Exercicios integrais - Exercícios - Matemática_Parte1, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Exercicios integrais - Exercícios - Matemática_Parte1, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

PDF (655.4 KB)
16 páginas
609Número de visitas
Descrição
Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo do integrais.
20pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 16
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Pré-visualização finalizada
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Pré-visualização finalizada
Consulte e baixe o documento completo
Microsoft Word - Resolu..o dos Exerc.cios - corre..o em 27-10-06.doc

Integrais

Resolução dos Exercícios Propostos

Exercício 1: Encontre a integral indefinida das seguintes funções:

a) 5 2( ) 7 4f x x= + ; b)

5

3 4( ) 3

2 tg t t

t − = − + ; c) 3 5( ) ( 2 )h u u u u−= − + ;

d) 5 1( ) xf x

x +

= e) −= − + 2 2( ) ( 2 )h v v f) = 4 1( )g s s

Solução:

a) ( )( ) ( )5 2 7 27 4 2 4x dx x x C+ = + +∫ ; b)

5 6 4 2

3 4 1 33

2 12 2 t t dt t t t C

t −   − + = − + + 

  ∫ ;

c) 3 5 4 2 52 1( 2 ) ( 2 ) 5

u u u du u u du u C u

− −− + = − + = − − +∫ ∫ ;

d) 4 5 3 45 1 1 1( )

3 4 x dx x x dx x x C x

− − − −+ = + = − − +∫ ∫ ;

e) 2 2 2 4 3 1 1 1( 2 ) (4 4 ) 4 4

3 v dv v v dv v C

v v − − −− + = − + = + − +∫ ∫ ;

f) 4 3 1 1 1

3 ds C

s s = − +∫ .

Exercício 2: Encontre a integral indefinida das seguintes funções:

a) 2 3cos

( ) 7sen

xf x x

= ; b) 22cos tg

( ) cos

t tg t t +

= ; c) 2 2

2 2 sen cos

( ) 7cos 7cos

x xf x x x

= + .

Solução:

a) 2 3cos 3 cotg cossec

77sen x dx x x dx x

=∫ ∫ , mas pela tabela de derivação dada no final do Fundamentum nº 27, obtém-se que:

cossec cossec cotgd x x x dx

= − .

Assim, 2 3cos 3 cossec

77sen x dx x C x

= − +∫ .

b) 2

2 2 2cos tg sen sen

2cos 2cos cos cos cos

t t t tdt t dt t dt dt t t t

 + = + = +    

∫ ∫ ∫ ∫ 2sen tg cotgt t t dt= + ∫ , mas

novamente pela tabela de derivação dada no final do Fundamentum nº 27, obtém-se que:

sec sec tgd x x x dx

= ,

assim, 22cos tg

2sen sec . cos

t t dt t t C t +

= + +∫

docsity.com

c) 2 2

2 2 2 2

sen cos 1 1(1 tg ) sec 7 77cos 7cos

x x dx x dx x dx x x + = + =∫ ∫ ∫ , mas novamente pela tabela de derivação

dada no final do fundamentum nº 27, obtém-se que: 2tg secd x x

dx = ,

assim, 2 2

2 2 sen cos 1 tg .

77cos 7cos x x dx x C x x + = +∫

Exercício 3: Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:

a) 2 2 3xdx−∫ ; b) 23 2 4x x dx−∫ ; c) 1 x dx

x+∫ ; d) 3sen 2 x dx  

 ∫ ;

e) 23 cos(3 )t t dt∫ ; f) 2cos t dt∫ ; g) 2sec ( )x dx

x∫ ; h) 2 1

1 9 dx

x+∫ . Sugestão para resolver o item c: considere 1u x= + . Solução: a) Fazemos 2 3u x= − , logo 3du dx= − , e assim,

1 2 3 2 3 22 4 42 2 3 (2 3 ) 3 9 9

x dx u du u C x C− = − = − + = − − +∫ ∫ . b) Fazemos 2 2u x= − , logo 2du x dx= , e assim,

1 2 3 22 3 3 2 23 2 4 (2 ) 2 2 3

x x dx u du u C− = = + =∫ ∫ 3 222 ( 2)x C− + . c) Fazemos, conforme sugestão 1u x= + , logo du dx= , e assim,

1 2 1 2 1 2 1 1

1 x u udx du du

x u u u −  = = − = +  ∫ ∫ ∫

1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 22 22 (1 ) 2(1 ) 3 3

u du u du u u C x x C−= − = − + = + − + +∫ ∫ .

d) Fazemos 3 2

u x= , logo 3 2

du dx= , e assim,

3 2 2 2 3sen sen cos cos 2 3 3 3 2 x dx u du u C x C   = = − + = − +   

   ∫ ∫ .

e) Fazemos 23u t= , logo 6du t dt= , e assim, 2 21 1 13 cos(3 ) cos sen sen 3

2 2 2 t t dt u du u C t C= = + = +∫ ∫ .

f) Fazemos 2 1 cos2cos 2

tt += , e assim,

2 1 cos2 1 1cos cos2 2 2 2

tt dt dt dt t dt+= = + =∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 sen 2 2 4

t t C+ + .

g) Fazemos u x= , logo 1 2

du dx x

= , e assim,

2 2sec ( ) 2sec 2tg 2tg( )x dx u du u C x C

x = = + = +∫ ∫ .

h) Fazemos 3u x= , logo 3du dx= , e assim,

docsity.com

2 2 1 1 1 1 1arctg arctg(3 )

3 3 31 9 1 dx du u C x C

x u = = + = +

+ +∫ ∫ . Exercício 4: Calcule as seguintes integrais, utilizando a técnica de integração por partes.

a) 1

x dx x +∫ ; b) arcsen x dx∫ ; c) (2 1)senx x dx+∫ ;

d) 3 senx x dx∫ ; e) 2cossec cotgx x dx∫ ; f) 2sen secx x dx∫ . Solução:

a) Façamos u x= e 1 1

dv dx x

= +

, logo du dx= e 2 1v x= + , e assim,

2 1 2 1 1

x dx udv uv vdu x x x dx x

= = − = + − + +∫ ∫ ∫ ∫

42 1 ( 1) 1 3

x x x x C= + − + + + =

2 1 ( 2) 3

x x C= + − + .

b) Façamos arcsenu x= e dv dx= , logo 2

1

1 du dx

x =

− e v x= , e assim,

2 arcsen arcsen

1 xx dx u dv uv v du x x dx

x = = − = −

−∫ ∫ ∫ ∫ , fazendo agora 21t x= − , temos que

2dt x= − , e assim, 1 21 2 2

2

1 1 (1 ) 21

x dx du u x ux

= − = = − − −

∫ ∫ . Portanto, 2arcsen arcsen 1x dx x x x C= + − +∫ .

c) Façamos 2 1u x= + e sendv x dx= , logo 2du dx= e cosv x= − , e assim,

(2 1)sen (2 1)cos 2cos 2(sen cos ) cosx x dx x x x dx x x x x C+ = − + + = − − +∫ ∫ . d) Segue imediatamente do item c que sen sen cosx x dx x x x C= − +∫ . Façamos então 3u x= e sendv x dx= , logo 23du x dx= e cosv x= − . Portanto,

3 3 2sen cos 3 cosx x dx x x x x dx= − +∫ ∫ . (1) Analisando a integral 2 cosx x dx∫ , observamos que podemos calculá-la também por partes, fazendo agora

2u x= e cosdv x dx= , logo 2du x dx= e senv x= , e assim, 2 2cos sen 2 senx x dx x x x x dx= −∫ ∫ e pela observação acima, concluímos que

2 2cos sen 2(sen cos )x x dx x x x x x= − −∫ (2) Substituindo (2) em (1), obtemos

3 3 2sen cos 3 sen 6 cos 6senx x dx x x x x x x x C= − + + − +∫ . e) Façamos cossecu x= e cossec cotgdv x x dx= , logo cossec cotgdu x x dx= − e cossecv x= − , e

assim, 2 2cossec cotg cossec ( cossec )( cossec cotg )x x dx x x x x dx= − − − −∫ ∫ . Logo, 2 22 cossec cotg cossecx x dx x= −∫ . Portanto,

2 2 cosseccossec cotg

2 xx x dx C= − +∫

f) Façamos senu x= e 2secdv x dx= , logo cosdu x dx= e tgv x= , e assim, 2sen sec sen tg tg (cos ) sen tg sen sen tg cosx x dx x x x x dx x x x dx x x x C= − = + = + +∫ ∫ ∫ .

docsity.com

Exercício 5 (resolução com o uso de calculadora ou microcomputador): Escreva a soma de Riemann das seguintes funções nos intervalos indicados, usando a quantidade n de subintervalos na partição considerada. A seguir utilize uma calculadora ou software para calcular o valor numérico da soma. a) 2( ) 1f x x= − − , [2,5] , 7n = , 14n = , 100n = , 1000n = ; b) ( ) senf x x= , [0, ]π , 6n = , 10n = , 100n = , 1000n = ; c) ( ) cosf x x= , [0, ]π , 6n = , 10n = , 100n = , 1000n = ; d) ( ) cos senf x x x= − , [0, ]π , 6n = , 10n = , 100n = , 1000n = . Solução: Exercício 6: Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais a seguir.

a) 0

cos x dx π ∫ ; b) 0 (cos sen )x x dx

π −∫ ; c)

0 3 1

( 5)x dx+∫ .

d) 2

2 senx x dx

π π∫ ; e)

1 2 9 0

(2 1)x x dx−∫ . Solução:

a) 0 0

cos sen sen sen 0 0x dx x= = − =∫ ππ

π .

b) 0 0

(cos sen ) sen cos sen cos sen 0 cos0 2x x dx x x− = + = + − − = −∫ ππ

π π .

c) 00 3 4

1 1

1 1 21( 5) 5 5 4 4 4

x dx x x+ = + = − − = −∫ .

d) No item d do exercício 4, vimos que sen sen cosx x dx x x x C= − +∫ , assim, 22

2 2 sen sen cos sen 2 2 cos2 sen 2 cos 2 (1 2 )

2 x x dx x x x

ππ π π

ππ π π π π π= − = − − + = − +∫ .

e) Fazendo 22 1u x= − , segue que: se 0, 1x u= = − , se 1, 1x u= = e 4du x dx= e, assim, 11 12 9 9 10

0 1 1

1 1(2 1) 0 4 40

x x dx u du u − −

− = = =∫ ∫ . Exercício 7: Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável x e com integrações na variável y. Escolha uma das maneiras e calcule a área. a) 0y = , y x= e 5y x= − + .

b) 3x y+ = , 1 2

y x= e 2y x= .

c) 2 1y x= + , 2y x= − , 0x = e 5x = . Solução: a)

docsity.com

P

x

y

0y =

y x=5y x= − +

Para se encontrar as coordenadas do ponto P devemos ter 5x x= − + , ou seja 5 2

x = e assim,

5 2

y = .

Integração na variável x : 55 25 2 5 2 2

0 5 2 0 5 2

1 1 25 25 25 25 25( ) ( 5) 5 25 u.a. 2 2 8 2 8 2 4x

A R x dx x dx x x x   = + − + = + − + = − + − − + =       ∫ ∫

Integração na variável y : 5 25 2 5 2 2

0 0 0

25 25 25( ) [(5 ) ] (5 2 ) 5 u.a. 2 4 4y

A R y y dy y dy y y= − − = − = − = − =∫ ∫ b)

y

x

P

Q

3y x= −

1 2

y x=

2y x=

Para se encontrar as coordenadas do ponto P devemos ter 2 3x x= − , ou seja 1x = e assim, 2y = .

Para se encontrar as coordenadas do ponto Q devemos ter 1 3 2

x x= − , ou seja 2x = e assim, 1y = .

Integração na variável x : 1 21 2 2 2

0 1 10

1 1 3 3 3( ) (2 ) (3 ) (3 ) 2 2 4 4 2x

A R x x dx x x dx x x x= − + − − = + − =∫ ∫ u.a.

docsity.com

Integração na variável y : 1 21 2 2 2

0 1 10

1 1 3 3 3( ) (2 ) (3 ) (3 ) 2 2 4 4 2y

A R y y dy y y dy y y y= − + − − = + − =∫ ∫ u.a. c)

y

x

P

Q

R

S

2 1y x= + 5x =

0x =

2y x= −

O ponto P tem coordenada 5x = e como 2 1y x= + , temos que 26y = . O ponto Q tem coordenada 5x = e como 2y x= − , temos que 3y = . O ponto R tem coordenada 0x = e como 2y x= − , temos que 2y = − . O ponto S tem coordenada 0x = e como 2 1y x= + , temos que 1y = . Integração na variável x :

53 25 52 2 0 0

0

( ) ( 1 2) ( 3) 3 3 2x

x xA R x x dx x x dx x  

= + − + = − + = − + =   

∫ ∫ 125 25 26515

3 2 6 − + = u.a.

Integração na variável y : 1 3 26

2 1 3 ( ) ( 2) ( 2 1 ) (5 1 )yA R y dy y y dy y dy−= + + + − − + − − =∫ ∫ ∫

1 3 262 2

3 3

32 1

2 22 2 ( 1) 5 ( 1) 2 2 3 3 y yy y y y y

     = + + + − − + − − =          

3 3 3 1 9 2 1 2 2 2652 2 4 6 2 2 130 25 15 2 2 2 3 2 3 3 6 = + − + + + − − − + − − + = u.a.

Exercício 8: Nos itens a seguir, apenas expresse, mediante integrais definidas, a área da região limitada pelas curvas dadas. Não é necessário calcular a(s) integral(is).

a) 2y x= , 3y x= , 2x = e 10x = . b) y x= , 2y x= − − , y x= − e 10y x= − . Solução: a)

docsity.com

y

x

P

Q

S R

2y x=

3y x=

10x =

2x =

O ponto P tem coordenada 10x = e como 3y x= , temos que 1000y = .

O ponto Q tem coordenada 10x = e como 2y x= , temos que 100y = .

O ponto R tem coordenada 2x = e como 2y x= , temos que 4y = .

O ponto S tem coordenada 2x = e como 3y x= , temos que 8y = .

Integração na variável x : 10 3 2 2

( ) ( )xA R x x dx= −∫ .

Integração na variável y : 8 100 1000

3 3 4 8 100

( ) ( 2) ( ) (10 )yA R y dy y y dy y dy= − + − + −∫ ∫ ∫ . b)

y

x

P

QR

S

y x=

y x= −

2y x= − −

10y x= −

docsity.com

Para se encontrar as coordenadas do ponto P devemos ter 10x x= − , ou seja 21 41 2

x += e

assim, 1 41 2

y += .

Para se encontrar as coordenadas do ponto Q devemos ter 2 10x x− − = − , ou seja 17 33 2

x −=

e assim, 3 33 2

y += − .

Para se encontrar as coordenadas do ponto R devemos ter 2x x− − = − , ou seja 4x = e assim, 4y = − .

O ponto S é a origem. Assim, temos Integração na variável x :

4 (17 33 ) 2 (21 41 ) 2

0 4 (17 33 ) 2 ( ) ( ( )) ( ( 2)) ( ( 10))xA R x x dx x x dx x x dx

− +

− = − − + − − − + − − =∫ ∫ ∫

4 (17 33 ) 2 (21 41 ) 2

0 4 (17 33 ) 2 ( ) (2 2)) ( 10)x x dx x dx x x dx

− +

− = + + + + − −∫ ∫ ∫ .

Integração na variável y :

( ) 4 0 (1 41 ) 22 2 3 33 2 4 0

( ) ( 10 ( 2) ) ( 10 ) ( 10 )yA R y y dy y y dy y y dy − +

− + − = − − + + + + + + − =∫ ∫ ∫

( ) 4 0 (1 41 ) 22 2 3 33 2 4 0

( 3 6) (2 10 ) ( 10 )y y dy y dy y y dy − +

− + − = − − + + + + − + +∫ ∫ ∫ .

Exercício 9: Encontre o domínio e as derivadas de primeira e de segunda ordem das seguintes funções: a) 2( ) ln(3 4 )f x x x= − ; b) ( ) lng x x= ;

c) 2( ) ln 2h x x= − ; d) ( ) sen(ln )j x x= .

Solução:

a) 4( ,0) , 3

Dom f  = −∞ ∪ +∞   

.

2 6 4'( )

3 4 xf x

x x

= −

e 2 2

2 2 6(3 4 ) (6 4)"( )

(3 4 ) x x xf x

x x − − −

= −

.

b) 1 2 1( ) ln ln 2

g x x x= = , assim, (0, )Dom g = + ∞ .

1'( )

2 g x

x = e 2

1"( ) 2

g x x

= − .

c) { 2 , 2 }Dom h = − − .

2 2'( )

2 xh x

x =

− e

2 2

2 2 2 2 2( 2) 2 2 2( 2)"( )

( 2) ( 2) x x x xh x

x x − − ⋅ +

= = − − −

.

d) (0, )Dom j = +∞ .

docsity.com

cos(ln )'( ) xj x

x = e 2 2

1sen(ln ) cos(ln ) sen(ln ) cos(ln )"( ) x x x x xxj x

x x

− − + = = − .

Exercício 10: Calcule as integrais dadas a seguir.

a) 2 1 1 6 3 x dx x x

− + +   ∫ ; b) ∫

2

1

ln x dx x

; c) tg x dx∫ ;

d) ∫ 2

4 cotg x dx

π

π ; e) ln x dx∫ .

Solução:

a) ln2 1 1 1 1 1 1 1

6 3 3 6 3 3 2 3 2 xx xdx dx dx C

x x x x x − +   + = − + + = − + = − + +       ∫ ∫ ∫ .

b) Fazendo lnu x= , temos que 1du dx x = e, assim,

2 22

1

ln ln ln 2 2 2

x xdx x

= =∫ . c) Fazendo cosu x= , temos que sendu x dx= − e, assim,

sentg ln cos

x dux dx dx u C x u

= = − = − + =∫ ∫ ∫ ln cos ln secx x C− = + .

d) Fazendo senu x= , temos que: cosdu x dx= , e além disso, se 4

x π= , então 2 2

u = ; se 2

x π= ,

então 1u = . Assim,

( ) 12 2 1

4 4 2 2 2 2

cos 2 ln 2cotg ln ln1 ln sen 2 2

x dux dx dx u x u

π π

π π = = = = − =∫ ∫ ∫ .

e) Integrando por partes, tomemos lnu x= e dv dx= , logo, 1du dx x = e v x= . Assim,

1ln ln ln lnx dx x x x dx x x dx x x x C x

= − = − = − +∫ ∫ ∫ . Exercício 11: Encontre a derivada das seguintes funções:

a) ln sen

xxy x

  =    

; b) 2 10( 1) ln 3 2y x x= − + ; c) 2cos(ln )y x= ;

d) 2(2 3 7)(5 4)y x x x= − − − ; e) 2 21 15(2 3 7) (5 4)y x x x= − − − . Solução:

a) Como ln ln(sen ) ln ln(sen )xy x x x x x= − = − , temos:

cos' ln 1 ln cotg 1 sen

xy x x x x

= + − = − + .

b) Como 2 101 ( 1) ln(3 2) 2

y x x= − + , temos: 2 9 2 101 1 3' 10( 1) 2 ln(3 2) ( 1) 2 2 3 2

y x x x x x

= − + + − = +

2 10 2 9 ( 1)310 ( 1) ln(3 2)

2 3 2 xx x x

x

= − + + +

.

c) Como cos(2 ln )y x= , temos: 22sen(ln )2' sen(2 ln ) xy x

x x = − = − .

d) 2' (4 3)(5 4) 5(2 3 7)y x x x x= − − + − − .

docsity.com

e) Temos que: 2 21 15 2ln ln (2 3 7) (5 4) 21ln 2 3 7 15 ln 5 4y x x x x x x= − − − = − − + − . Derivando em

relação a x , segue que: 2 ' 4 3 521 15

5 42 3 7 y x y xx x

− = +

−− − e, assim,

2 21 15 2 4 3 5' (2 3 7) (5 4) 21 15

5 42 3 7 xy x x x

xx x − = − − − + −− − 

.

Exercício 12: Calcule as derivadas das seguintes funções.

a) ( ) sen( )xf x e= ; b) ( ) 2x xg x e e= + ;

c) ( ) ln(cotg )xh x e= ; d) 2( ) sen(2 )x xj x e e= . Solução:

a) '( ) cos( )x xf x e e= .

b) 1 2'( ) 22

x x

x

eg x e x e

= + .

c) Como ( ) ( )cos( ) ln( ) ln cos ln sen sen

x x x

x eh x e e e

= = − , temos:

sen cos'( ) (tg cotg ) cos sen

x x x x x x x

x x e eh x e e e e e

e e − = − = − + .

d) 2 2 2'( ) 2 sen(2 ) cos(2 ) 2 2 [sen(2 ) cos(2 )]x x x x x x x x xj x e e e e e e e e e= ⋅ ⋅ + ⋅ = + . Exercício 13: Dadas as equações a seguir, encontre 'y derivando-as implicitamente em relação a x.

a) 2 2 7xyx xy e+ + = ; b) senx xye y e= . Solução:

a) 2 2 2 ' ( ') 0xyx y xy e y xy+ + + + = , logo, 2 ' ' ( 2 2 )xy xyxy xe y ye x y+ = − + + e, assim,

2 2'

(2 )

xy

xy ye x yy

x e + +

= − +

, quando 0x ≠ .

b) sen cos ' ( ' )x x xye y e y y e xy y+ ⋅ = + , logo, '( cos ) senx xy xy xy e y x e y e e y− = − e, assim,

sen

' , quando cos 0 cos

xy x x xy

x xy y e e yy e y x e

e y x e

= − ≠ −

Exercício 14: Calcular as seguintes integrais:

a) 5xe dx∫ ; b) 2(2 5 )xx e dx+∫ ; c) 2 sen( )x xe e dx∫ ;

d) x x

x x e e dx e e

− − +∫ ; e)

2ln( )xe dx∫ . Solução:

a) Fazendo a substituição de variável 5 5

u x du dx =

 = , obtemos

5 5 51 1 1 15 5 5 5 5

x x u u xe dx e dx e du e C e C= = = + = +∫ ∫ ∫ ∫ .

docsity.com

b)

22 2 2

2 2 2 2

1(2 5 ) 2 5 5 2 2

5 5 5 2 2 2

x x x

u u x

x e dx xdx e dx e dx

x e du x e C x e C

x+ = + = + =

= + = + + = + +

∫ ∫ ∫ ∫

c) Fazendo a substituição de variáveis x

x

u e

du e dx

 =  =

obtemos

2 sen( ) 2 sen( )( ) 2 sen 2cos 2cos( )x x x x xe e dx e e dx udu u C e C= = = − + = − +∫ ∫ ∫

d) x x

x x e e dx e e

− − +∫

( )

x x

x x

u e e

du e e dx

 = +  = −

1 ln| | ln| | x x

x x x x

e e dx du u C e e C ue e

− −

− −

= = + = + + +∫ ∫ .

Exercício 15: A magnitude R de um terremoto é medida em uma escala, chamada escala Richter, dada pela

fórmula 0

log IR I  

=    

, onde I é a intensidade do terremoto e 0I é uma intensidade padrão mínima. Se um

terremoto atinge a magnitude de 6,1 na escala Richter, quantas vezes a intensidade do terremoto é maior que a intensidade padrão?

Solução: Temos 0

log IR I

= e, assim,

0

log 6,1 6,1

0 0 0

6,1 log 10 10 10 I II I I I

I I = ⇒ = = ⇒ =

Portanto, a intensidade do terremoto é de 6,110 1.258.925≈ vezes maior que a intensidade padrão. Exercício 16: Uma contagem inicial numa cultura de bactérias revela a existência de 600.000 indivíduos. Após 3 horas o número de indivíduos passa para 1.800.000. Sabendo-se que a taxa de crescimento dessa espécie de bactérias é proporcional ao número de indivíduos presentes, determine uma expressão que forneça o número de indivíduos a cada instante t e calcule o número de bactérias depois de 5 horas. Solução: Temos

0t = horas 600.000→ 3t = horas 1.800.000→

A taxa de crescimento é proporcional ao número de indivíduos presentes. ( ) ktt Meη = . .0

.3 .3

(0) 600.000

(3) 600.000 1.800.000 3 3 ln 3

k

k k

Me M M

e e k

η

η

= = ⇒ =

= = ⇒ = ⇒ =

Então, 1 1( ln 3) ( ln 3)5 3 3( ) 600.000 (5) 600.000 3.744.150

t t e eη η= ⇒ = ≈ .

Exercício 17: Se acondicionarmos 50 mg de um material radioativo numa caixa de chumbo e soubermos que a meia vida desse material é de 200 anos, após quanto tempo haverá 5 mg do material dentro da caixa? Solução: Temos 50mg em 0t = anos, média de vida 200= anos e 5mg em T anos. Assim,

docsity.com

2

3

200

0 50 1200 50 2 1400 50 2 1600 50 2

1 50

2 t

mg

mg

mg

mg

t

A lei que rege o decaimento radioativo é / 200( ) 50.2 tq t −= . / 200 / 200 1 / 200

2 2

1 2 2 2

15 50.2 2 log 10 log 2 10

ln10log 10 log 22 200 log 10 200 200(3,32198095) 664,3 200 ln 2

T T T

T T

− − − −= ⇒ = ⇒ = ⇒

− − = ⇒ = = ≈ ≈

.

Portanto, haverá 5mg após aproximadamente 664,3 anos. Exercício 18: Com o auxílio da Tabela de Integrais Imediatas e o uso das técnicas de integração, calcule as seguintes integrais:

a) 2tg u du∫ ; b) 1 x

x e dx

e+∫ ; c) ln dx

x x∫ ; d) 5cos senx x dx∫ ;

e) 3 23 2x x dx+∫ ; f) ( ) 3

2 3x xe e dx+∫ ; g) sen(ln )x dx

x∫ ; h) tg(ln )x dx

x∫ ;

i) lnx x dx∫ ; j) arctg x dx∫ ; k) xe dx x∫ ; l)

32 2xx e dx∫ . Solução:

a) Temos 2

2 2

sentg cos

xxdx dx x

=∫ ∫ . Fazendo a mudança de variáveis 2

2 2

sec 2sen cos 1 sec tg

cos

u x du x x

v xdx xdv dx x

 = = ⇒  = ==   ∫

obtemos 2

2 2 2

2 2 2

2

sen sensen tg (2sen cos )tg sen tg (2sen cos ) coscos

1 1sen tg 2sen sen tg 2 [ cos2 ] 2 2

sen 2sen tg 2

x xdx x x x x xdx x x x x dx xx

x x xdx x x x dx

xx x x

= − = − =

= − = − − =

= − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Verificação:

docsity.com

2

2

2 2 2

2

sen 2(sen tg ) 2sen cos tg 1 cos2 2

sen2sen 1 cos2 cos

tg 2sen cos 1

tg

d xx x x x x x x dx

xx x x

x x x

x

− + = − + =

= + − + =

= + + − =

=

b) Fazendo a substituição de variáveis 1 x

x

u e

du e dx

 = +  =

obtemos

1 ln| | ln|1 |xI du u C e C u

= = + = + +∫ .

c) Fazendo a substituição de variáveis ln

1 u x

du dx x

=   =

obtemos

1 2 1 1 2 2 2 21 2 2 ln1 2 1ln

2 2 2

u uI dx u du C C u C x C x x

− +

− = = = + = + = + = +

− +

∫ ∫ .

d) Fazendo a substituição de variáveis sen cos

u x du xdx =

 = obtemos

5 6 61 1 sen 6 6

I u du u C x C= = + = +∫ .

e) Fazendo a substituição de variáveis 23 2

4 u x du xdx  = +  =

obtemos

3 513 5 5 52 23 2 22 2 2 21 1 1 1 2 1 13 2 . (3 2 )3 54 4 4 4 5 10 101 2 2

u uI x x dx u du C C u C u C x C +

= + = = + = + = + = + = + + +

∫ ∫

f) Fazendo a substituição de variáveis 2 3

2

x

x

u e

du e dx

 = +  =

obtemos

3 3 4 41 1 1 1(2 3) (2 3) 2 2 4 8

x x xI e dx u du u C e Ce= + = = + = + +∫ ∫ .

g) Fazendo a substituição de variáveis ln

1 u x

du dx x

=   =

obtemos

sen(ln ) sen cos cos(ln )x dxI udu u C x C x

= = = − + = − +∫ ∫ .

docsity.com

h) Fazendo a substituição de variáveis ln

1 u x

du dx x

=   =

obtemos

tg(ln ) tg ln|sec | ln|sec(ln )|xI dx udu u C x C x

= = = + = +∫ ∫ .

i) Fazendo a substituição de variáveis 3 2

1 ln

2 3

du dxu x x dv x

v x

 == ⇒  =  =

obtemos

3 3 3 1 2 2 2 2

3 3 3 2 2 2

2 2 1 2 2ln ln ln 3 3 3 3

2 2 3 2 2ln (ln ) 3 3 2 3 3

I x xdx uv vdu x x x dx x x x dx x

x x x C x x C

= = − = − = − =

= − + = − +

∫ ∫ ∫ ∫

j) Fazendo a substituição de variáveis 2 1tg

1 u arc x du dx

xdv dx v x

= = ⇒ + =  =

obtemos

2

2

1 1 1tg tg tg 21

1 1tg ln| | tg ln|1 | 2 2

I arc xdx xarc x x dx xarc x dw wx

xarc x w C xarc x x C

= = − = − = +

= − + = − + +

∫ ∫ ∫

k) Fazendo a substituição de variáveis 1 2

u x dx

du x

 =   =

obtemos

2 2 2 x

u u xeI dx e du e C e C x

= = = + = +∫ ∫ .

l) Fazendo a substituição de variáveis 3

2

2

6

u x

du x dx

 =  =

obtemos

3 322 1 1 1 6 6 6

u ux xI x e dx e du C e C e C= = = + = + = +∫ ∫ .

Exercício 19: Prove a fórmula 14 da Tabela de Integrais, isto é, calcule sec x dx∫ . Sugestão: multiplique e divida sec x por (sec tg )x x+ .

Solução: Temos 2sec (sec tg ) sec sec tg )

sec sec tg sec tg x x x x x xx dx dx dx

x x x x + +

= = + +∫ ∫ ∫ . Fazendo a substituição de

variáveis 2 2 sec tg

(sec tg sec ) (sec sec tg )

u x x

du x x x dx x x x dx

= +  = + = +

obtemos

docsity.com

2sec sec tg ) ln ln sec tg

sec tg x x x dudx u C x x C

x x u +

= = + = + + +∫ ∫

Exercício 20: Calcule as seguintes integrais indefinidas:

a) 2 3

6 x dx

x x − − −∫ ; b)

2

3 2 3 5 5

x x dx x x − + −∫ ; c)

2

3 2 3 5

3 x x dx

x x x − + + +∫ (sinal trocado no denominador);

d) ( )( )

3 2

3 12 20 5

1 3 x x x dx

x x + − +

− −∫ ; e)

2

4 2 1x dx

x x − −∫ .

Solução:

a) Temos 2 6 ( 3)( 2)x x x x− − = − + e assim

2 ( 2) ( 3)3

3 2 ( 3)( 2)6 A x B xx A B

x x x xx x + + −−

= + = − + − +− −

.

Logo, 3 ( 2) ( 3) ( ) 2 3x A x B x A B x A B− = + + − = + + −

1 0 2 3 3 1 A B A A B B + = = 

⇒ − = − =  .

Portanto, 2 3 1 ln| 2|

26 xI dx dx x C

xx x

= = = + + +− −∫ ∫ .

b) Temos 3 2 25 ( 5)x x x x− = − e assim

22

3 2 2 2 ( 5) ( 5)3 5

55 ( 5) Ax x B x Cxx x A B C

x xx x x x x − + − +− +

= + + = −− −

.

Logo, ( )2 23 5 ( ) 5 5x x A C x Bx A B− + = + + + − −

1 2 3 3

5 5 5 1

A C A B B

A B C

+ = =   = − ⇒ = −   − − = = − 

.

Portanto, 2

3 2 2 3 5 2 3 1 32 ln ln| 5|

55 x xI dx dx x dx x x C

x x xx x x − + − −

= = + + = + − − + −−∫ ∫ ∫ ∫ .

c) Temos 3 2 23 (3 1)x x x x x x+ + = + + . Como 1 4.3.1 11 0∆ = − = − < consideramos

2

3 2 2 3 5

3 3 1 x x A Bx C

xx x x x x − + +

= + + + + +

.

Logo, 2 2 23 5 (3 1) ( ) (3 ) ( )x x A x x Bx C x A B x A C x A− + = + + + + = + + + +

3 1 5 3 14

5 8

A B A A C B A C

+ = =   + = − ⇒ = −   = = − 

.

docsity.com

Portanto, 2

3 2 2 2 2 3 5 5 14 8 1 15 14 8

3 3 1 3 1 3 1 x x x xI dx dx dx dx dx dx

x xx x x x x x x x x − + − −

= = + = − − + + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Como 2 2 1 1 1 1 1 tg( )

3 3 11/6 113 1 1 11 66 36

xdx dx arc C x x x

= = + + + +  + 

 

∫ ∫

e fazendo a mudança de variáveis 23 1

(6 1) u x x du x dx  = + +  = +

, lembrando que

2 2 2 1 6 1 1 1 6 63 1 3 1 3 1

x x x x x x x x

+ = −

+ + + + + + ,

obtemos

2 2 2

2

1 6 1 1 1 6 63 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 tg( ) 6 6 3 11/6 11/6 1 1 1ln| | tg( ) 6 3 11 11/6 1 1 1ln|3 1| tg( ) . 6 3 11 11/6

x xdx dx dx x x x x x x

xdu arc C u

xu arc C

xx x arc C

+ = −

+ + + + + +

= − +

= − +

= + + − +

∫ ∫ ∫

d) Temos 3 2

3 2 3 12 20 5

1 3( 1)( 3) ( 3) ( 3) x x x A B C D

x xx x x x + − +

= + + + − −− − − −

.

Logo, 3 2 3 3

3 2

12 20 5 ( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 3) ( 1)

( ) ( 9 7 ) (27 15 4 ) ( 27 9 3 )

x x x A x B x x C x x D x

A B x A B C x A B C D x A B C D

+ − + = − + − − + − − + − =

= + + − − + + + − + + − − + −

1 41

39 7 12 4

27 15 4 20 78 27 9 3 5 4

40

A A B

A B C B A B C D

CA B C D

D

 = + = 

 − − + = = ⇒ + − + = −  = − − + − = 

 =

Portanto, 3 2

3 2 3

2

2

12 20 5 1 1 3 1 78 1 140 4 1 4 3 4( 1)( 3) ( 3) ( 3)

1 3 78 1 40 1ln| 1| ln| 3| 4 4 4 3 2 ( 3) 1 3 39 20ln| 1| ln| 3| . 4 4 2( 3) ( 3)

x x xI dx dx dx dx x xx x x x

x x x x

x x x x

+ − + = = + + + =

− −− − − −

= − + − − + = − − −

= − + − − − − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

docsity.com

comentários (0)
Até o momento nenhum comentário
Seja o primeiro a comentar!
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome