Exercícios de Cálculo I, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval200013 de Março de 2013

Exercícios de Cálculo I, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo do calculo.
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01. Seja 0

( ) ( ) x

g x f t dt  , onde f é a função cujo gráfico

está mostrado.

(a) Calcule (0)g , (1)g , (2)g , (3)g e (6)g .

(b) Em que intervalos de g está crescendo?

(c ) Onde g tem um valor máximo?

(d) Faça um esboço do gráfico de g.

02. Determine:

(a) 2 2

1 1

1 x dx

x

    

   (b)

sen 2

sen

x dx

x

(c) 7

2

31

5y y dy

y

  (d)  

2

1 2x x dx

 

03. Calcule a integral fazendo a substituição dada.

(a) 4

, 1 6 (1 6 )

dt u t

t  

 (b) sen .cos , sene d u   

04. Calcule a integral indefinida.

(a)   x dx

35 (b)  

dx x

xtg 2

1

1 (c)  dxxsen

x 2

cos

(d)  dxx x

2

)/cos(

(e) 

dx

x

x

1

2

(f)   dxxx 1 23

05. Calcule a integral definida.

(a) dxxe x 

1

0

2

(b) dx x

e x

 2

1

2

/1

(c) 

4

ln

e

e x

dx

06. Calcule dxxx 



2

2

24)3( escrevendo-a como uma

soma de duas integrais e interpretando uma dessas

integrais em termos de uma área.

07. Se f for contínua e 4)(

9

0

 dxxf , encontre

 3

0

2)( dxxxf .

08. Se f for contínua em , demonstre que

 



a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

Para o caso onde 0)( xf e ba 0 , faça um diagrama

para interpretar geometricamente essa equação como uma

igualdade de áreas.

09. Se f for contínua em , demonstre que

 



cb

ca

b

a

dxxfdxcxf )()(

Para o caso onde 0)( xf , faça um diagrama para

interpretar geometricamente essa equação como uma

Igualdade de áreas.

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10. Se  2

0

)(

x

dttfxxsen , onde f é uma função continua,

ache )4(f .

11. Se f for uma função derivável tal que )(xf nunca

seja 0 e 2

0

( ) [ ( )]

x

f t dt f x para todo x, encontre f .

12. Encontre    

 

 

x tsen

dtu dx

d

0 1

4

2

2

1 .

13. Dois carros, A e B, largam lado a lado e aceleram a

partir do repouso. A figura mostra os gráficos de suas

funções velocidade.

(a) Qual carro estará na frente após 1 minuto? Explique.

(b) Qual o significado da área da região sombreada?

(c) Qual carro estará na frente após 2 minutos? Explique.

(d) Estime quando os carros estarão novamente lado a

lado.

14. Calcule

(a) 2 lnx xdx (b) cos5x xdx

(c) 2(ln )xdx (d) cos2e   d

(e) cos ln(sen )x xdx (f) 2 3xx e dx

(g) 3 2sen cosx xdx (h) 2

0

cos d

 

(i) cos sen 2x x

dx senx

  (j)

4

4 4

0

sec tg d

  

(k) sen3 cosx xdx (l) sen cos3x xdx

15. Calcule:

(a) 2 2

1

9 dx

x x   (b)

2 3 3

2 0 16

x dx

x 

(c)

2

3 2

0

4x x dx (d) 2 1 x

dx x x  

16. Calcule:

(a)   

9

5 2

x dx

x x

  (b)

2

3 2

5 3 2

2

x x dx

x x

 



(c) 2

4

2 5

x dx

x x

  (d)

1

1 dx

x x  

(e) 2 2

dx dx

x x

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17. Calcule:

(a)  cos 1 sen ²x x dx (b) 5sen³ cos d  

(c)

  2

ln

1 ln

x dx

x x  (d)  ln ² 1x dx

(e) 1

8

1 senx x dx

 (f) 1 sen

1 sen

x dx

x



(g) 1

4 ² 1 dx

x x   (h)  4 1

dx

x x  

(i) xxe dx (j) 1

1 dx

x x  

(k) 1

x

x

xe dx

e  (l)

2

1

² 1x dx

x

 

(m) 3 xe dx (n)

ln10

0

1

8

x x

x

e e dx

e



18. Encontre o valor mínimo da área da região sob a

curva xxy 1 de ax  a 5,1 ax , para 0x .

19. Encontre a área da região sombreada.

20. Esboce a região delimitada pelas curvas dadas.

Decida quando integrar em relação à x ou a y. Desenhe

um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e

largura. Então, calcule a área da região.

(a) xyxy  22,

(b) 2/,0,2,cos  xxxsenxxy

21. Calcule a integral   2/

0

|2cos|

dxxxsen e interprete-a

como a área de uma região. Esboce a região.

22. Encontre os valores de c tal que a área da região

limitada pelas parábolas 22 cxy  e 22 xcy  seja

576.

23. Para quais valores de m a reta mxy  e a curva

)1/( 2  xxy delimitam uma região: Encontre a área da

região.

24. Encontre a área da região delimitada pelas curvas 2 2, cos , 4 4y sen x y x x     

25. Escreva mas não calcule, uma integral para o

comprimento da curva.

(a) ³ 0 1y x x   (b) ² 0 1xy ex x  

(c) ³, 1 4y y y y    (d) ² ²

1 ² ²

x y

a b  

26. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em

torno do eixo y da região limitada pelas curvas

2 , 0, 9x y x y   .

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27. Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação

da região em torno da reta dada.

(a) 1 em torno de AB

(b) 2 em torno de OC

28. Encontre o volume da pirâmide de altura h e base

triangular equilátera com lado a. (Tetraedro)

29. Ache o comprimento da curva.

(a)  ln sec , 0 4y x x   

(b) 1

ln , , 0 1

x

x

e y a x b a

e

      

 

30. (a) Afigura mostra um fio de telefone pendurado entre

dois postes em e .x b x b   Este tem o formato de uma

catenária com a equação  coshy c a x a  . Calcule o

comprimento do fio.

(b) Suponha que os dois postes telefônicos estejam

separados a uma distancia de 20m e que o comprimento

do fio entre os postes seja de 20,4m. Se o ponto mais

baixo do fio deve estar 9m acima do solo, a qual altura o

fio deve ser preso no poste?

31. Calcule o comprimento da curva

1 ³ 1 , 1 4.

x

y t dt x   

32. Escreva mas não calcule, uma integral para a área

obtida pela rotação da curva em torno do eixo x e do

eixo y de , 1 3xy xe x  

34. Calcule a área da superfície obtida pela rotação da

curva em torno do eixo x de 1 4 , 1 5y x x    .

35. A curva ² ², 0 2y a y y a    é girada em torno

do eixo y . Calcule a área da superfície resultante.

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