 geram R3? Explique.

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(b) Seja x3 um terceiro vetor em R3 e defina X = {x1, x2, x3}. Que condição (ou condições) X tem que satisfazer para que x1, x2, x3 formem uma base para R3?

(c) Encontre um terceiro vetor x3 que estenda o conjunto {x1, x2} a uma base para R3.

9. Os vetores

  

  

 

  

  

 

  

  

 

  

  

 

  

  

 

0 1 1

, 4 7 2

, 2 3 1

, 4 5 2

, 2 2 1

54321 xxxxx

Geram R3. Retire algum (ou alguns) elementos de {x1, x2, x3, x4, x5} de modo a obter uma base para R3.

10. Seja S o subespaço de P3 formado por todos os polinômios da forma ax2+bx+2a+3b.

Encontre uma base para S.

11. Alguns dos conjuntos do Exercício 3 da seção 2 formavam subespaços de R2 x 2. Em cada um desses casos, Encontre uma base para o subespaço e determine sua dimensão.

12. Encontre a dimensão o subespaço gerado por 1, cos 2x, cos2 x em C   , .

13. Encontre a dimensão do subespaço P3 gerado pelos vetores dados em cada um dos

itens a seguir. (a) x, x – 1, x2 + 1 (b) x , x – 1 , x2 + 1 , x2 – 1 (c) x2 , x2 – x – 1 , x + 1 (d) 2x , x – 2

14. 14. Seja S o subespaço de P3 formado por todos os polinômios p(x) satisfazendo p(0) = 0, e seja T o subespaço de todos os polinômios q(x) tais que q(1) = 0. encontre bases para

(a) S (b) T (c) TS

15. Seja U o subespaço de r4 formado pelos vetores da forma (u1, u2, 0, 0)T e seja V o subespaço de todos os vetores da forma (0, v2, v3, 0)T. quais as dimensões de U, V,

VU , U + V? Encontre uma base para cada um desses subespaços.

16. É possível encontrar um par de subespaços bidimensionais U e V de R3 tais que VU = {0}? Justifique sua resposta. Interprete geograficamente sua conclusão.

[Sugestão: sejam {u1, u2} e {v1, v2} bases para U e V, respectivamente; mostre que u1, u2, v1, v2 São linearmente dependentes.] Exercícios Mudança de base

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1. Para um dos itens a seguir, encontre a matriz que corresponde à mudança de base [U1, u2] para a base [e1, e2].

(a) u1 = (1, 1)T, u2 = (-1, 1)T (b) u1 = (1, 2)T, u2 = (2, 5)T (c) u1 = (0, 1)T, u2 = (1, 0)T

2. Para cada uma das bases coordenadas [u1, u2] no Exercício 1, encontre a matriz mudança de base de [e1, e2] para [u1, u2].

3. Sejam v1 = (3, 2)T e v2 = (4, 3)T. para cada uma das bases ordenadas [u1, u2] no

Exercício 1, encontre a matriz mudança de base de [v1, v2] para [u1, u2].

4. Seja E = [(5, 3)T, (3, 2)T] e sejam x = (1, 1)T, y = (1, -1)T e z = (10, 7)T. Encontre os vetores de coordenadas[x]E, [y]E e [z]E.

5. Sejam u1 = (1, 1, 1)T, u2 = (1, 2, 2)T e u3 = (2, 3, 4)T.

(a) Encontre a matriz mudança de base de [e1, e2, e3] para [u1, u2, u3]. (b) Encontre as coordenadas de cada um dos vetores a seguir em relação a [u1, u2,

u3].

(i) (3, 2, 5)T (ii) (1, 1, 2)T (iii) (2, 3, 2)T

6. Sejam v1 = (4, 6, 7)T, v2 = (0, 1, 1)Te v3 = (0, 1,2)T e sejam u1, u2 e u3 os vetores dados no Exercício 5.

(a) Encontre a matriz mudança de base de [v1, v2, v3] para [u1, u2, u3]. (b) Se x = 2v1 + 3v2 – 4v3 determine as coordenadas de x em relação a [u1, u2, u3].

7. Considere

 

  

 

2 1

1v ,  

  

 

3 2

2v ,  

  

 

 21

53 S

Encontre vetores w1 e w2 tais que S é a matriz mudança de base de [w1, w2] para [v1, v2].

8. Considere

 

  

 

6 2

1v ,  

  

 

4 1

2v ,  

  

 

12 14

S

Encontre vetores u1 e u2 tais que S é a matriz mudança de base de [v1, v2] para [u1, u2].

9. Sejam [x, 1] e [2x – 1 , 2x + 1] duas bases ordenadas para P2.

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(a) Encontre a matriz mudança de base que representa a mudança de coordenadas de [2x – 1, 2x + 1] para [x, 1].

(b) Encontre a matriz mudança de base que representa a mudança de coordenadas de [x, 1] para [2x – 1, 2x + 1].

10. Encontre a matriz mudança de base que representa a mudança de coordenadas em

P3 da base ordenada [1, x, x2] para a base ordenada [1, 1 + x, 1 + x + x2].

11. Seja E = [u1, ..., un] e F = [v1, ..., vn] duas bases ordenadas para Rn e defina

U = (u1, ..., un) e V = (v1, ..., vn) Mostre que a matriz mudança de base de E para F pode ser determinada calculando-se a forma escada reduzida por linhas de (U\V).

Exercícios Espaço linha e coluna:

1. Para cada uma das matrizes a seguir, encontre uma base para o espaço linha, uma base para o espaço coluna e uma base para o núcleo.

(a)   

  

874 412 231

(b)   

  

 

2483 2121

4313 (c)

  

  

 

6543 2312 1231

2. Em cada um dos itens a seguir, determine a dimensão do subespaço de R3 gerado

pelos vetores dados.

(a)   

  

 

  

  

 

  

  

 

6 3 3

, 4 2

2 ,

2 2

1 (b)

  

  

  

  

  

  

1 3 2

, 3 2 1

, 1 1 1

(c)   

  

 

  

  

 

  

  

  

  

 

3 1

2 ,

5 2

3 ,

4 2 2

, 2 1

1

3. Seja

  

  

 

958763 945542 413221

A

(a) Calcule a forma escada reduzida por linhas U de A. Quais os vetores colunas de U que

correspondem às variáveis livres? Escreva cada um desses vetores colunas como uma combinação linear dos vetores colunas correspondentes às variáveis líderes.

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(b) Quais os vetores colunas de A que correspondem as variáveis lideres de U? Esses vetores colunas formam uma base para o espaço coluna de A. Escreva cada um dos vetores colunas de A como uma combinação linear dos vetores dessa base.

4. Para cada uma das escolhas de A e b a seguir, determine se b pertence ao espaço

coluna de A e diga se o sistema Ax = b é ou não compatível.

(a) A =  

  

 42 21

, b =  

  

 8 4

(b) A =  

  

 21 63

, b =  

  

 1 1

(c) A =  

  

 43 12

, b =  

  

 6 4

(d) A =   

  

211 211 211

, b =   

  

3 2 1

(e) A =   

  

10 01 10

, b =   

  

2 5 2

(f) A =   

  

21 42 21

, b =   

  

5 10 5

5. Para cada um dos sistemas compatíveis no Exercício 4, examine os vetores colunas

da matriz de coeficientes para determinar se o sistema tem uma ou uma infinidade de soluções.

6. Quantas soluções os sistema Ax = b vai ter se b pertencer ao espaço coluna de A e

se os vetores colunas de A forem linearmente independentes? Explique.

7. Seja A uma matriz m x n com m > n. Seja b  mR e suponha que N(A) = {0}. (a) O que você pode concluir sobre os vetores colunas de A?Eles são linearmente

independentes? Eles geram mR ? Explique. (b) Quantas soluções o sistema Ax = b vai ter se b não pertencer ao espaço coluna de A?

Quantas soluções o sistema vai ter se b pertencer ao espaço coluna de A? Explique.

8. Sejam A e B matrizes 6 X 5. Se dim N(A) = 2, qual o posto de A? Se o posto de B for 4, qual vai ser a dim N(B)?

9. Sejam A e B matrizes equivalentes por linhas.

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(a) Mostre que a dimensão do espaço coluna de A é igual a dimensão do espaço coluna de B. (b) Os espaços colunas de A e B são necessariamente iguais? Justifique sua resposta.

10. Prove que um sistema linear Ax = b e compatível se e somente se o posto de (A/b) éigual ao posto de A.

11. Seja A uma matriz m x n.

(a) Se B é uma matriz m x m invertível, mostre que BA e A têm o mesmo núcleo e, portanto,

o mesmo posto. (b) Se C e uma matriz n x n invertível, mostre que AC e A tem o mesmo posto.

12. Prove o Corolário 3.6.3.

13. Suponha que A e B são matrizes m x n com a propriedade de que Ax = Bx para todo x  nR . Mostre que:

(a) N(A -B) = nR ; (b) A — B têm que ter posto nulo e, portanto, A = B.

14. Sejam A e B matrizes n x n. Mostre que AB = O se e somente se o espaço coluna de B e um subespaço do núcleo de A.

15. Sejam A  Rm xn, b  mR e x0 uma solução particular do sistema Ax = b. Prove

as afirmações a seguir. (a) Um vetor y em nR é uma solução de Ax = b se e somente se y = x0 + z, onde zN(A). (b) Se N(A) = (0), então a solução x0 é única.

16. Sejam x e y vetores não-nulos em Rm e nR ,respectivamente, e seja A = xyT. (a) Mostre que [x| é uma base para o espaço coluna de A e que {yT}é uma base para o espaço linha de A. (b) Qual a dimensão de N(A)?

17. Sejam A e Rm x r, B Rn x r e C = AB. Mostre que: (a) O espaço coluna de C e um subespaço do espaço coluna de A; (b) O espaço linha de C é um subespaço do espaço linha de B; (c) Posto(C)  min{posto(A), posto(B)}.

18. Sejam A  Rm xn, B Rn x r e C = AB. Mostre que: (a) Se ambos A e B têm vetores colunas linearmente independentes, então os vetores

colunas de C também são linearmente independentes.

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(b) Se ambos A e B têm vetores linhas linearmente independentes, então os vetores linhas de C também são linearmente independentes.

[Sugestão:aplique a parte (a) a CT]

19. Sejam A Rn x r, B Rn x r e C = AB. Mostre que: (a) Se os vetores colunas de B são linearmente dependentes, então os vetores colunas de C

também são linearmente dependentes. (b) Se os vetores linhas de A são linearmente dependentes, então os vetores linhas de C

também são linearmente dependentes. [Sugestão: aplique a parte (a) a CT.]

20. Dizemos que uma matriz A m x n tem uma inversa à direita se existe uma matriz C

n x m tal que AC = Im. Dizemos que A tem uma inversa à esquerda se existe uma matriz D n x m tal que DA = In.

(a) Mostre que, se A tem inversa à direita, então os vetores colunas de A geram Rm. (b) É possível para uma matriz m x n ter uma inversa à direita se n < m? E se n m?

Explique.

21. Prove que, se A é uma matriz m xn tal que os vetores colunas de A geram Rm, então A tem uma inversa à direita.

[Sugestão: denote por ej a j-ésima coluna de Im e resolva. Ax = ej para j= 1, ...,m.]

22. Mostre que uma matriz B tem inversa à esquerda se e somente se BT tem inversa à direita.

23. Seja B uma matriz n x m cujas colunas são linearmente independentes. Mostre que

B tem inversa à esquerda.

24. Prove que, se uma matriz B tem inversa à esquerda, então as colunas de B são linearmente independentes.

25. Se uma matriz U esta em forma escada, então os vetores linhas não-nulos formam

uma base para o espaço linha de U.

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