Exercícios - Matemática Aplicada a Negócios, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval200013 de Março de 2013

Exercícios - Matemática Aplicada a Negócios, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo da Matemática Aplicada a Negócios.
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6a ¯

Lista de Cálculo Diferencial e Integral II- MAN/2012

Exerćıcio 1. Determine os pontos de máximo e mı́nimo locais e pontos de sela, se existirem, da função: a) f(x, y) = 9− 2x− 4y − x2 − 4y2. b) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4. c) f(x, y) = 3x2y + y3 − 3x2 − 3y2 + 2. d) f(x, y) = ycos x.

Exerćıcio 2. Determine os valores de máximo e mı́nimo absolutos de f no con- junto D, para: a) f(x, y) = 5 − 3x + 4y, onde D é a região fechada triangular com vértices (0,0), (4,0), (4,5). b) f(x, y) = 2x3 + y4, onde D = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 1}.

Exerćıcio 3. Sejam (1, 1), (2, 3) e (3,−1) os vértices de um triângulo. Qual é o ponto (x, y) tal que a soma dos quadrados de suas distâncias aos vértices é a menor posśıvel?

Exerćıcio 4.Uma indústria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por L(x, y) = 60x + 100y − 3

2 x2 − 3

2 y2 − xy. Supondo que toda a produção da

indústria seja vendida, determinar a produção que maximiza o lucro.

Exerćıcio 5.Método dos mı́nimos quadrados (regressão linear): É comum en- contrarmos na Estat́ıstica, na F́ısica e em outras ciências experimentos que envolvem duas variáveis x e y. Os resultados obtidos em n experiências, com n ≥ 3, são tabula- dos formando uma lista de pares ordenados de números: (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn). Em alguns experimentos, podemos teoricamente supor que o relacionamento entre as variáveis x e y é do tipo y = ax + b, com a, b ∈ R. Geralmente, não existe y = ax+ b cujo gráfico passe por todos os n pares dados. Procuramos, então, achar uma reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos dados. A reta r é denominada reta de regressão linear. O método usado para encontrar a reta r é conhecido como o método dos mı́nimos quadrados. A idéia básica desse método é encontrar a reta r tal que a soma dos quadrados dos desvios verticais seja mı́nima. Estamos, assim, diante de um problema de minimização. Dado o conjunto de pontos (xk, yk), k = 1, . . . , n,

achar a reta y = ax+b, a, b ∈ R, tal que n∑

k=1

d2k, com dk = yk−(axk+b), k = 1, . . . , n

seja o menor posśıvel, isto é, minimizar a função f(a, b) = n∑

k=1

(yk−axk− b)2. Dados

os pontos {(0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 5), (3, 4), (4, 4), (5, 7)}, achar a reta que melhor se ajusta ao conjunto dado.

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Exerćıcio 6. Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume V = 64 cm3. Se o custo do material usado na fabricação da caixa é de R$0,50 por metro quadrado, determinar as dimensões da caixa que tornem mı́nimo o custo do material usado em sua fabricação.

Exerćıcio 7. Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.

Exerćıcio 8. Determine o máximo e o mı́nimo valores da função f sujeita às restrições explicitadas: a) f(x, y) = xy, 9x2 + y2 = 4. b) f(x, y, z) = x + 2y, x + y + z = 1 e y2 + z2 = 4. ( ver Teorema 2, página 329, Guidorizzi, vol. 2)

Exerćıcio 9. Determine o retângulo de peŕımetro máximo, com lados paralelos aos eixos coordenados, que pode ser inscrito na elipse x2 + 2y2 = 4.

Exerćıcio 10. Seja T (x, y) = 4

x2 + y2 uma função que dá a temperatura do

ponto (x, y) do plano. Sabendo que uma part́ıcula está na região A = {(x, y) ∈ R2/y ≥ −x + 1} qual é a temperatura máxima dessa part́ıcula? E a mı́nima?

Exerćıcio 11. Determinar o ponto da reta de interseção dos planos x+y+z = 2 e x + 3y + 2z = 12 que esteja mais próximo da origem.

Exerćıcio 12. Seja f(x, y, z) de classe C2 e seja (x0, y0, z0) um ponto interior de Df . Suponhamos que (x0, y0, z0) seja ponto cŕıtico de f . Sejam H(x, y, z) e H1(x, y, z) dadas por

H = det

 ∂2f

∂x2 ∂2f

∂x∂y

∂2f

∂x∂z ∂2f

∂x∂y

∂2f

∂y2 ∂2f

∂y∂z ∂2f

∂x∂z

∂2f

∂y∂z

∂2f

∂z2

 e H1 = det 

∂2f

∂x2 ∂2f

∂x∂y ∂2f

∂x∂y

∂2f

∂y2

 Pode ser provado que :

(i) se ∂2f

∂x2 (x0, y0, z0) > 0, H1(x0, y0, z0) > 0 e H(x0, y0, z0) > 0, então (x0, y0, z0) será

ponto de mı́nimo local.

(ii) se ∂2f

∂x2 (x0, y0, z0) < 0, H1(x0, y0, z0) > 0 e H(x0, y0, z0) < 0, então (x0, y0, z0)

será ponto de máximo local.

Estude com relação a máximos e mı́nimos locais a função f(x, y, z) = x2 + 5y2 +

2

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2z2 + 4xy − 2x− 4y − 8z + 2.

Exerćıcio 13. Verifique que ( c

3 )3 é o valor máximo de xyz, x ≥ 0, y ≥ 0 e

z ≥ 0, com a restrição x+ y+ z = c, c > 0. Conclua que a média geométrica de três números positivos é sempre menor ou igual à média aritmética destes números.

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