Euclides de Alexandria - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
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Carnaval20006 de Março de 2013

Euclides de Alexandria - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo de Euclides de Alexandria, os treze livros.
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Trabalho de Matematica

– Introdução

Euclides de Alexandria foi um professor matemático platônico grego, muitas vezes referido como “Pai da Geometria”. Nosso trabalho vai falar sobre sua vida, suas obras e todo o seu conhecimento.

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II – Desenvolvimento

Pouco se sabe sobre a vida e a personalidade de Euclides e se desconhece a data de seu nascimento. Euclides escreveu cerca de uma dúzia de tratados, cobrindo tópicos desde ópticas, astronomia, musica e mecânica, até um livro sobre secções cônicas. Porém mais da metade do que ele escreveu seu perdeu. Entre as obras que sobreviveram ate hoje temos: Os Elementos, Os Dados, Divisão de Figuras, Os Fenômenos e Ópticas. Os Elementos de Euclides não tratam apenas da geometria, mas também de teoria dos números e álgebra elementar (geométrica). Euclides nasceu na Síria e estudou em Atenas. E provável que sua formação matemática tenha se dado na escola platônica de Atenas. Foi um dos primeiros geômetras e é reconhecido como um dos matemáticos mais importantes da Grécia Clássica e de todos os tempos. Sabe-se que foi chamado para ensinar matemática na escola criada por Ptolomeu Soter, em Alexandria, mais conhecida por “Museu”. Então alcançou grande prestigio pela forma brilhante como ensinava geometria e álgebra, conseguindo atrair para suas lições um grande numero de discípulos. Diz-se

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que tinha grande capacidade e habilidade de exposição e algumas lendas caracterizam-no como um bondoso velho.

Os Treze Livros:

Os livros I-IV tratam de geometria plana elementar. Partindo das mais elementares propriedades de retas e ângulos conduzem à congruência de triângulos, à igualdade de áreas, ao teorema de Pitágoras (livro I, proposição 47) e ao seu recíproco (livro I, proposição 48), à construção de um quadrado de área igual à de um retângulo dado, à secção de ouro, ao círculo e aos polígonos regulares. Oteorema de Pitágoras e a secção de ouro são introduzidos como propriedades de áreas.

Como a maioria dos treze livros, o livro I começa com uma lista de Definições (23, ao todo) sem qualquer comentário como, por exemplo, as de ponto, reta, círculo, triângulo, ângulo, paralelismo e perpendicularidade de retas tais como:

* "um ponto é o que não tem parte",

* "uma reta é um comprimento sem largura"

* "uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura".

A seguir às definições, aparecem os Postulados e as Noções Comuns ou Axiomas, por esta ordem. Os Postulados são proposições geométricas específicas. "Postular" significa "pedir para aceitar". Assim, Euclides pede ao leitor para aceitar as cinco proposições geométricas que formula nos Postulados:

1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une;

2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta;

3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;

4. Todos os ângulos retos são iguais;

5. Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos

(É este o célebre 5º Postulado de Euclides)

Assim, três conceitos fundamentais - o de ponto, o de reta e o de círculo - e cinco postulados a eles referentes, servem de base para toda a geometria euclidiana.

O livro V apresenta a teoria das proporções de Eudoxo (408 a. C. - 355 a. C.) na sua forma puramente geométrica e

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O livro VI aplica-a à semelhança de figuras planas. Aqui voltamos ao teorema de Pitágoras e à secção de ouro (livro VI, proposições 31 e 30), mas agora como teoremas respeitantes a razões de grandezas. É de particular interesse o teorema (livro VI, proposição 27) que contém o primeiro problema de máxima que chegou até nós, com a prova de que o quadrado é, de todos os retângulos de um dado perímetro, o que tem área máxima.

Os livros VII-IX são dedicados à teoria dos números tais como a divisibilidade de inteiros, a adição de séries geométricas, algumas propriedades dos números primos e a prova da irracionalidade do número . Aí encontramos tanto o algoritmo de Euclides, para achar o máximo divisor comum entre dois números, como o teorema de Euclides, segundo o qual existe uma infinidade de números primos (livro IX, proposição 20).

O livro X, o mais extenso de todos e muitas vezes considerado o mais difícil, contém a classificação geométrica de irracionais quadráticos e as suas raízes quadráticas.

Os livros XI-XIII ocupam-se com a geometria sólida e conduzem, pela via dos ângulos sólidos, aos volumes dos paralelepípedos, do prisma e da pirâmide, à esfera e àquilo que parece ter sido considerado o clímax - a discussão dos cinco poliedros regulares (platônicos) e a prova de que existem somente estes cinco poliedros regulares.

Considerações Finais:

Ao escrever os Elementos, Euclides pretendia reunir num texto três grandes descobertas do seu passado recente: a teoria das proporções de Eudoxo, a teoria dos irracionais de Teeteto (417 a. C. - 369 a. C.) e a teoria dos cinco sólidos regulares, que ocupava um lugar importante na cosmologia de Platão.

Euclides compilou nos Elementos toda a geometria conhecida na sua época. Mas, não se limitou a reunir todo o conhecimento geométrico, ordenou-o e estruturou-o como ciência. Isto é, a partir de uns axiomas desenvolveu e demonstrou os teoremas e proposições geométricas, dando novas demonstrações quando as antigas não se adaptavam à nova ordem que havia dado às proposições. Além disso, esmiuçou a fundo as propriedades das figuras geométricas, das áreas e dos volumes e estabeleceu o conceito de lugar geométrico.

III – Conclusão

Concluímos então que Euclides não foi só importante na matemática antiga, mas também na matemática moderna, porque sem ele nada seria possível em todas as áreas, pois a matemática esta presente na ciência, física etc.

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Bibliografia:

www.matematica.br/historia/euclides.html

www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/euclides.htm

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