Gablistacircunferenretasout2009, Exercícios de Absorção. Universidade de Brasília (UnB)
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33dd29410 de Maio de 2015

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COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

LISTA DE CIRCUNFERÊNCIA - GABARITO

1) Determine a equação da circunferência de centro C e raio r, nos seguintes casos: (a) e (b) e (c) e

Solução. Em cada caso serão substituídos os valores na equação .

a)

b) c)

2) Determine o centro e o raio de cada circunferência dada. a) b) c)

Solução. Podemos completar quadrados ou utilizar as fórmulas de identificação de centro e raio.

a)

b)

c) 3) Verifique se as equações dadas representam circunferências. Em caso afirmativo determine o centro e o raio.

a) b) c) Solução. Em cada caso, verificar as condições de existência e, se positivo, identificar os termos.

a) b) c)

4) Determine os pontos de interseção da circunferência definida pela equação com o eixo Ox.

Solução. A interseção será determinada pelos pontos onde a ordenada y = 0.

5) Determine os pontos P e Q onde a reta definida por encontra a circunferência dada por . Solução. Os pontos são as soluções do sistema determinado pelas duas equações.

. Substituindo na 2ª equação, vem:

6) Determine as interseções da reta com a circunferência .

Solução. Isolando “x” na equação da reta e substituindo na equação da circunferência, temos:

7) Ache a equação da circunferência que passa pelos pontos , e . Solução. A equação geral da circunferência pode ser escrita como . Se os pontos pertencem à circunferência devem satisfazer à equação. Substituindo e resolvendo o sistema, temos:

8) (COVEST) Determinar a equação da circunferência que tem um de seus diâmetros determinado pelos pontos A (5, -1) e B(-3, 7). Solução. O centro da circunferência localiza-se no ponto médio de AB. O raio é a metade do diâmetro, isto é, vale a metade da distância de A até B.

9) (COVEST) Determinar a equação da circunferência que passa pela origem e tem centro em (4, -3). Solução. Se a circunferência passa pela origem, o raio é a distância de (4, -3) a (0, 0).

10) (COVEST) Determinar a equação da circunferência que passa por A(-1,6) e é tangente ao eixo dos “y”, no ponto B(0, 3). Solução. Se a circunferência é tangente no ponto (0, 3) o raio é perpendicular ao eixo Y neste ponto. Logo o centro possui ordenada 3. Isto é, o centro é da forma (x, 3). A distância do centro ao ponto A e ao ponto B vale o raio.

11) (FATEC) Seja C a circunferência de equação x² + y² - 6x - 4y + 9= 0. Um quadrado, cujos lados são paralelos aos eixos cartesianos, está inscrito em C. O perímetro desse quadrado é: Solução. A diagonal do quadrado vale o diâmetro da circunferência. Com a diagonal calculamos o lado e, portanto o perímetro.

12) (COVEST) Determinar a posição do ponto P em relação à circunferência λ nos seguintes casos:

a) P(2, 3) e (λ) (x – 1)² + (y – 1)² = 4 b) P(1, ) e (λ) x² + y² - 4x – 4y + 4 = 0

Solução. Esta verificação é realizada substituindo o ponto na equação da circunferência. Se na equação reduzida o resultado for igual ao raio, ele pertence à circunferência. Resultado maior ou menor que o raio o ponto será, respectivamente, externo ou interno. No caso da equação geral, a substituição do ponto resultará um valor menor, igual ou maior que zero que indica respectivamente um ponto interior, pertencente ou exterior à circunferência.

a)

b)

13) (COVEST) Calcule o raio da circunferência tangente à reta 3x + 4y – 60 = 0 e concêntrica à circunferência de equação x² + y ² = 9 é:

Solução. O raio da circunferência pedida é a distância do centro à reta tangente. O centro é o mesmo que da

circunferência concêntrica (x – 0)2 + (y – 0)2 = 32 que vale C(0,0).

14) (PUC) Seja a circunferência (λ) x² + y² - 4x =0, determinar a área da região limitada por λ.

Solução. Encontrando o raio, calcula-se a área pela fórmula conhecida.

15) (COVEST) Ache a equação da reta que passa pelo centro da circunferência (x + 3)² + (y – 2)² = 25 e é perpendicular à reta 3x – 2y + 7 = 0.

Solução. Identificando o centro e o coeficiente angular da reta perpendicular, encontra-se a reta pedida.

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