Estabilidade dinâmica de equilíbrio - Apostilas - Ciencias Contábeis, Notas de estudo de Contabilidade. Universidade São Marco (UNIMARCO)
Maracana85
Maracana856 de Março de 2013

Estabilidade dinâmica de equilíbrio - Apostilas - Ciencias Contábeis, Notas de estudo de Contabilidade. Universidade São Marco (UNIMARCO)

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Apostilas de Contabilidade sobre o estudo da estabilidade dinâmica de equilíbrio, o significado, o papel, convergencia ao equilibrio.
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CURSO DE CONTABILIDADE E AUDITORIA

CADEIRA DE MATEMATICA II

Trabalho de Pesquisa

Estabilidade Dinâmica de Equilíbrio

Indice

Introdução..............................................................................................................................3

1. Estabilidade dinâmica de equilíbrio................................................................................4

2.1 O significado de b....................................................................................................4

2.2 O papel de A.............................................................................................................5

2.3 Convergencia ao equilibrio.......................................................................................6

2. Estabilidade de ponto fixo.................................................................................................8

3. Estabilidade do tipo estrutural..........................................................................................10

4. Ciclo limite e a estabilidade..............................................................................................12

Conclusao.................................................................................................................................14

Bibliografia...............................................................................................................................15

INTRODUÇÃO

Existem dois conceitos de estabilidade na Teoria de Equações Diferenciais:

Estabilidade de uma solução estacionária ou estabilidade de um ponto fixo.

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Estabilidade do tipo estrutural do Sistema de EDO’s.

No presente trabalho, iremos abordar em torno da Estabilidade Dinâmica de Equilíbrio, o significado de b, o papel de A, convergencia ao equlibrio, a estabilidade do ponto fixo, a estabilidade do tipo estrutural e tambem o ciclo limite e a estabilidade. O tabalho está estruturado em partes, sendo que cada uma delas trata dos assuntos acima referenciados.

1. Estabilidade Dinâmica de Equilíbrio

No caso de tempo continuo, a estabilidade Dinâmica do equilíbrio depende do termo Aert na funçao complementar do periodo, o papel correspondente é desempenhado pelo termo Abt .

1.1 O significado de b

O facto de o equlibrio ser dinâmicamente estável é uma questao de a funçao complementar tender ou nao a zero a medida que t tende para o ∞. Basicamente deve se analisar a traject]oria do termo Abt quando t aumenta indefinidamente. E obvio que o valor de b( a base desse termo exponencial) é de crucial importancia nessa questao. Vamos em primeiro lugar , considerar apenas seu significado, despresando o coeficiente A, isto é, supondo que A=1.

Para finalidades analiticas, podemos dividir a faixa dos valores possíveis de b,(-∞,+∞) em sete regiões distintas, como mostram as duas primeiras colunas da tabela 1 que apresentaremos posteriormente, arranjadaas em ordem descendentes de grandeza de b, essas regiões também sao demarcadas na figura 1 apresentada posteriormente. Sobre uma escala vertical de b, sendo os pontos +1,0 e -1 os pontos de demarcaçao. Esses últimos tres pontos constituem por si as regiões II,IV e VI. As regiões III e V por outro lado correspondem ao conjunto dos valores absolutos menores que a unidade que sao, respectivamente positivos e negativos.

As duas regiões restantes, I e VII sao as regiões onde o valor absoluto de b é maior que a unidade.

Em cada região, a expressao exponencial bt gera um tipo diferente de trajectória temporal. Esses tipos são exemplificados na tabela 1 e na figura 1. Na região I onde b>1, bt deve crescer com t a um passo crescente. Portanto, a configuraçao geral da trajectoria temporal, assuimirá a forma do gráfico na parte superior da figura 1, gráfico esse que é mostrado como uma funçao escalonada e nao como uma curva suave, isso porque estamos tratando com análise de período.

Na região II, onde b=1, bt permanecerá na unidade para todos os valores de t, por isso, seu gráfico será uma recta horizontal, em seguida, na região III, bt representa um numero positivo menor que a unidade elevado a potências inteiras. Á medida que a potência aumenta, bt deve decrescer, embora permanecendo sempre positiva.

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O caso seguinte de b=o na regiaso IV, é bastente similar ao caso de b=1, mas, aqui temos que bt=0 em vez de bt=1, portanto, seu grafico coincidirá com o eixo horizontal. Contudo, esse caso é de interresse periférico apenas, ja que adoptou se anteriormente a premissa de que Abt≠0.

Quando passamos para as regiões negativas ocorre um novo fenómeno interessante: o valor de bt se alterna entre valores positivos e negativos de período a periodo. Esse facto, é claramente evidenciado nas 3 últimas linhas da tabela e nos 3 ultimos graficos da figura. Na região V, onde b é um número negativo com módulo menor que 1, a trajectória temporal alternante tende a se aproximar cada vez mais do eixo horizontal.

Por outro lado, quando b=-1( região VI) resulta uma alternancia perpetua entre +1 e -1. E finalmente, quando b<-1(regiãoVII) a trajectória temporal alternate se afastará cada vez mais do eixo horizontal.

O surpreendente é que, enquanto nao haja nenhuma possibilidade de o fenómeno de uma trajectória temporal flutuante se origianar de um único termo Aert a flutuaçao pode ser gerada por um único termo bt ou Abt. Entretanto, note que o caracter da flutuaçao é um pouco diferente, ao contrário do padrao da funçao circular, a flutuaçao retratada na figura 1 nao é suave. Por essa razao, empregaremos a palavra oscilaçao para denotar o novo tipo de flutuaçao e oscilaçao indiferentemente.

A essencia da discussao precedente pode ser transmitida no seguinte enunciado geral: a trajectória temporal de bt(b≠0) será:

Nao oscilatoria se b>0

Oscilatoria se b<0

Divergente se |b|>1

Convergente se |b|<1

| Valor de bt em diferentes periodos de tempo |

Região | Valor de b | | Valor de bt | t=0 | t=1 | t=2 | t=3 | t=4... |

I | b>1 | (|b|>1) | 2t | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |

II | b=1 | (|b|=1) | 1t | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |

III | 0<b<1 | (|b|<1) | (1/2)t | 1 | ½ | ¼ | 1/8 | 1/16 |

IV | b=0 | (|b|=1) | 0t | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

V | -1<b<0 | (|b|<1 | (-1/2)t | 1 | -1/2 | ¼ | -1/8 | 1/16 |

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VI | b=-1 | (|b|=1 | -1t | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 |

VII | b<-1 | (|b|>1) | -2t | 1 | -2 | 4 | -8 | 16 |

Tabela 1

1.2 O papel de A

Até aqui, omitimos deliberadamente a constant multiplicative A. Masi seus efeitos-e há dois deles- sao relativamente fáceis de levar em conta. Em primeiro lugar, a gandeza A pode servir para ampliar( se digamos, A=3),ou reduzir( se digamos que A=1/5), os valores de bt. Isto é, ela pode reduzir um efeito de escala sem mudar a configuraçao básica da trajectória temporal. O sinal de A, por outro laado afecta materialmente a forma da trajectória porque se bt for multiplicado por A=-1, entao cada trajectória temporal mostrada na figura 1, será substituida por sua prória imagem especular com referencia ao eixo horizontal. Assim, um A negativo pode produzir um efeito de espelho bem como um efeito de escala.

1.3 Convergencia Ao Equilibrio

A discussao anterior, apresenta a interpretaçao do termo Abt na funçao complementar, a qual como recordamos, representa os desvios em relaçao a algum nível de equilibrio intertemporal. Se um termo, digamos, yp=5 for acrescentado ao termo Abt, a trajetória temporal deve ser deslocada na vertical por um valor constante de 5. Isso, afetará de modo algum, a convergencia ou a divergencia da trajetória temporal, mais alterará o nível que serve como referencia para a medida da convergencia ou da divergencia. A figura 1 retrata a convergencia ou falta dela, da expressao Abt em relaçao á zero.

Quando yp é incluído passa a ser uma questao da convergencia da trajetória temporal yt= yc + yp em relaçao ao nível de equilibrio yp.

Com relaçao a isso, vamos acrescentar algumas palavras de explicaçao para o caso especial de b=1, uma trajetória temporal tal como:

yt=A(1)t + yp= A +yp

da a impressao de convergir, porque o termo multiplicativo 1t=1 nao produz nenhum efeito explosivo.

Observa se porém que o yt agora assuimirá o valor de A+yp, e nao o valor de equilíbrio yp, na verdade, ele nunca pode alcançar yp( a menos que A=0). Como uma ilustracao desse tipo de situaçao, podemos citar a trajetória temporal na qual está envolvido um equilíbrio móvel yp=ct. Essa trajetória temporal deve ser considerada divergente nao porque t aparece na soluçao

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particular, mas porque, com um A diferente de zero, haverá um desvio constante em relaçao ao equlibrio móvel. Assim, ao estipular a condiçao para a convergencia da trajetória temporal yt ao equilibrio yp deve se excluir o caso de b=1.

Em suma, a soluçao yt=Abt + yp, é uma trajetória convergente se e só se |b|<1.

Fig 1

Fig 1

Valor de B

Regiao

Configuraçao de bt

Valor de B

Regiao

Configuraçao de bt

1 Estabilidade de Ponto Fixo

Seja o sistema de EDO’s

(1)

de modo que, se , então é um ponto crítico do sistema (1). O ponto crítico é uma solução estacionária.

Definição de Estabilidade do tipo assintoticamente estável.

“O ponto fixo é assintoticamente estável se a resposta do sistema a uma pequena perturbação, na condição inicial em torno de , aproxima-se de quando . Um ponto assintoticamente estável é chamado também de atrator ou sorvedouro.”

Graficamente, a evolução de uma condição em torno de um ponto crítico assintoticamente estável tem a forma:

fig 2

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onde é ponto estável e é condição inicial próxima de .

Graficamente, o retrato de fases em torno de um ponto assintoticamente estável tem a forma:

fig 3

Comentário: O ponto do oscilador amortecido é assintoticamente estável.

Definição de Estabilidade do tipo estável.

“O ponto é chamado estável, ou de estabilidade neutra, ou estabilidade tipo Lyapunov, se a resposta do sistema a uma pequena perturbação da condição inicial permanece pequena quando . Este ponto é chamado também de ponto fonte ou repulsor.”

Graficamente, a evolução de um ponto crítico próximo de um ponto de estabilidade neutra tem a forma:

fig 4

Graficamente, o retrato de fases em torno de um ponto de estabilidade neutra tem a forma:

fig 5

Comentário 1: Os conceitos de estabilidade são locais.

Comentário 2: O conjunto de condições que converge para um dado atrator é chamado de bacia de atração. No caso do oscilador fracamente amortecido:

.

fig 6

2 Estabilidade do Tipo Estrutural

A estabilidade assintótica e a de Lyapunov estudam a estabilidade sob perturbações nas condições iniciais. A estabilidade estrutural investiga a robustez do retrato de fases sob perturbações do campo vetorial completo, ou seja, perturbações no sistema de EDO’s.

Definição de Estabilidade Estrutural.

“Um sistema é denominado estruturalmente estável se para qualquer perturbação suficientemente pequena das EDO’s que o define, o fluxo (trajetórias) resultante é topologicamente equivalente àquela das EDO’s sem perturbação.”

Definição Formal de Estabilidade Estrutural.

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“Dados dois campos vetoriais

e

com , definidos no mesmo espaço vetorial, dizemos que estes campos estão na mesma vizinhança de raio se

para cada . Diz-se que e são -próximos na topologia (campos vetoriais contínuos) e e são topologicamente equivalentes.”

Definição Alternativa de Estabilidade Estrutural.

“Dois campos e são topologicamente equivalentes se existir uma função inversível que transforme o retrato de fases de no retrato de fases de .”

Definição Definitiva de Estabilidade Estrutural.

“Um sistema é estruturalmente estável se os campos vetoriais suficientemente próximos têm retratos de fases topologicamente equivalentes.”

Comentário: A perda da estabilidade estrutural é denominada “ponto de bifurcação”.

3 Ciclo Limite e a Estabilidade

No caso do oscilador de Van der Pol, vimos que o atrator não era um ponto, mas curvas fechadas (ciclos imites).

Retrato de fases de Van der Pol:

fig 7

Teorema de Poincaré-Beindxson.

“Seja um domínio finito do espaço de fase que não contém pontos críticos (pontos fixos) e do qual não partem trajetórias, então contém um ciclo limite.”

Conclusão

Apresentamos neste documento um conjunto de apontamentos que servem de base à cadeira

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MtematicaII do 1º ano da licenciatura de Contabilidade e Auditoria. Na exposição dos temas procurou-se um equilíbrio entre a abordagem quantitativa, baseada na resolução de equações às diferenças e a abordagem qualitativa das soluções, mais avançada, mas mais importante.

O mundo é intrinsecamente não linear e complexo. Daí que, quando se analisa um fenómeno real através de equações às diferenças não é geralmente possível obter expressões em "forma fechada"das soluções, i.e., expressões analíticas envolvendo funções simples e transcendentais que representem a solução de uma equação às diferenças. Nestes casos a bordagem quantitativa é completamente inútil.

BIBLIOGRAFIA

* CHIANG,Alpha C.;WAINWRIGHT,Kevin; Matematica para Economistas, traducao da 4ª ediçao, campus Elsevier.

* BARBOSA, Fernando de Holanda, Macroeconomia, Porto editora, Lisboa

* PISKOUNOV, N. (1992) Cálculo Diferencial e Integral, Vol. II, Edições Lopes da Silva.

* COSTA, F. (1998) Equações Diferenciais Ordinárias, Instituto Superior Técnico.

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