Exercícios Oscilações - Física 2, Exercícios de A Física de Dispositivos Energéticos. Universidade Federal da Bahia (UFBA)
beatriz402
beatriz40220 de Janeiro de 2014

Exercícios Oscilações - Física 2, Exercícios de A Física de Dispositivos Energéticos. Universidade Federal da Bahia (UFBA)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE FÍSICA - DEPARTAMENTO DE FÍSICA GERAL DISCIPLINA: FIS 122 - FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II-E www.fis.ufba.br/~fis122

LISTA DE EXERCÍCIOS: OSCILAÇÕES 2013.2

01) - Uma partícula executa um MHS com frequência de 0,25 Hz em torno do ponto x = 0. Em t=0, ela tem um

deslocamento de x = 0,37 cm e velocidade zero. Para o movimento, determine (a) o período, (b) a frequência angular, (c) a

amplitude, (d) o deslocamento no tempo, (e) a velocidade no tempo, (f) a velocidade máxima, (g) a aceleração máxima, (h) o

deslocamento em t=3,0 s e (i) a velocidade em t = 3,0 s. Resp: a) 4,0 s ; b) /2 rad; c) 0,37 cm; d) (0,37 cm) cos [/2).t] ; e) (-

0,58 cm/s) sen [(/2).t] ; f) 0,58 cm/s ; g) 0,91 cm/s2 ; h) zero ; i) 0,58 cm/s.

02) - Considere que um pequeno corpo de massa m está suspenso do teto por uma mola de constante elástica k e

comprimento relaxado L0, cuja massa é desprezível. O corpo é solto em repouso, com mola relaxada. Encontre a expressão para a

posição z do corpo em função do tempo, tomando o eixo OZ orientado verticalmente para baixo, com origem no teto.

03) - Seja um corpo de 0,4 kg ligado a uma mola de constante de força de 12 N/m, oscilando com a amplitude de 8 cm.

Calcule (a) a velocidade máxima do corpo, (b) os módulos da velocidade e da aceleração do corpo quando estiver na posição x = 4

cm em relação à posição de equilíbrio x=0 e (c) o tempo que o corpo leva para ir de x = 0 até x = 4 cm.

Resp: a) 0,438 m/s; (b) 0,379 m/s e 1,2 m/s2; (c) 0,0956 s.

04) - Num referencial cartesiano OXY, uma partícula m, presa a uma mola, é móvel sobre o caminho OX numa mesa, sem

atrito (ver figura 1). Exceto a reação vincular, age sobre a partícula exclusivamente a força da mola. Considere esta mola de massa

desprezível, tamanho normal L, constante elástica K, estando sua outra extremidade fixa no eixo vertical, no ponto D=(0,d).

Admitindo que x <<d, mostre que o movimento da partícula (na direção x) corresponde a um MHS com a freqüência dada por  =

k (d-L) / m.d.

05) – O pêndulo da figura 2 é formado por uma barra, de tamanho L e massa desprezível, tal que uma de suas extremidades

está articulada no teto e a outra suporta uma esfera de massa M. Exatamente no meio da barra conecta-se, horizontalmente, uma

mola de constante k que está presa num suporte fixo. Assumindo-se que a mola está relaxada quando a barra está em equilíbrio,

encontre a frequência angular para seu movimento descrito no plano vertical, no caso de pequenas oscilações. Momento de inércia da

esfera (atada à barra) I = ML2. Despreze as reações vinculares do meio e da articulação. Resp: 0 = √ [(g/L) + (k/4.M)]

06) - Uma chapa circular de raio R e momento de inércia I é suspensa por uma vara de torção cuja constante de torção é

k'. (ver Figura 3). Sua borda é ligada a um suporte fixo, por intermédio de uma mola ideal de constante K, como mostra a figura 3.

Mostre que, quando a chapa sofre um deslocamento angular inicial e depois é solta, ela oscilará segundo um MHS angular, cuja

freqüência é de  = (k´ +KR2) / I.

07) - Um pêndulo simples constituído por um fio de comprimento 80 cm e uma massa de 0,30 kg. No instante inicial, o

mesmo é deslocado 15º de sua posição de equilíbrio e então liberado. Encontre (a) a frequência angular e o período; (b) a função de

deslocamento angular; (c) o valor máximo da velocidade angular ; (d) o valor máximo da tensão no fio.

Resp: (a) 3,501 /s, 1,795 s ; (b) (0,262) sen [3,501.t + /2] ; (c) 0,917 /s ; (d) 3,14 N

08) – Tem-se uma barra de comprimento L, suspensa por uma de suas extremidades, de modo a oscilar livremente como

um pêndulo composto. Encontre: a) o período; b) o comprimento do pêndulo simples equivalente; c) o período de oscilação se a barra

for suspensa por um eixo que está uma distância, de uma das extremidades, igual ao comprimento do pêndulo simples equivalente

determinado previamente.

09) - Um pêndulo de torção consiste de um halteres suspenso em seu centro por um fio rígido que pode ser torcido. O

halteres, de tamanho L, têm uma massa M em cada extremidade. Quando deslocado de sua posição de equilíbrio, =0 ele oscila na

horizontal, devido a um torque,  = -. , onde  é a constante de torção. Assumindo que a massa da parte mais estreita do halteres é

desprezível, encontre, para o caso de pequenas oscilações, o período de oscilação [dados: M= 80 g; L =30 cm e  = 2.105 g.cm2/s2.

(b) Se o sistema parte do repouso em  = 0,1 rad, qual é a energia total do sistema? (c) Qual é a velocidade máxima de cada massa,

dada as condições iniciais de (b)? Resp: a) 2,7 s ; (b) 1,0 . 10-4 J; (c) 3,6 . 10-2 m/s.

10) - Duas partículas de massas m1 e m2 , ligadas por uma mola de constante elástica K e tamanho L, estão em repouso

sobre uma superfície horizontal lisa. Fazendo-se esse sistema de massa+mola oscilar como um MHS, encontre a sua frequência.

11) Um sistema massa-mola horizontal é formado por um corpo de massa M e uma mola de constante K e descreve um

movimento harmônico simples com amplitude A. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa

  tmkkmgLtzsp o /cos1/)(:Re 

gLTcLLbgLTasp eq 32232322 /);/);/):Re  

 2121 /2//:Re mmmmondekfsp  

de vidraceiro de massa m cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura e gruda no bloco. a) Calcule a nova amplitude e o

novo período. b) Repita a parte (a) supondo que a massa caia sobre o bloco no momento em que ele está na extremidade de sua

trajetória. Resp. a) A2 = A1[M/(M+m)] 1/2 e T2 = 2[(M+ m)/K]

1/2 b) A2 = A1 e T2 = 2[(M+m)/K] 1/2

12) - Ache o movimento resultante da superposição de dois MHS que oscilam na mesma direção (x) dados por x1=cos(t-

/6) e x2=sen(t). Qual seria a equação da trajetória no plano XOY, casos os dois OHS se movessem em direções perpendiculares (x

e y). Resp: a) x(t)=x1(t)+x2(t) = 3 cos( t - /3) ; b) x 2 + y2 – x y = 3/4

13) - A freqüência angular natural de um oscilador amortecido tem valor de 1 rad/s. No instante inicial t=0 o oscilador é

posto em movimento com velocidade v0 = 5 cm/s, estando na posição x0 = 0. Encontre x(t) e esboce um gráfico em cada um dos

seguintes casos: a)  = 0 s-1; b)  = 0, 1s-1 ; c)  = 1s-1; d)  = 2,0s-1; e)  = 3,0s-1

Resp: a) x(t)=0,05 sen (t) ; OHS b) x(t)=0,05 e-0.05t sen (t), fraco ; c) x(t) = 0,06 e-0.5t sen (0,87.t), sub-crítico;

d) x(t)=0,05 t e-t, crítico; e) x(t) = 0,022 e-1,5t (e+1,12t - e-1,12t ), super-critico

14) - Considere um dispositivo formado por um bloco de massa M atado a uma mola cuja constante vale 20 N/m e a

massa é desprezível, em repouso sobre uma mesa horizontal na posição de equilíbrio. Este sistema é atingido por uma pequena bola

de 40 g de argila, que se movimenta a 60 m/s, resultando em um movimento descrito por - dx/dt – 20 x = 2 d2x/dt2. Se a bola fica

grudada no bloco, encontre a expressão para o deslocamento do sistema oscilatório.

Resp.: x(t) = 0,38 exp(-0,25.t) sen (3,15.t)

15) Um oscilador fracamente amortecido perde 1/20 de sua energia inicial durante o primeiro ciclo. Quantos ciclos são

necessários para dissipar a metade da energia inicial? Durante este intervalo de tempo, de quanto se reduz a amplitude?

Resp: a) 13,86 ciclos; b) a amplitude se reduz de 0,70

16) Considere um oscilador amortecido cuja parte oscilante de x(t) é expressa por uma função cosseno. Se a força de

amortecimento é fa = - b.v e a força restauradora é fk = - k.x, mostre, para o caso especial o = 0 e t = 0, que a relação Q = fk /

2.faé válida. (Q é o fator de mérito ou de qualidade).

17) Um sistema corpo+mola oscila a 200 Hz. A constante de tempo do sistema  ( = m/b) é de 2,0 s. No instante t = 0, a

amplitude de oscilação é de 6,0 cm e a energia do sistema oscilante é de 60 J. (a) Que amplitude tem as oscilações nos instantes t =

2,0 s e t = 4,0 s? (b) Que energia é dissipada no primeiro intervalo de 2,0 s e no segundo intervalo de 2,0 s?

Resp: a) 3,64 cm e 2,21 cm. (b) 37,9 J e 14 J.

18) Uma esfera de 3,0 kg, caindo de grande altura na atmosfera, tem a velocidade terminal de 25 m/s. (Admita que a força de

arraste seja da forma –b.v). Agora imagine que a mesma esfera seja pendurada numa certa mola com a constante de força k = 400

N/m e que oscile com a amplitude inicial de 20 cm. (a) Qual a constante de tempo  (=m/b), (b) Em que instante a amplitude será de

10 cm? (c) Que energia terá sido dissipada até a amplitude chegar a 10 cm?

Resp: a) 2,55 s ; (b) 3,54 s ; (c) 6 J.

19) Seja um oscilador forçado amortecido, de frequência natural 0 e coeficiente de amortecimento , submetido a uma força

externa F(t) = F0 cos (e.t). Encontre: a) a potência media devido a força externa, a partir da solução estacionaria x(t) = A() cos

(e.t + ); b) o valor desta grandeza na ressonância, em termos do fator de qualidade Q, se o amortecimento for fraco..

Resp.: a) P(t) = - F0 . e . A(e). sen (e) /2 ; b) P(t) = (F0) 2 Q / (2 m o );

20) – Considere um corpo de 1,5 kg oscilando preso a uma mola de constante 600 N/m perde 3 % de sua energia a cada ciclo.

O sistema oscilante está excitado por uma força senoidal de valor máximo 0,5 N. Determine: a) o fator Q do sistema na ressonância;

b) a frequência  na ressonância; c) a largura do pico de ressonância quando varia a frequência de excitação; d) a amplitude de

oscilação na ressonância; e) a amplitude se a frequência excitadora for 19 Hz.

Resp: a) 209,33 ; b) 20 /s; c) 0.095 /s; d) 17.5 cm; e) 0.854 cm.

Questões do VOL 1 do Tipler (4ª. EDICAO) – PAGS. 403-410 (cap. 14) -

questões 6, 7, 13, 26, 46, 57, 76, 89, 106, 116 (devem ser obtidas diretamente no livro

disponível na biblioteca).

Problema 5

O P

D

x

y

d

Problema 4

R

K’

k

Problema 6

1. Um pêndulo é formado prendendo-se uma barra longa e fina de comprimento L e massa m em um

dado ponto, que esta a uma distância d acima do seu centro.

a) Ache o período deste pêndulo em temos de d, m, L e g, para pequenas oscilações.

b) Trace um diagrama do período em função de d.

c) Qual o d correspondente ao período mínimo?

2. Um disco circular uniforme cujo raio R é 12,0 cm esta suspenso, como um pêndulo físico, de um

ponto em sua borda.

a) Qual o seu período de oscilação?

b) A que distância radial r < R há um ponto de suspensão que origina o mesmo período?

3. Uma roda gira livremente em torno de seu eixo fixo. Uma mola esta ligada a um de seus raios, a

uma distância r do eixo.

a) Considerando que a roda é um aro de massa m e raio R, obtenha a freqüência angular de

pequenas oscilações deste sistema em termo de m, R, r e a constante da mola K.

b) Para r = R.

c) Para r = 0.

4. Duas molas de constantes K1 e K2 estão presas a um bloco de massa m, que pode deslizar numa

superfície horizontal sem atrito.

a) Encontre a frequência de oscilação deste sistema.

b) Encontre a expressão geral para N molas.

5. Uma mola de constante K1 esta ligada a outra mola de constante K2 , a extremidade de uma das

molas esta presa a um bloco de massa m.

a) Encontre a frequência de oscilação deste sistema.

b) Encontre a expressão geral para N molas.

Halliday, Resnick e Walker 4ª edição – Fundamentos de Física

amax = 37,8 m/s 2

a) f = 1,6 Hz; b) Vmax = 1,0 m/s; c) amax = 10 m/s

2 ; d) F = -10x N/m

a) A = 0,50 m; b) x(0) = -0,251 m; c) V(0) = 3,06 m/s

Resnick, Halliday, Krane, 4ª edição. Física

a) T = 0,484 s; b) V = 2,07 m/s; c) w = 13,0 rad/s; d) k = 86,3 N/m; e) Vmax = 4,50 m/s; f) Fmax = 29,9 N

0)))   c m

k b

m

k

R

r a

a) x(1,9s) = 3,27 m; b) V(1,9s) = 43,4 m/s; c) a(1,9s) = -229 m/s2; d) f = 1,33 Hz; e) T = 0,750 s

a) x = 0,12 m

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