Física Básica Teórica IV - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Potiguar (UnP)
Gisele
Gisele12 de Março de 2013

Física Básica Teórica IV - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Potiguar (UnP)

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Apostilas e exercicios de Física sobre o estudo da Física Básica Teórica.
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LISTA DE EXERCÍCIOS #1 - FÍSICA BÁSICA TEÓRICA IV

1. Calcule o número de elétrons ausentes em 2,5 C de carga positiva.

2. A massa de um próton vale mp = 1, 67 × 10 −27 kg, e a de um elétron vale me = 9,11 ×

10−31 kg. Considerando que eles estejam separados por uma distância r = 1,0 × 10−10 m (= 1,0 Å), determine

(a) Módulo da força gravitacional entre eles. Dado: G = 6,67× 10−11 Nm2/kg2.

(b) Módulo da força elétrica entre eles.

(c) Razão entre os módulos das duas forças. Diz-se que a força responsável pela existência dos átomos é a força elétrica, e que a existência de galáxias e sistemas planetários depende da gravitação. Você concorda com isso? Justifique. Por que a força elétrica não precisa ser considerada no caso astronômico (ou precisa)?

3. Duas cargas pontuais de valores q1 = −4,8× 10 −6 C e q2 = 1,6× 10

−6 C estão separadas por uma distância r = 4 mm. Determine

(a) Módulo da força elétrica entre elas.

(b) O número de elétrons excedentes ou faltantes em cada carga.

4. Duas esferas metálicas condutoras pequenas estão suspensas por cabos isolantes de mesmo tamanho ℓ, como mostra a figura. As esferas têm mesma massa m e carga q.

(a) Mostre que, no equiĺıbrio, vale a relação

sen3 θ

cos θ =

q2

16πε0mgℓ2

Sugestão: determine sen θ e cos θ em termos dos comprimentos envolvidos, e decom- ponha as forças nos eixos x e y, separadamente.

(b) Considerando que θ é pequeno, aproxime tg θ por sen θ, e obtenha

x = 3

ℓq2

2πε0mg

1

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(c) Sendo dados ℓ = 120 cm, m = 2 g, g = 9,8 m/s2 e x = 1 cm, qual o valor de q?

5. A figura abaixo mostra um sistema formado por uma barra que está em equiĺıbrio sob a ação de forças elétricas geradas pelas cargas e também sujeita à força gravitacional produzida pela Terra sobre a massa m. Na condição de equiĺıbrio, quanto vale x? Para que o ponto de apoio da barra BC não exerça nenhuma reação sobre a barra, quanto deve ser a distância d?

d

Q

3Q

2Q

4Q

x

l

m

h h A

B C

D

6. Considere que um objeto com uma carga Q < 0 seja colocado no eixo de um anel de cargas de raio R contendo cargas positivas, a uma distância z do plano do anel. O anel tem uma densidade linear homogênea λ = q

2πR (q > 0, |Q| ≪ q), como mostrado abaixo.

z

y

x

R

( + )R z 2 2 ½

Q

l

(a) Determine o campo elétrico ~E resultante num ponto P qualquer do eixo do anel, situado em P(0, 0, z). Podem ser usados resultados já conhecidos.

(b) Determine a força elétrica resultante sobre a carga Q.

(c) Suponha agora que z ≪ R, e obtenha a força de forma aproximada, mostrando que ela é proporcional a z.

(d) Mostre que, se a carga Q for solta, ela oscilará na direção z, em torno do centro do anel, com uma frequência angular dada por

2

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ω =

q|Q|

4πε0mR3

onde m é a massa do objeto de carga Q. Lembre-se que a lei de Hooke para a força

que age num oscilador harmônico é dada (em módulo) por F = kx, e que ω = √

k m .

7. Um anel de plástico de raio R possui cargas positivas distribúıdas de forma homogênea sobre seu peŕımetro, na forma de uma densidade linear de cargas λ. O anel é partido ao meio. Determine o campo elétrico no ponto P, o antigo centro do anel, conforme a figura abaixo. Algumas variáveis relevantes ao problema são sugeridas na figura.

8. Lembrando que o campo elétrico no eixo de um anel situado no plano xy e carregado uniformemente com uma densidade linear λ, carga total q e raio R vale

~E = 1

4πε0

qz

(z2 + r2) 3

2

determine a distância z em que o módulo do campo é máximo.

9. Duas cargas pontuais estão colocadas nas posições A(0, 0) e B(L, 0). As cargas são iguais, e valem ambas q. Uma terceira carga −q é colocada na posição C(L

2 , y), conforme a figura

abaixo. Determine o campo elétrico resultante sobre a carga −q como função de y. Para qual valor de y o campo é mı́nimo? Para qual valor é máximo? Ache os valores Emin e Emax.

qq

- q

y

x

L

L/2

y

3

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10. Quando o campo elétrico no ar seco atinge valores maiores que 3× 106 N/C, o ar torna-se condutor e cargas começam a escapar do corpo que produz o campo elétrico. Qual é a carga máxima que pode permanecer numa esfera metálica de raio R = 1 cm no ar? Se essa carga for positiva, quantos elétrons foram retirados da esfera? Se essa esfera fosse maciça e feita de cobre, quantos elétrons ela teria, considerando que cada átomo de cobre tem 29 elétrons, o mol de cobre vale 63,5 g e a densidade do cobre é de 8,9× 103 kg/m3? Qual a fração de elétrons que foram retirados?

11. Uma pequena esfera de carga q e massa m está em equiĺıbrio em frente a um plano carregado negativamente, como mostra a figura abaixo. O plano é muito grande e pode ser considerado como sendo infinito. Determine

(a) Campo elétrico ~E gerado pelo plano, em função de σ.

(b) Densidade superficial σ do plano, em termos das outras grandezas do problema.

(c) Considerando q = −6,4 × 10−8 C, m = 1 mg, θ = 30◦ e g = 9,8 m/s2, ache o valor numérico de σ.

12. Próximo à superf́ıcie da Terra existe um campo elétrico ~E vertical para baixo de intensi- dade média E = 100 N/C. Considere que queremos fazer “flutuar” uma esfera maciça de alumı́nio de raio R = 2,0 cm. A densidade volumétrica do Al é ̺ = 2,7 g/cm3. Quanta carga, incluindo o sinal, devemos colocar na esfera? Se o campo elétrico produzido por um condutor no ar for maior do que E = 3,0 × 106 N/C, o ar passa a conduzir e o condutor começa a perder cargas na forma de centelhas. Assim, considerando que a esfera de Al tenha a carga determinada anteriormente, calcule o campo elétrico que ela produz nas suas proximidades (para r = R, por exemplo). Você acha então que essa experiência é fact́ıvel? Obs.: g = 9,8 m/s2.

13. Um elétron tem velocidade ~v = 2 × 103 ı̂ + 4 × 103 ĵ quando entra numa região em que há um campo elétrico uniforme dado por ~E = 1500 ĵ (todas unidades no SI). Determine a força ~F sobre o elétron. Qual o tipo de movimento do elétron nas direções x e y? Em que instante de tempo (se houver) o elétron pára na direção y? Qual a distância que ele se desloca em x até parar (se houver)? Obs.: lembrar as equações de movimento de projéteis. Obs.: me = 9,11× 10

−31 kg.

14. Uma carga q é colocado no interior de uma coroa esférica metálica de raios R1 e R2, R1 < R2. A carga é colocada no centro da coroa esférica. Considerando que r é a distância entre um ponto qualquer do espaço e o centro da coroa, pede-se

(a) Campo elétrico na região r < R1.

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(b) Campo elétrico na região R1 < r < R2, isto é, dentro do metal.

(c) Campo elétrico na região r > R2.

(d) Esboço das linhas de campo elétrico dentro e fora da casca.

15. A carga da questão anterior é deslocada do centro de R1 2 , como mostra a figura abaixo.

Após o equiĺıbrio eletrostático ser reestabelecido, pede-se

(a) Esboço das linhas de campo elétrico nessa nova configuração.

(b) O fluxo elétrico total nas regiões r < R1, R1 < r < R2 e r > R2, considerando, como superf́ıcies fechadas, esferas de raios r apropriadas a essas regiões.

(c) Ainda é simples determinar o campo elétrico nas três regiões através da lei de Gauss? Em quais delas? Quais mudanças ocorrem, e o que permanece inalterado?

(d) Descreva qualitativamente o que ocorre com as cargas induzidas nas superf́ıcies in- terna e externa da casca, quando a carga q é movida do centro para a posição da figura.

16. Considere uma superf́ıcie cúbica como a mostrada na figura abaixo. Determine o fluxo elétrico em cada uma das faces, o fluxo total e a carga dentro do cubo se ~E = 3y ı̂ (SI).

17. Considere uma superf́ıcie cúbica como a mostrada na figura abaixo. A aresta do cubo vale ℓ = 3 m. Determine o fluxo elétrico nas faces A e B para os seguintes campos elétricos (módulos em N/C):

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(a) ~E = 2,0 ı̂.

(b) ~E = 4,0 k̂.

(c) ~E = −2x ı̂+ 4y k̂.

Quanto vale, em cada caso, o fluxo elétrico total através do cubo? Quanto vale, então, a carga dentro do cubo?

18. Um cubo de aresta a tem uma carga q positiva no seu centro. Quanto vale o fluxo elétrico através de cada uma das faces do cubo? Quanto vale o fluxo elétrico total através do cubo?

19. Uma região esférica possui cargas de modo que a densidade de cargas é dada por

̺(r) =

0, 0 < R1 k r2 , R1 ≤ r ≤ R2

0, r > R2

onde r é a distância de um ponto qualquer do espaço ao centro da região esférica, e k é uma constante positiva. Determine o campo elétrico ~E nas três regiões, incluindo um esboço das linhas de campo e um gráfico E × r.

20. O cabo coaxial abaixo é formado por um cilindro central maciço muito longo, de raio R1, circundado por uma casca ciĺıdrica de raio R2. No cilindro central existe uma densidade de carga volumétrica distribúıda de forma homogênea, dada pela função

̺ = kρ ρ ≤ R

onde k é uma constante negativa e ρ é a distância de um ponto do espaço até o eixo do cilindro (eixo z). Na casca ciĺındrica externa existe uma densidade superficial de carga positiva constante, também distribúıda de forma homogênea, de valor σ.

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R1R2

r

z

(a) Determine o campo elétrico dentro do cilindro maciço (ρ ≤ R1), entre o cilindro e a casca (R1 ≤ ρ ≤ R2) e na região externa à casca (ρ ≥ R2). Inclua um esboço claro das linhas de campo elétrico e um gráfico | ~E | × ρ, fazendo as devidas hipóteses a respeito dos valores e sinais de k e σ.

(b) Suponha que o campo na região externa à casca, para ρ > R2, deva ser nulo. Qual a relação que deve haver entre k e σ?

21. Instalações que manuseiam grãos ou pós precisam ter um cuidado especial com fenômenos eletrostáticos, dada a possibilidade de ocorrência de centelhas ou descargas elétricas ger- adas pelo acúmulo de cargas nos grãos ou pós. Um exemplo desse problema ocorreu em 1970, quando uma fábrica de biscoitos explodiu por causa de chocolate granulado em pó. Na fábrica, dutos de PVC aterrados serviam de conduto para o pó de chocolate que era as- soprado até um silo de armazenamento. Em algum lugar no trajeto ocorreram duas coisas: o campo elétrico atingiu um valor maior que 3,0 × 106 N/C, de modo que o ar tornou-se condutor, e a energia dispońıvel para uma centelha foi maior que 150 mJ, de modo que o pó podia inflamar-se com a centelha. Suponha que o pó de chocolate fique carregado negativamente ao ser bombeado por um tubo ciĺındrico muito longo de PVC, cujo raio vale R = 5 cm. Suponha também que o pó (e a carga), estejam distribúıdos de forma homogênea em todo o volume do cilindro, com uma densidade volumétrica de cargas ̺.

(a) Usando a lei de Gauss, determine o campo elétrico dentro do tubo, como função da distância ρ até o eixo dele. A intensidade aumenta ou diminui com ρ? Orienta-se para fora ou para dentro do tubo? Inclua um esboço das linhas de campo elétrico e um gráfico E × ρ.

(b) Supondo que |̺| = 1,1 × 10−3 C/m3, determine a intensidade máxima do campo elétrico e para qual valor de ρ ele ocorre. O centelhamento poderia ocorrer? A partir de qual valor de ρ?

22. Uma esfera isolante de raio R tem carga em seu interior. A carga está distribúıda seguindo uma simetria esférica. Sabe-se que a densidade de carga ̺ é proporcional a uma potência da distância r de um ponto qualquer no volume da esfera até o centro. Sabe-se também que o campo elétrico no interior da esfera tem módulo constante, e vale E . Determine a densidade volumétrica de cargas ̺ que produz esse campo de módulo constante.

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23. Duas barras delgadas de comprimento L estão sobre dispostas como abaixo.

a/2-a/2 L + a/2- L + a( /2)

LL

y

x

x

PS

Cada barra possui uma carga total Q distribúıda de forma homogênea, de modo a gerar uma densidade linear de carga λ.

(a) Obtenha o campo elétrico ~Ee gerado num ponto P qualquer situado no lado positivo do eixo x pela barra situada à esquerda do eixo y.

(b) Mostre que a força produzida pela barra da esquerda sobre a barra situada à direita do eixo y é dada por

~F = Q2

4πε0L2 ln

(a+ L)2

a(a+ 2L) ı̂

(c) Mostre que, quando a ≫ L, a força entre as barras é dada, aproximadamente, por

~F ≈ Q2

4πε0a2 ı̂

Para isso, sugere-se usar o desenvolvimento em série de Taylor

ln(1 + z) ≈ z − z2

2 +

z3

3 − · · ·

levando em conta termos até a ordem L 2

a2 . Em seguida, interprete o resultado.

(d) Repita o procedimento, só que agora determine o campo elétrico ~Ed gerado pela barra da direita num ponto qualquer S situado à esquerda do eixo y.

(e) Calcule a força exercida pela barra da direita sobre a barra da esquerda, e compare com o resultado obtido no item (b). É um resultado esperado? Por que?

24. No modelo de Thomsom para o átomo, conhecido como pudim de ameixas, supunha-se que o átomo era uma massa esférica de carga positiva distribúıda uniformemente pelo seu volume, e nessa “massa” os elétrons estavam dispostos como ameixas num pudim (ou passas num panetone). Considere o átomo de hidrogênio, que tem apenas um elétron, de massa me.

(a) Determine o campo elétrico gerado pela carga positiva do átomo de hidrogênio em seu interior. O átomo (de Thomson) é uma esfera que tem um raio R, a carga positiva vale e e está distribúıda uniformemente pelo volume da esfera. Inclua um esboço das linhas de campo.

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(b) Considere agora um elétron (carga −e) a uma distância r do centro. Qual a força sobre esse elétron? Essa força tende a afastar o elétron do centro ou tende a atráı-lo para lá?

(c) Qualitativamente, que tipo de movimento o elétron executa? Se esse movimento for um movimento oscilante, tem uma frequência de oscilação. Nesse caso, determine essa

frequência em termos das grandezas dadas no problema. Obs.: lembrar que ω = √

k m

e que, em módulo, F = kx (lei de Hooke linear).

25. Duas esferas de raio R estão parcialmente superpostas, como mostra a figura abaixo. Elas contêm densidades volumétricas de carga distribúıdas de forma homogênea, de mesmo módulo ̺, mas com sinais opostos, como indicado na figura. O vetor que liga os centros das duas esferas vale ~d. Utilizando apropriadamente a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico ~E na região de superposição é constante, e ache o seu valor.

R

R

d

+

-

26. A reprodução de algumas plantas depende de insetos que transportem grãos de pólen de uma flor para outra. O modo de fazer isso está associado com eletrostática. Abelhas, durante o vôo, adquirem, em geral, carga positiva. Ao se aproximar da antera de uma flor, que é eletricamente isolada e que produz o pólen, grãos saltam da antera para a abelha, ficando áı até a abelha chegar próximo ao estigma de outra flor, que está aterrado, quando então o grão salta para o estigma, fertilizando a flor. Supondo que a carga na abelha seja de 50 pC (1 pC = 1 × 10−12 C), e que ela possa ser aproximada por um condutor esférico, determine o campo elétrico que age sobre um grão de pólen a 2 cm do centro da abelha. Esse campo é uniforme? Explique porque o grão fica grudado na abelha até ela aproximar-se do estigma, quando então o grão salta.

27. Um dipolo elétrico formado por duas cargas 2q e −2q, separadas por uma distância d, estão localizadas nas posições A(2, 1, 3) e B(0,−2, 1), respectivamente. O valor de q é q = 1,6×10−6 C. O dipolo está num campo elétrico homogêneo dado por ~E = 2,0 ı̂+3,0 ĵ−k̂. Determine o vetor momento de dipolo elétrico ~p e o torque que age sobre o dipolo.

28. Duas cargas pontuais q e −q, separadas por uma distância d, formam um dipolo elétrico. Considerando que as cargas estejam dispostas como na figura abaixo, determine o campo

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elétrico resultante ~E no ponto P. Qual o valor de r que maximiza ~E ?

29. A separação entre o ı́on hidrogênio e o ı́on oxigênio numa molécula de H2O vale cerca de r = 0,958 Å. O ângulo entre as ligações H-O é de 105◦ (vértice no H). Sabendo que o vetor momento de dipolo resultante da água tem módulo p = 6,20 × 10−30 C.m, determine a carga efetiva dos ı́ons hidrogênio e oxigênio numa molécula de água.

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