Exercicio Espaço Vetorial, Exercícios de Álgebra Linear. Universidade Estácio de Sá (Estácio)
jorge_luis_lobo
jorge_luis_lobo16 de Setembro de 2015

Exercicio Espaço Vetorial, Exercícios de Álgebra Linear. Universidade Estácio de Sá (Estácio)

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Questões de Espaços Vetoriais Segunda Prova de ALG II – EPS – 21 de maio de 2003

1) Verifique se os conjuntos dados, com as operações dadas formam um espaço vetorial sobre os reais. Justifique a sua resposta e, em caso positivo, exiba uma base e a dimensão:

A) O conjunto da matrizes M2x2; com a soma usual e a multiplicação dada por m a b c d

= ma mb c d

B) O conjunto dos polinômios de grau F 0 A 3 3 cujos gráficos “passam por (0,0)”; com as operações usuais.

2) Considere V = { [ x , y , z ] F 0 C E F 0 C 2³, x – y + 3z = 0 } e W = { [ x , y , z ] F 0 C E F 0 C 2³, y = 5x } Determine uma base para V + W e uma para V F 0 E CF 0 F CW.

3) Verifique se são L I : { [ 1 , -2 , 5 ] , [ 4 , -2 , 7 ] , [ 3 , 0 , 2 ] , [ 5 , 2 , -1 ] }. Caso negativo, extraia deste conjunto um subconjunto L I . Em qualquer caso, apresente o subespaço gerado.

4) De quantas maneiras é possível escrever a matriz -5 0 0 8 como combinação linear das matrizes

1 0 0 1

, 0 3 0 2

e 3 0 -1 0

? Apresente uma delas, se possível.

5) ConsidereB1 = { x ,,} e B2 = { x – 3,2x² + x³ , x – x² }, bases de um Espaço Vetorial P. Encontre a matriz que serve para mudar as coordenadas de um polinômio em P, de B1 para B2 . Apresente um pequeno exercício capaz de ser resolvido usando esta matriz. Resolva-o.

Gabarito: 1. A) NÃO é Espaço Vetorial, pois falha a distributividade: (m + n) a b

c d = m a b

c d + n a b

c d

Realmente, (m+n) a (m+n) b c d

F 0 B 9m a m b c d

+ n a n b c d

B) É Espaço Vetorial, pois: P = { ax + bx² + c , a, b, c reais } F 0 C C P3 = Espaço Vetorial dos polinômios de grau F 0 A 3 3; (ax + bx² + c) + (ex + fx² + g) = (a+e)x + (b+f)x² + (c+g)F 0 C E P e m(ax + bx² + c) = (ma)x + (mb)x² + (mc)F 0 C E P.

Uma BASE de P pode ser : B = { x ,,} e portanto de DIMENSÃO = 3

2) v F 0 C E V F 0 D E v = [x , 2x +3z , z] = [x , 2x , 0] + [0 , 3z , z] = x[1 , 2 , 0] + z [0 , 3 , 1] F 0 5 CV = [ [1 , 2 , 0] , [0 , 3 , 1] ] (Vé gerado por [1 , 2 , 0] e [0 , 3 , 1]).

w F 0 C E W F 0 D E w = [x , 5x , z] = [x , 5x , 0] + [0 , 0 , z] = x[1 , 5 , 0] + z [0 , 0 , 1] F 0 5 CW = [ [1 , 5 , 0] , [0 , 0 , 1] ] (Wé gerado por [1 , 5 , 0] e [0 , 0 , 1]).

F 0 5 CV +W = [[1 , 2 , 0] , [0 , 3 , 1] , [1 , 5 , 0] , [0 , 0 , 1] ] . Como, certamente, {[1 , 2 , 0] , [0 , 3 , 1] , [1 , 5 , 0] , [0 , 0 , 1] }não é L I (4 vetores doF 0 C 2³ ), uma base para V +W = F 0 C 2³ é { [0 , 3 , 1] , [1 , 5 , 0] , [0 , 0 , 1] }que é L I.

u F 0 C E V F 0 E CF 0 F CW F 0 D E u = [x , y , z], y = 2x +3z e y = 5x F 0 D E 2x +3z = 5x F 0 D E 3z = 3x F 0 D E z = x u = [x , 5x , x ] = x[1 , 5 , 1] F 0 5 C V F 0 E CF 0 F CW = [ [1 , 5 , 1] ] F 0 D E Uma base paraV F 0 E CF 0 F CW é{ [1 , 5 , 1] }.

3) Certamente, {[ 1 , -2 , 5 ] , [ 4 , -2 , 7 ] , [ 3 , 0 , 2 ] , [ 5 , 2 , -1 ] }NÃO é L I (4 vetores doF 0 C 2³ ), Consideremos a seguinte combinação linear nula: a [ 1 , -2 , 5 ] + b [ 4 , -2 , 7 ] + c[ 3 , 0 , 2 ] + d[ 5 , 2 , -1 ] = [ 0 , 0 , 0 ] Isto gera o seguinte sistema de equações lineares (na forma de matriz):

a b c d a b c d 1 4 3 5 0 1 4 3 5 0 -2 -2 0 2 0 Triangularizando : 0 1 1 2 0 5 7 2 -1 0 0 0 0 0 0

Portanto, para termos apenas a solução nula, devemos desconsiderar os 2 vetores, coeficietes de c e de d. Assim temos o seguinte subconjunto L I : {[ 1 , -2 , 5 ] , [ 4 , -2 , 7 ] }.

O espaço gerado = [[ 1 , -2 , 5 ] , [ 4 , -2 , 7 ] , [ 3 , 0 , 2 ] , [ 5 , 2 , -1 ] ]= [[ 1 , -2 , 5 ] , [ 4 , -2 , 7 ]]= = {a [ 1 , -2 , 5 ] + b [ 4 , -2 , 7 ], aeb reais } = {[a + 4b , –2a – 2b , 5a + 7b ] , aeb reais }, que é o plano que passa pela origem, paralelo aos vetores não coplanares [ 1 , -2 , 5 ] e[ 4 , -2 , 7 ]. Ainda, podemos apresentar este plano na forma geral : 4x – 13 y – 6z = 0, ou seja: O espaço gerado = { [ x , y , z ] F 0 C E F 0 C 2³, 4x –13 y – 6z = 0 }

4) De NENHUMA maneira, pois estas 4 matrizes são L I.

Ou, então, a 1 0 0 1

+ b 0 3 0 2

+ c 3 0 -1 0

= -5 0 0 8 resulta na matriz ampliada:

a b c a b c 1 0 3 -5 1 0 3 -5 0 3 0 0 Triangularizando : 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 1 2 0 8 0 0 0 13 F 0 D E Sistema impossível

5) A matriz que serve para mudar as coordenadas de um polinômio emP, de B2 para B1 é mais fácil:

= 1 0 1 0 2 -1

-3 1 0 Portanto, a sua inversa será

= 1/7 1/7 -2/7 3/7 3/7 1/7 6/7 –1/7 2/7

Como exemplo, poderíamos: Dado o polinômio p = 2x – x² + 5F 0 C E P, escrevê-lo na base B2.

Solução:= 2 -1 5

F 0 D E = 2 -1 5

= 1/7 1/7 -2/7 3/7 3/7 1/7 6/7 –1/7 2/7

. 2 -1 5

= -9/7 8/7

23/7 ================================================================================== Outros Exercícios

6) “O conjunto das matrizes 4x2 com algum elemento nulo forma um espaço vetorial sobre os reais, com as operações usuais entre matrizes”. Falso ou verdadeiro? Justifique a resposta.

7) Considere P5 = conjunto dos polinômios de grau F 0 A 3 5. Apresente 3 subespaços vetoriais de dimensões diferentes, com suas respectivas bases.

8) Considere V = Conjunto de todos os polinômio pares de grau F 0 A 3 4.

W = Conjunto de todos os polinômio ímpares de grau F 0 A 3 3. Apresente dois elementos de V, LI

e dois elementos de W, LI. Mostre que V e W são subespaços vetoriais de P4 = Pol. grau F 0 A 3 4.

9) Apresente três sub-espaços vetoriais de R³, de dimensões diferentes.

10) Escreva o vetor v = [ 5 , 0 , -8 ] como combinação linear dos vetores: v1 = [ 1 , 0 , 1 ] v2 = [ 0 , 0 , 2 ]

De quantas formas é possível fazer isto ? v3 = [ 3 , 0 , 0 ]

11) Escreva a matriz -5 0 1 8

como combinação linear das matrizes 1 0 0 1

, 0 1 2 0

, 0 0 3 2

e 3 0 0 0

12) Escreva a matriz -5 0 0 8

como combinação linear das matrizes 1 0 0 1

, 0 0 0 2

e 3 0 0 0

De quantas maneiras isto é possível ?

13) Seja P = conjunto de todos os polinômios de grau F 0A 3 3, que têm x = 5 como uma das raízes. a) P é um espaço vetorial com as operações usuais de polinômios ? b) Se SIM, apresente uma base . Qual a dimensão ? c) Se NÃO, justifique.

14) M2 é o espaço vetorial gerado pelo conjunto B ={ 1 0 0 0

, 0 0 1 0

, 0 0 0 1

, 0 1 0 0

}

a) Mostre que C ={ 1 0 1 0

, 0 0 1 1

, 0 1 0 1

, 1 1 0 0

} também é uma base para M2.

b) Quais as matrizes que servem para mudar da base B para C e vice-versa ?

15) Quais os subespaços vetoriais de F 0C 2² ? dê uma base de cada.

16) Considere T3 = conjunto das Matrizes Triangulares 3x3 (elementos nulos abaixo da diagonal principal). a) T3 é um Espaço Vetorial com as operações usuais entre matrizes ? b) Se SIM, apresente uma base para T3 e dois subespaços diferentes, sem ser T3 , nem {0}. c) Se NÃO, mude um pouco a definição de T3para que seja um Espaço Vetorial .

Resposta:T3 = conjunto das Matrizes Triangulares 3x3 a) SIM , T3 é um Espaço Vetorial com as operações usuais entre matrizes.

b) Uma base para T3 = { 1 0 00 0 0 0 0 0

, 0 1 0 0 0 0 0 0 0

, 0 0 1 0 0 0 0 0 0

, 0 0 0 0 1 0 0 0 0

, 0 0 0 0 0 1 0 0 0

, 0 0 0 0 0 0 0 0 1

} Dois subespaços de T3 : S1 = Conjunto das Matrizes Diagonal 3x3

S2 = Conjunto das Matrizes Triangulares 3x3, cuja soma da diagonal é nula

17) De quantas maneiras isto é possível escrever o polinômio x4 + 6x2 + 7 como combinação linear dos polinômios x4 – 2x2, 2x2 – 3, x4 – 2 e x² + 1 ?. Escreva uma delas, se possível.

Resposta: Trata-se dos polinômios pares de grau menor ou igual que 2. Portanto, temos um espaço vetorial e uma das bases é { 1, x² , x4}. Logo a sua dimensão é 3. Assim, { x4 – 2x2, 2x2 – 3, x4 – 2 , x² + 1 } não é uma base (tem 4 elementos). Descartamos 1 só maneira. Como x4 + 6x2 + 7 = 2( x4 – 2x2 ) +1( 2x2 – 3) + -1( x4 – 2)+ 8( x² + 1), podemos fazer infinitas combinações lineares do tipo x4 + 6x2 + 7 = a( x4 – 2x2 ) +b( 2x2 – 3) + c( x4 – 2)+ d( x² + 1).

Isto também pode ser constatado, resolvendo o sistema: a + c = 1 -2 a + 2 b + d = 6 -3b – 2c + d = 7 F 0E 8 Indeterminado

18) Seja P = conjunto dos polinômios de grau F 0A 3 4, que têm a segunda derivada nula na origem. a) P é um espaço vetorial com as operações usuais de polinômios ? b) Se SIM, apresente uma base . Qual a dimensão ? c) Se NÃO, justifique.

Resposta: a) Pé um espaço vetorial com as operações usuais de polinômios. b) Uma base: B = { x4 , x3 , x , 1 }. A dimensão = 4.

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