Funções numéricas  - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20006 de Março de 2013

Funções numéricas - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo das funções numericas.
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FUNÇÕES

Função é uma relação. Se tivermos dois conjuntos, a relação entre eles será uma função se todo elemento do primeiro conjunto estiver relacionado (ligado) apenas com um elemento do segundo conjunto.

Com essa definição podemos dizer que função é um tipo de dependência, um valor depende do outro, matematicamente podemos dizer que função é uma relação de dois valores, por exemplo: f(x) = y, sendo que x e y são valores, onde x é o domínio da função (a função está dependendo dele) e y é um valor que depende do valor de x sendo a imagem da função.

Um exemplo prático de função é: o valor que iremos pagar no final do mês na conta de água e energia de nossas casas está em função (está dependendo) de quanto iremos gastar de m3 de água e quantos KW de energia foram consumidos durante o mês. Essa relação é uma função.

Exemplo 1

F(X)= 12x

F(2)=12 . 2

F(2)= 24

Exemplo 2

F(X)= 4 x

F(4)=4 .4

F(4)= 16

FUNÇÃO DO 1º GRAU

Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, isto é, para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y. Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em função de x. O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função e os valores de y são a imagem da função.

Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.

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Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais.

A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. Observe:

Função crescente Função decrescente

Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.

Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.

Exemplos de funções do 1º grau

y = 4x + 2, a = 4 e b = 2

y = 5x – 9, a = 5 e b = –9

FUNÇÃO DO 2º GRAU

Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser igual a zero.

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Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.

Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.

Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:

f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)

f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)

f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)

Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.

Exemplo 1

As soluções reais da desigualdade são os números x, tais que

esta é uma questão de análise de sinal, pois a equação dada pode ser escrita da seguinte forma:

x2+1>2x => x2-2x+1>0

- agora, o que está sendo perguntado é: quando a equação x2-2x+1 é positiva? Vamos fazer a análise de sinal, para isso devemos calcular as raízes. Aplicando Bhaskara, achamos 1 e 1 (raízes idênticas). Portanto, o esboço do gráfico é assim:

- o exercício pede quando ela é positiva. Veja que ela está toda em cima da origem, mas atenção no ponto x=1. Ela vale ZERO, e zero não é positivo nem negativo, portanto ela será positiva em todos os números, menos no 1

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Exemplo 2

O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação . Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a:

primeiro devemos fazer o esboço do gráfico. Veja como é:

- sabendo que o eixo X representa o tempo e o eixo Y representa a altura, então calculando o Yv teremos a altura máxima atingida, e a outra raiz será o tempo que o projétil permanece no ar.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função exponencial natural é a função exp:R R+, definida como a inversa da função logarítmo natural, isto é:

Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x

O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à identidade dada pela reta y=x.

Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.

A Constante e de Euler

Existe uma importantíssima constante matemática definida por

e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:

Ln(e)=1

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Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707- 1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:

e=2,718281828459045235360287471352662497757

Conexão entre o número e e a função exponencial

Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:

ex = exp(x)

Significado geométrico de e

Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.

Propriedades básicas da função exponencial

Se x e y são números reais e k é um número racional, então:

1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).

2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0.

3. Ln[exp(x)]=x para todo x real.

4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)

5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)

6. exp(x.k)=[exp(x)]k

Exemplo 1

Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:

N(t)=No ert

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onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de população.

O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população.

Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.

Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo N=Noert. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...

Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da última contagem?

No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então

N(12)=600=200 er12

logo

e12r=600/200=3

assim

ln(e12r)=ln(3)

Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:

r=ln(3)/12=0,0915510

Finalmente:

N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactérias

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Então, após 36 horas da última contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.

Exemplo 2

LOGARITMOS

O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas vezes, denotado por Ln(u), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x, acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que está no desenho colorido de vermelho.

A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por Ln(u). Em função do gráfico, em anexo, usaremos a definição:

Ln(u)=área(1,u)

Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas tomando u=1, a região se reduzirá a uma linha vertical (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomaremos Ln(1)=área(1,1). Assim:

Ln(1)=0

Quando aumentamos os valores de u, esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de u>0.

O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real.

Propriedades gerais dos logaritmos

Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham sentido as expressões matemáticas:

Propriedades básicas dos logaritmos naturais

Ln(1)=0

Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)

Ln(xk)=k.Ln(x)

Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)

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Exemplo 1

1. Resolver a equação 3x = 7

Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:

log 3x = log 7

Pela propriedade L3:

x.log 3 = log 7 => x = log 7/log 3 = 0,845/0,477 = 1,771

Exemplo 2

2. Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?

Um uso muito comum das propriedades de logaritmo para resolver equações exponencias é no cálculo de juros compostos cuja fórmula é:

onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e t o tempo.

Solução:

Sejam M1 e M2 os montantes correspondentes aos capitais aplicados. Usando a fórmula, temos que:

M1 = 50000(1 + 0,05)t e M2 = 45000(1 + 0,06)t

Temos que determinar o tempo para que M1 = M2. Assim:

FUNÇÃO POTENCIA

Toda função do tipo y = x n, onde "n" é um número natural, é chamada Função Potência. São exemplos de funções potências:

• y = x2

• y = x3

• y = x4

e assim por diante.

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O domínio de y = x n é o conjunto dos reais, porque sempre podemos calcular x n, independente do valor de "x".

Vamos analisá-la observando o gráfico y = x2 abaixo, onde "n" é um número par:

para "x" positivo, o crescimento da função é cada vez mais rápido: para "x" no intervalo [1,2] temos "y" no intervalo [1,4]; para "x" no intervalo [2,3] temos "y" no intervalo [4,9]; para "x" no intervalo [3,4] temos "y" no intervalo [9,16]; e assim por diante.

para "x" negativo, conforme "x" aumenta, isto é, aproxima-se de zero, a função decresce cada vez mais devagar: para "x" no intervalo [-4,-3] temos "y" no intervalo [16,9]; para "x" n

intervalo [-3,-2] temos "y" no intervalo [9,4]; para "x" no intervalo [-2,-1] temos "y" no intervalo [4,1]; e assim por diante.

Observe que o gráfico para "x" negativo é uma reflexão do gráfico para "x" positivo.

Para o caso "n" ímpar, temos o gráfico abaixo.

• Faça uma análise similar ao caso "n" par.

Vamos agora olhar para o gráfico abaixo, onde aparece a função y = x n para diferentes valores de "n", e compará-las:

• Para "x" positivo, quanto maior o valor de "n", mais rápido cresce a função.

• E para "x" negativo, como se comporta a função?

Observe o intervalo [0,1] com atenção. A função de maior grau cresce mais devagar que a de menor grau. Vamos ver porque isso acontece, tomando como exemplo os pontos do gráfico com x = 1/2:

• para a função y = x2, se x = 1/2, y é igual a 1/4;

• para a função y = x3, se x = 1/2, y é igual a 1/8;

• para a função y = x4, se x = 1/2, y é igual a 1/16;

• para a função y = x5, se x = 1/2, y é igual a 1/32.

Enfim, estamos aumentando o grau da função e, para um mesmo valor de "x", obtemos um valor de "y" cada vez menor.

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Exemplo 1

A equação exponencial (2x)x = 16 X 8x2.

Primeiro escrevemos toda a equação como potências de base2obtendo:

2x2 = 24 X (23)x2

até chegar a

2x2 = 24+3x2

ou então,

x2 = – 2

Exemplo 2

A equação exponencial 2 X 3x – 9x + 3 = 0.

Podemos escrevê-la como: 2 X 3x – (32)x + 3 = 0, ou, o que é o mesmo, como:

2 X 3x (3x)2 + 3 = 0.

Mudamos (32)x por (3x)2, pois o resultado do cálculo desta potência não varia com esta modificação.

Ordenando os termos da última expressão, obteremos:

(3x)2 – 2 X 3x – 3 = 0.

Se tratarmos esta expressão como se fosse uma equação de segundo grau, podemos considerar 3x como incógnita, 3x = y, e isolando-a, obteremos:

y2 – 2y – 3 = 0

Agora comprovamos se alguma das soluções é válida:

Para y = 3, teremos 3x = 3

onde deduzimos que: x = 1.

Se y = – 1, teremos 3x = – 1

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o que implica que não teremos solução para este valor, porque as funções exponenciais são sempre positivas.

POLINOMIAL

Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:R R definida por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

onde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é o termo constante.

Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.

Uma das funções polinomiais mais importantes é f:R R definida por:

f(x) = a x² + b x + c

O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros

Exemplo

O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:

p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27

FUNÇÃO RACIONAL

Toda função do tipo y = 1/x n, com x diferente de zero, é um caso particular de Função Racional. São exemplos dessas funções:

• y = 1/x2

• y = 1/x3

• y = 1/x4

e assim por diante.

O domínio de y = 1/x n é o conjunto dos reais, menos o zero, pois 1/ 0 não está definido.

A função y = 1/x estudada no capítulo de proporcionalidade inversa também é um caso particular de Função Racional, onde "n" é um número ímpar. Vamos analizá-la:

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• podemos fazer "x" crescer tanto quanto quisermos (em valor absoluto) e teremos um "y" cada vez menor, aproximando-se mais e mais de zero, sem nunca alcançá-lo;

• podemos também fazer "x" ter um valor muito próximo de zero (em valor absoluto), obtendo, neste caso, um "y" tão grande quanto quisermos, sem limite.

Para o caso "n" par, temos o gráfico abaixo.

• Faça uma análise similar ao caso "n" ímpar.

Vamos olhar agora para o gráfico abaixo, onde aparece a função y = 1/x n para diferentes valores de "n", e compará-las:

• quanto mais aproximarmos o valor de "x" do infinito (tanto positivo quanto negativo), menor será o valor de "y", aproximando-se mais e mais de zero. Por exemplo:

- se x = 10000 => y = 1/10000 n = 0,0000...

- se x = -10000 => y = -1/10000 n = -0,0000...

Ambos aproximan-se de zero.

• quanto mais aproximarmos "x" de zero (tanto pela direita do eixo OY quanto pela esquerda), maior será "y" (em valor absoluto), podendo ser tão grande quanto quisermos.

- se x = 0,00001 => y = 1/ 0,00001 n = 10000000...

- se x = -0,00001 => y = 1/ 0,00001 n = -10000000...

• no intervalo [0,1] há uma mudança no comportamento da família de funções. Observe no gráfico e acompanhe o raciocínio abaixo:

- para a função y = 1/x2:

se x = 1/2 => y = 4

se x = 2 => y = 1/4

- para a função y = 1/x3:

se x = 1/2 => y = 8

se x = 2 => y = 1/8

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- para a função y = 1/x4:

se x = 1/2 => y = 16

se x = 2 => y = 1/16

FUNÇÃO INVERSA

Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A por:

R-1 = { (y,x) BxA: (x,y) R }

Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por

R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}

Então:

R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}

Observação: O gráfico da relação inversa R-1 é simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta y=x (identidade).

Exemplo

Encontre a função inversa de f(x) = x3 + 2.

Escreva y = f(x);

Y = x3 + 2

Resolva essa equação para x em termos de y (se possível);

x3 = y – 2

Para expressar f-1 como uma função de x, troque x por y. A equação resultante é y = f-1(x).

DERIVADAS

Derivada de uma função do 1.º grau

A derivada de uma função do 1.° grau é igual ao coeficiente de x.

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f(x) = ax + b →f’(x) = a

Derivada da função potência

A derivada de uma função potência de x, de expoente genérico “n", é verificada pela definição de derivadas e pelo binômio de Newton.

f(x) = xn→ f’(x) = n . xn-1

Derivada do produto de função por uma constante

A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função.

g(x) = K . f(x) →g(x) = K . f (x)

Derivada da soma de funções

A derivada de uma soma de unções é igual à soma das derivadas dessas funções.

f(x) = u(x) + v(x)→ f(x) = u(x) + v(x)

Derivada da função potência

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Sendo u uma função real de x, e sendo n um número real, então a derivada da função y = un é dada por y = un→ y’ = n . un-1 . u’ onde u’ é a derivada de u em relação a x.

Derivada do produto de funções

Sendo u e v funções de x, a derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de uma das funções pela derivada da outra.

y = u . v →y = uv + uv

onde u e v são as derivadas de u e v, respectivamente, em relação a x.

Derivada do quociente de funções

Sendo u e v funções reais de x, a derivada do quociente destas funções é dada pela relação:

onde u’ e v’ são as derivadas de u e v, respectivamente, em relação a x.

Derivada da função exponencial

Sendo “a” um número real ( a > 0 e a 1) e “u” uma função de x, então a derivada da função y = ax é dada por

y = au →y’ = au . lna . u’

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Importante:

Como conseqüência desta relação, obtém-se a seguinte fórmula: y = eu →y’ = eu . u’

Derivada da função logarítmica

A derivada de uma função logarítmica é dada pela fórmula:

Derivada da função seno

A derivada da função seno de um arco u, onde u é a função de x, é:

y = sen u→ y’ = u’ . cos u

Derivada da função co-seno

A derivada da função co-seno de um arco u, onde u é uma função de x, é:

y = cos u→ y’ = – u’ . sen u

Derivada da função tangente

A derivada da função tangente de um arco u, onde u é uma função de x, é:

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y = tg u →y’ = u’ . sec2 u

Importante:

y = sen x →y’ = cos x

y = cos x →y’ = – sen x

Exemplo 1

.

Exemplo2

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.

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