Geometria Analitica - Apostilas - Química, Notas de estudo de Química. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)
Paulo89
Paulo895 de Março de 2013

Geometria Analitica - Apostilas - Química, Notas de estudo de Química. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)

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Apostilas e exercicios de Quimica sobre o estudo da geometria analitica, sistema cartesiano.
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SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO PLANO

1

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO PLANO

Um sistema de eixos ortogonais no plano é constituído de duas retas orientadas x e y, perpendiculares entre si concorrendo no ponto 0 (origem). A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo das abscissas; a reta orientada y é denominada eixo y ou eixo das ordenadas. Os eixos coordenados x e y dividem o plano em 4 partes ou quadrantes.

Por um ponto qualquer do plano traçam-se perpendiculares sobre cada um dos eixos, determinando neles os pontos Px e Py tal que x = OPx e y = OPy. Sendo assim podemos associar a cada ponto P do plano um par ordenado de números reais, ficando P determinado por suas coordenadas cartesianas (ou retangulares); P(x,y) onde x é abscissa e y é a ordenada de P. Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se no plano um único ponto P. Há, portanto, uma correspondência bijetiva (biunívoca) entre os pontos do plano e os pares de números reais. Particularidades:

a) O(0,0): origem do sistema cartesiano b) Px(x,0): projeção ortogonal de P sobre o eixo das abscissas c) Py(0,y): projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO ESPAÇO

É constituído por três retas orientadas x, y e z mutuamente perpendiculares entre si e concorrentes no ponto O.

Elementos:

 ponto O: origem do sistema cartesiano

 retas orientadas: eixos cartesianos: Ox, Oy e Oz.

 Planos: planos cartesianos xOy, xOz e yOz.

Pelo ponto P do espaço traçam-se três planos paralelos aos planos coordenados individualizando um paralelepípedo retângulo que intercepta os eixos x, y e z nos pontos Px, Py e Pz respectivamente.

Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla ordenada de números reais P(x,y,z) que são suas coordenadas, onde:

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2

x = OPx: abscissa y = OPy: ordenada z = OPz: cota

Este sistema estabelece uma correspondência bijetiva entre cada ponto do

espaço e a terna ordenada de números reais. Os planos coordenados dividem o espaço em 8 regiões denominadas octantes. Particularidades:

a) O (0,0): origem do sistema. b) P1(x,y,0), P2(0,y,z) e P3(x,0,z): projeções ortogonais de P sobre os planos coordenados. c) Px (x,0,0), Py(0,y,0) e Pz(0,0,z): projeções ortogonais de P sobre os eixos

coordenados.

Exercícios:

1) Determinar as coordenadas dos pontos do gráfico abaixo:

2) Representar graficamente os seguintes pontos:

A (1,2,3), B (2,-3,4), C (1,-2,-3), D (2,3,-2) e E (-2,-2,3)

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3

VETORES: Definições.

 Reta orientada (eixo): uma reta é orientada quando é fixado um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.

 Segmento orientado AB: é determinado por um par ordenado de pontos, origem A e

extremidade B. Geometricamente é representado por uma seta.

B

A

 Segmento nulo: a extremidade coincide com a origem. É um ponto.

 Segmentos opostos: se AB é um segmento orientado, BA é o oposto de AB.

 Medida de um segmento: fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real não negativo, denominado comprimento

ou módulo. É indicado por AB .

O segmento nulo tem comprimento igual a zero.

Segmentos opostos tem mesma medida.

 Direção e Sentido: dois segmentos orientados não nulos tem a mesma direção se suas retas suportes forem paralelas ou coincidentes. O sentido é dado pela seta.

 Segmentos eqüipolentes: dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Representamos por AB ~ CD.

 Vetor determinado por um segmento orientado AB: é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.

O vetor determinado por AB é indicado por AB ou AB  ou v

.

 Vetores iguais: CDAB  se e somente se AB ~ CD.

 Vetor nulo: é o vetor de direção e sentido arbitrários. É indicado por 0 

.

 Vetores opostos: se ABv  

o oposto é vABBA   .

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4

 Vetor unitário: vetor de módulo um. 1v

.

 Versor de um vetor não nulo v

, é um vetor unitário de mesma direção e mesmo

sentido de v

. v

v vvers

   .

 Vetores colineares: tem mesma direção.

 Vetores coplanares: tem representantes (imagens geométricas) sobre um mesmo plano.

 Soma de ponto com vetor: a soma do ponto A com o vetor v

é o ponto B que é a

extremidade da imagem geométrica de v

construída a partir de A.

ABv

BvA



 

.

OPERAÇÕES COM VETORES

 Adição: Geometricamente a soma de n vetores é feita considerando as imagens geométricas dos

vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem do vetor

seguinte. O vetor resultante é aquele que fecha a poligonal, tendo por origem a origem

do primeiro vetor e extremidade a extremidade do último vetor.

Dados os vetores wevu 

, , obter graficamente:

a) wu  

b) wvu  

c) wu  

d) uw  

e) wvu  

w

v

u

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5

 Multiplicação de número real por vetor:

O produto de um número real 0k por um vetor 0  v é um vetor vkp

  . O vetor vk

tem mesma direção de v

.

Ângulo entre dois vetores

O ângulo de dois vetores não nulos é o ângulo  formado pelas semiretas OA e OB e tal que  0 .

Observações:

a) Se 0 , os vetores tem a mesma direção e o mesmo sentido. b) Se   , os vetores tem a mesma direção e sentidos contrários.

c) Se 2

   os vetores são ortogonais. Indicamos por vu

  .

d) O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor.

e) Se vu   e k , então vku

  .

f) O ângulo formado pelos vetores veu   é o suplemento do ângulo de veu

 .

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6

Exercícios:

1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes. Decidir se é verdadeira

ou falsa cada uma das afirmações:

2. Dado o paralelepípedo a seguir, decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das

afirmações:

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7

3. Com base na figura do exercício 1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com

origem no ponto A.

4. Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com

origem no ponto A.

5. A figura abaixo apresenta um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o

ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada

uma das afirmações:

6. Com base na figura do exercício 5, determinar os vetores abaixo, expressando-os com

origem no ponto A.

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8

7. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:

8. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores ADeAB , sendo M e N pontos

médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar:

9. No hexágono regular ABCDEF, obter:

BDFDFEAEc

BEAEADb

AFFEABa







)

)

)

10. Dados os pontos M, N e P, escrever o vetor PA em função dos vetores PNePM ,

sabendo que o ponto A pertence à reta suporte de MN e tal que AMAN 3 .

11. Qual a condição que devem satisfazer os vetores veu 

de modo que o vetor vu  

seja bissetriz do ângulo por eles formado?

12. Sendo dados 8,4,  vuuvu 

, calcule v

e determine os ângulos que o

vetor vu   forma com u

 e com v

 respectivamente.

13. Os vetores veu 

formam um ângulo de 60 o . Sabe-se que 58  veu

 . Calcule

vuevu   .

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9

Respostas:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. ABAEAD ,,

12.  60,30,34

13. 7,129

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10

VETORES NO 2 E NO 3

Até agora estudamos os vetores sob o ponto de vista geométrico, representando-os por

segmentos de reta orientados. Outra forma de representação é a algébrica, onde os

vetores são relacionados com o referencial cartesiano.

Decomposição de um vetor no plano:

Dados dois vetores 21 vev 

não colineares e um vetor v

coplanar a eles, podemos obter

v

a partir de 21 vev 

(basta determinar vetores que tenham a mesma direção de 21 vev 

e

que somados resultem v

).

v

é combinação linear de 21 vev 

.

 O conjunto { 21, vv 

} é denominado base no plano. Qualquer conjunto de dois

vetores não colineares forma uma base no plano.

 Os números 21 aea são as componentes ou coordenadas de v

em relação à base

{ 21, vv 

}.

Na prática as bases mais utilizadas são as ortonormais, isto é, as bases compostas por

vetores unitários e ortogonais.

Dentre as infinitas bases ortonormais no plano destaca-se a base que determina o

sistema cartesiano ortogonal xOy denominada base canônica. Os vetores unitários e

ortogonais são simbolizados por jei 

, ambos com origem na origem do sistema e

extremidades em    1,00,1 e respectivamente. Base canônica  ji 

, .

Expressão analítica (ou cartesiana) de um vetor

Fixada uma base, usaremos a canônica, fica estabelecida uma correspondência

biunívoca entre os vetores do plano e os pares ordenados de números reais. A cada vetor

do plano podemos associar um par ordenado de números reais. Os números x e y são as

componentes ou coordenadas de v

na referida base.

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11

Igualdade de vetores:

Dois vetores    2211 ,, yxveyxu  

são iguais se e somente se 2121 yyexx  .

Operações com vetores:

Sejam os vetores    2211 ,, yxveyxu  

e  .

 

 11

2121

,

,

yxu

yyxxvu

 

 



Vetor definido por dois pontos.

Um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesma

direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Quando as componentes de um vetor

AB são calculadas pela diferença AB  , temos o representante cuja origem está na origem do sistema.

Exemplo: Dados os pontos A(-2,3), B(1,4), C(1,2) e D(4,3) determinar os vetores

CDeAB .

Paralelismo de dois vetores.

Dois vetores    2211 ,, yxveyxu  

são paralelos se existe um número real  tal que

vu 



   2211 ,, yxyx     2211 ,, yxyx 

2121 yyexx  

 2

1

2

1

y

y

x

x Dois vetores são paralelos quando suas componentes são proporcionais.

Considera-se o vetor nulo paralelo a qualquer vetor.

Se uma das componentes de um vetor for nula, a respectiva componente de um vetor

paralelo também é nula.

Módulo de um vetor

Seja  yxv , 

pelo teorema de Pitágoras temos que 22 yxv  

A distância entre dois pontos    2211 ,, yxBeyxA é o módulo do vetor AB .

ABBAd ),( .

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12

Vetores no espaço

A base canônica no espaço é composta pelos vetores keji 

, representados com origem

no ponto O.

Igualdade de vetores:

Dois vetores    222111 ,,,, zyxvezyxu  

são iguais se e somente se

212121 , zzeyyxx  .

Operações com vetores:

Sejam os vetores    222111 ,,,, zyxvezyxu  

e  .

 

 111

212121

,,

,,

zyxu

zzyyxxvu

 

 



Paralelismo de dois vetores.

Dois vetores    222111 ,,,, zyxvezyxu  

são paralelos se existe um número real 

tal que vu 



   222111 ,,,, zyxzyx     222111 ,,,, zyxzyx 

212121 zzyyxx  

 2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x Dois vetores são paralelos quando suas componentes são

proporcionais.

Módulo de um vetor

Seja  zyxv ,, 

pelo teorema de Pitágoras temos que 222 zyxv  

A distância entre dois pontos    222111 ,,,, zyxBezyxA é o módulo do vetor AB .

ABBAd ),( .

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13

EXERCÍCIOS:

1. Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e C(3,-1), calcular CBBAeABOA 43  .

(-4,1), e (-5,-30)

2. Dados os vetores      6,121,5,4,2  wevu 

, determinar a e b tais que

vbuaw 

 . a= -1 e b =2

3. Dados os pontos A(2,-2) e B(-1,4) e os vetores    1,23,1  veu 

,

determinar:

a) a) u

c) vu 

32 

b) b) vu   d) d(A,B) 45,97,13,10

4. Calcular os valores de a para que o vetor  2, au

tenha módulo 4. 32a

5. Calcular os valores de a para que o vetor  

  

 

2

1 ,au

 seja unitário.

2

3 a

6. Dado o vetor  4,3 v

, calcular o versor de v

e o versor de v

2 .  

  

 

5

4 ,

5

3

7. Em 3 apresentar o vetor genérico que satisfaz a condição: a) Paralelo ao eixo dos x; b) Representado no eixo dos z; c) Paralelo ao plano xy; d) Paralelo ao plano yz; e) Ortogonal ao eixo dos y; f) Ortogonal ao eixo dos z; g) Ortogonal ao plano xy; h) Ortogonal ao plano xz.

8. Dados os pontos A(2,-3,1) e B(4,5,-2), determinar o ponto P tal que PBAP  .

 

  

 

2

1 ,1,3P

9. Dados os pontos A(1,2,3), B(-6,-2,3) e C(1,2,1), determinar o versor do vetor

BCBAv 23  

.  

  

9

4 ,

9

4 ,

9

7

10. Seja o vetor     kjmimv 

527  . Calcular m para que 38v

.

4m ou 5m

11. Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0,1,2), B(-1,0,-1) e C(2,-1,0).

 3112  12. Dado o vetor  3,1,2 v

 , determinar o paralelo a v

 que tenha:

a) Sentido contrário ao de v

e três vezes o módulo de v

; (-6,3,9)

b) O mesmo sentido de v

e módulo 4;  

  

 

14

12 ,

14

4 ,

14

8

c) Sentido contrário ao de v

e módulo 5.  

  

 

14

15 ,

14

5 ,

14

10

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14

13. Determinar o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3).

,P (-5,-1,-4).

14. Num paralelogramo ABCD, sabe-se que A(1,3,-2) e que as diagonais são

   1,0,23,2,4  BDeAC . Calcular as coordenadas dos outros três vértices. B(4,4,-4), C(5,5,-5) e D(2,4,-3).

15. Verificar se os vetores    

  

 

6

1 ,

6

2 ,

6

1 1,1,1 veu 

são unitários. v

é

unitário

16. Determinar o valor de a para que  aaau 2,2, 

seja um versor. 3

1a

17. Dados os pontos A(1,0,-1), B(4,2,1) e C(1,2,0), determinar o valor de m para

que 7v

, sendo BCACmv  

. 2m

18. Determinar o valor de y para que o triângulo de vértices A(4,y,4), B(10,y,-2) e

C(2,0,-4) seja equilátero. 2y

19. Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto A(-1,2,-2) seja igual a 3. P(0,0,0) ou P(0,0,-4).

20. Dados os pontos A(3,m-1,-4) e B(8,2m-1,m) determinar m de modo que

35AB . 3m ou 1m

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15

PRODUTO ESCALAR

O produto escalar dos vetores veu 

, representado por vu   ou  vu

 , , é o número real

dado por cosvuvu 

  0

 0vu 

, indica que   0cos é agudo ou nulo.  0vu

 , indica que   0cos é obtuso ou raso.

 0vu 

, quando um dos vetores é nulo ou quando os dois vetores são ortogonais.

Propriedades

Para quaisquer vetores wevu 

, e o número real  , valem as propriedades:

I) Comutativa: uvvu  

II) Associativa em relação à multiplicação por escalar:

     vuvuvu   

III) Distributiva em relação à adição de vetores:   wuvuwvu  

IV) 2

uuu 



V) 222

2 vvuuvu 



Expressão analítica do produto escalar

Sejam os vetores kzjyixu 

111  e kzjyixv 

222  .

212121 zzyyxxvu  

1. Dados os vetores kjivekjiu   24853 , calcular vu

  . 14

2. Sendo  

1203,2 evu  o ângulo entre veu 

, calcular vu   e vu

  .

73 e

3. Dados os vetores      1,1,1,1,,12,,1  aweaavaau 

determinar o

valor de a de modo que   wvuvu   a =2

4. Dados os pontos A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3), determinar o vetor x

tal que

 ACABBCxABx  2 .  15,13,17 x 5. Mostrar que os vetores    2,5,43,2,1  veu

 são ortogonais.

6. Usando o produto escalar, mostrar que o triângulo de vértices    1,1,2,1,3,2 BA e  2,2,2 C é um triângulo retângulo.

7. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede

10cm. Calcular ACAB  . 50

8. Os lados de um triângulo retângulo (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular

CBCABCBAACAB  . 169

9. Qual o valor de x para que os vetores   kjixbekjixa 

42145 

sejam ortogonais? -3 ou 2

10. Dados os vetores      xxcexbxa ,8,22,5,2,,1,2  

, determinar o valor

de x para que o vetor ba   seja ortogonal ao vetor ac

  . 3 ou -6

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16

Ângulo de dois vetores

Da definição cos vuvu 

temos:

vu

vu 

 

cos

Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor

Seja o vetor não nulo kzjyixv 

 .

Ângulos diretores de v

são os ângulos  e, que v

forma com os vetores keji 

, .

Cossenos diretores de v

são os cossenos de seus ângulos diretores.

    v

x

v

zyx

iv

iv 

 

 

 

)1(

0,0,1,, cos

    v

y

v

zyx

jv

jv 

 

 

 

)1(

0,1,0,, cos 

    v

z

v

zyx

kv

kv 

 

 

 

)1(

1,0,0,, cos

Os cossenos diretores de v

são as componentes do seu versor:

    cos,cos,cos,,

,,   

 

 

v

z

v

y

v

x

v

zyx

v

v 

 .

Como o versor é um vetor unitário, temos:

1coscoscos 222  

1. Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o

ângulo interno ao vértice B. 45

2. Calcular os ângulos diretores de  0,1,1v

.  9013545

3. Os ângulos diretores de um vetor são e 60,45 . Determinar  .  12060 ou

4. Um vetor v

do espaço forma com os vetores jei 

ângulos de  12060 e ,

respectivamente. Determinar o vetor v

, sabendo que 2v

.  2,1,1  5. Determinar o vetor v

 , sabendo que 4v

 , v

é ortogonal ao eixo Oz, forma

ângulo de 60 com o vetor i

e ângulo obtuso com j

.  0,32,2 

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17

Projeção de um vetor sobre outro.

Sejam dois vetores u

e v

não nulos e  o ângulo entre eles.

Podemos decompor v

tal que 21 vvv   sendo uveuv

 21 // .

O vetor 1v

é denominado projeção ortogonal de v

sobre u

e é representado por

vprojv u  1

Se uvuv   11 //

Sabendo que 21 vvv   , temos:

12 vvv   , substituindo 1v

uvv  2

Se 022  uvuv 

uu

uv

uuuv

uuuv

uuv











 







0

0)(

vprojuv u  1

u uu

uv vproju

 

   )(

 

Interpretação geométrica do módulo do produto escalar

O módulo do produto escalar dos vetores uev 

, sendo u

unitário, representa o

comprimento do vetor projeção de v

sobre u

.

Determinar o vetor projeção de  3,2,1 u

na direção de  2,1,2 v

.

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18

Exercícios:

1. Calcular n para que seja de 30 o ângulo entre os vetores   jvenu   2,,1 .

15

2. Determinar o vetor v

, paralelo ao vetor  2,1,1u

, tal que 18uv 

.

 6,3,3  3. Determinar o vetor v

 , sabendo que 5v

 , v

é ortogonal ao eixo Oz, 6wv 

e kjw 

32  .  0,3,4

4. Sabe-se que 4

1 cos

2

1 cos,2   ev

 . Determinar v

 .

 

 

 

2

11 ,

2

1 ,1

5. O vetor v

é ortogonal aos vetores    2,0,13,1,2  weu 

e forma ângulo

agudo com o vetor j

. Calcular v

, sabendo que 63v

.  1,7,2

6. Determinar o vetor v

, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições

101 vv 

e 52 vv 

, sendo  1,3,21 v

e  2,1,12 v

.  0,4,1 7. Calcular o módulo dos vetores vu

  e vu

  , sabendo que 4u

 , 3v

e o

ângulo entre veu 

é de 60 . 1337 e

8. Sabendo que 2u

, 3v

e o ângulo entre veu 

é de rad 4

3 , determinar

   vuvu 

22  . 21526

9. Determinar wvwuvu   , sabendo que 2u

 , 3v

e 5w

. -9

10. O vetor v

é ortogonal aos vetores  0,2,1a

e  3,4,1b

e forma ângulo agudo

com o eixo Ox. Determinar v

, sabendo que 14v

.  4,6,12 

11. Calcule o ângulo formado pelos vetores kjivekjiv 

2222 21  e

determine um vetor unitário sobre a bissetriz do ângulo desses vetores.

 

  

  

  

   0,

10

1 ,

10

3

9

4 cosarc

12. Dados os vetores    1,3,22,2,1 21  vev 

, determine os vetores bea 

tais que 121 //, vbevavba   .

   21322329227 ,,10,,9   ba 

13. Os vetores bea 

formam um ângulo de 60°. Calcule um ângulo formado pelos

vetores veu 

, sabendo que bau 

2 , 26,  beabav 

.

182

9111 cosarc

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19

14. Os vetores veu 

são dois lados consecutivos de um paralelogramo e formam

um ângulo de 60°. Calcule o ângulo formado pelas diagonais do paralelogramo,

sabendo que 24  veu 

.  

 

7

21 cosarc

15. Dados os vetores    1,1,11,1,0  veu 

determine os vetores w

, sabendo que

    5;  wevvwuuw 

. (1,2,0) e (1,0,2)

16. Um vetor unitário v

forma com o eixo coordenado Ox um ângulo de 60° e com

os outros dois eixos Oy e Oz ângulos congruentes. Calcule as coordenadas desse

vetor e o ângulo que ele forma com um vetor kjw   .

  

 

  30

4

6 ,

4

6 ,

2

1 v

17. Os vetores veu 

formam um ângulo de  3

2 rad. Sabe-se que 54  veu

 .

Calcule:

       

    1613232) 61)

6123)







vuvuc

vuvub

vuvua







18. Dados os vetores unitários wevu 

, que satisfaçam a condição 0   wvu ,

calcule      wvwuvu   . –3/2

19. Os vértices de um triângulo são M( 1,1,2), N(5,1,3) e Q( -3,9,3). Calcule as

coordenadas do vetor HM

, onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. (2,2,1)

20. Determine u

tal que 2u

, o ângulo entre  0,1,1veu 

seja de 45° e que

 0,1,1u

.

 

 

 

 1,

2

2 ,

2

2

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20

Produto vetorial ou externo

O produto vetorial dos vetores  111 ,, zyxu  

e  222 ,, zyxv  

, nesta ordem,

representado por vu   ou vu

  , é o vetor:

222

111

zyx

zyx

kji

vu



 

Propriedades:

     

 

 

)()(:)10

:)9

:)8

,:)7

:)6

0 0)5

)4

)3

)2

0)1

2222

wvuwvuoassociativéNão

senvuvuMódulo

vuvuvuLagrangedeIdentidade

positivotriedroumformamvuevuSentido

v

u vuDireção

vku

u vu

wuvuwvu

vmuvumvum

uvvu

uu









 





















  

 









Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores )3,1,2( u

e

)0,1,1(v

.

Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:

a) ij 

2 b) ki 

23 

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21

Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial

Geometricamente o módulo do produto vetorial mede a área do paralelogramo

determinado pelas imagens geométricas de dois vetores.

Exercícios:

1. Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores )0,1,4()2,1,3(  veu 

.

117 u.a.

2. Calcular a área do triângulo de vértices A(-1,2,-2), B(2,3,-1) e C(0,1,1). 62 u.a.

3. Calcular x, sabendo que A(x,1,1), B(-2,0,1) e C(1,-2,0) são vértices de um triângulo

de área 2

29 .

5

1 3  xoux

4. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores abeba  2 , sendo

)3,0,1()2,1,3(  bea 

. kk ),1,7,3(

5. Sabendo que  

452,3 eba  é o ângulo entre bea 

, calcular ba   . 3

6. Se 33ba 

,  

603 ea  é o ângulo entre bea 

, calcular b

. 2

7. Dados os vetores )1,1,2()2,4,3(  veu 

, obter um vetor de módulo 3 que seja ao

mesmo tempo ortogonal aos vetores vuevu  2 .  15,3,6

30

1 

8. Calcular a área do triângulo de vértices A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3). 6 u.a.

9. Dado o triângulo de vértices A(0,1,-1), B(-2,0,1) e C(1,-2,0), calcular a medida da

altura relativa ao lado BC. 7

353 u.c.

10. Dados os vetores  2,1,1)2,2,2(,)1,1,0(  wevu 

, determinar o vetor x

,

paralelo a w

, que satisfaz à condição: vux   .  4,2,2 

11. Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores

)3,1,2()0,1,1(  bea 

.  1,1,1 3

1 

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22

12. Determinar o valor de m para que o vetor  mw ,2,1 

seja simultaneamente

ortogonal aos vetores )1,3,1()0,1,2(  veu 

. 5m

13. Determine u

tal que 2u

, o ângulo entre  0,1,1veu 

seja de 45° e que

 0,1,1u

.

 

 

 

 1,

2

2 ,

2

2

14. Determinar u

tal que    6,4,21,3,2,33  ueuu 

. Dos vetores determinados,

qual o que forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0)? (3,-3,-3) e (-3,3,3) o

primeiro

15. Resolva o sistema  

   





kikjia

kjia 



22

9432 . kjia

 

16. Determine a

tal que     62  aekjikia  

. (-1,2,1)

17. Determinar vu   , sabendo que 113,12  veuvu

 . 5vu



18. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores uvevu   2 sendo

   2,1,00,2,3  veu 

. Um deles é (-12,-18,9)

19. Dados os vetores    1,2,22,1,3  veu 

, calcular:

a) área do paralelogramo determinado por veu 

; 103

b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v

. 10

20. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores veu 

, sabendo que

suas diagonais são    2,1,14,3,1  vuevu 

. 35

21. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo A( 4,2,1),

B( 1,0,1) e C( 1,2,0). 5

7 h

22. Dado o vetor  0,1,2u

, determinar o vetor v

ortogonal ao eixo Oz, sabendo que

26  vuevu 

. (2,-2,0) ou (-2/5, 14/5, 0)

23. Dado  1,2,1u

, determine um vetor v

ortogonal ao eixo Ox tal que

1331vu 

e que o vetor vu   forme ângulos congruentes com os eixos Oy e

Oz.  11,11,0  

v

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23

24. São dados os vetores      8,6,263,2,1,1,1,1  wevu 

. Determinar os vetores

bea 

, ortogonais entre si, sabendo que a

é simultaneamente ortogonal aos vetores

wbaqueeveu   .    5,10,253,4,1  bea



25. É dado o vetor  2,1,0v

. Determine o vetor w

ortogonal ao eixo Ox, sabendo que

12wv 

e que 4wv 

. (0,-4,4) ou (0, 28/5, -4/5)

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24

Produto misto

O produto misto dos vetores  111 ,, zyxu  

,  222 ,, zyxv  

e  333 z,y,xw  

, nesta

ordem, representado por  wvu 

,, ou  wvu 

,, é o número real wvu   .

 

333

222

11

,,

zyx

zyx

zyx

wvu  

Propriedades:

I) Nulidade:  wvu 

,, =0 quando:

a) um vetor é nulo, b) dois vetores são paralelos, c) três vetores são coplanares.

II) Cíclica: O produto misto independe da ordem circular dos vetores:

 wvu 

,, =    vuwuwv 

,,,, 

Porém muda de sinal quando trocamos a posição de dois vetores consecutivos:

 wvu 

,,  wuv 

,, .

O produto misto não se altera se os sinais  e forem permutados entre si.

wvu   wvu

 

III) Associativa em relação à multiplicação por número real

m  wvu 

,, =  wvum 

,, =  wvmu 

,, =  wmvu 

,,

Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são

coplanares?

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25

Módulo do produto misto:

  cos,, wvuwvu 

  é o ângulo formado pelos vetores vu   e w

 podendo

ser agudo ou obtuso.

Interpretação geométrica do módulo do produto misto

Geometricamente o módulo do produto misto dos vetores u

, v

e w

, representa o

volume de um paralelepípedo cujas arestas são as imagens geométricas destes

vetores.

Exercícios:

1. Sabendo que     5,,2,,  xwvexwu 

, calcular:

       

10)24)36)2)

,2,35),,42)2,3,3),,)





dcba

xwvudxwvucxwubwxua 

2. Um paralelepípedo é determinado pelos vetores

     5,1,21,0,2,4,1,3  wevu 

. Calcular seu volume e a altura relativa à base

definida pelos vetores veu 

. 30

17 17 e

3. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos

vetores  2,1,01 v

,    2,,31,2,4 32  mvev 

seja igual a 33. Calcular a

altura desse paralelepípedo relativa à base definida por 21 vev 

.

89 334 417   hmoum

4. Dados os pontos A( 2,1,1), B( -1,0,1) e C( 3,2,-2), determinar o ponto D do eixo Oz

para que o volume do paralelepípedo determinado por DAeCABA 

, seja 25 u. v.

(0,0,-10) ou (0,0,15)

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26

5. Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A( 2,0,0), B( 2,4,0), C( 0,3,0) e P( 2,-2,9). Qual a altura do tetraedro relativa ao vértice P?

V= 12 h= 9

6. Sabendo que os vetores      2,1,33,1,,4,1,2  DAemCABA 

determinam

um tetraedro de volume 3, calcular o valor de m. m= -17/2 ou m= 19/2

7. Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores:

            323,0,3,2,1,1,,2)

6,3,2,0,1,,1,2)





koukwekvkub

kkkwevkua 



8. Mostre que    wvuwuwvvu 

,,2,,  .

9. Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são coplanares? m=4

10. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos

vetores      1,0,42,,6,0,1,2 321  vemvv 

seja igual a 10. 6 ou -4

11. Determinar o valor de k para que os vetores    kbka ,2,1,1,,2  

e )3,0,3( c

sejam coplanares. 32  kk

12. Os vetores     )1,,1(4,1,1,3,1,2  mmceba 

determinam um

paralelepípedo de volume 42. Calcular m. 3

8 ,2

  mm

13. Dados os pontos A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1,m,1), determinar o valor de m para que seja de 20 u.v. o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores

ADeACAB, . 6 ou 2

14. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e

D(4,2,7). Calcular a altura relativa ao vértice D. 3

12 2 e

15. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A(-1,3,2), B(0,1,-1), C(-2,0,1) e

D(1,-2,0). Calcular a altura relativa ao vértice A. 10

8 4 e

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27

A reta

Uma reta fica determinada ou definida quando dela conhecemos a posição e a direção.

A posição é assegurada por um ponto conhecido (ponto diretor) e a direção através de

um vetor não nulo, também conhecido (vetor diretor).

Equações:

Seja r uma reta que passa pelo ponto ),,( 111 zyxA  e tem a direção do vetor não nulo

),,( cbav  

. Para que um ponto ),,( zyxP  do espaço pertença à reta é necessário que

os vetores veAP

sejam paralelos.

vtAP

vtAP

tvtAP





 ,

Substituindo ),,( zyxP  , ),,( 111 zyxA  e ),,( cbav  

, temos a equação vetorial da

reta.

Equação vetorial da reta: ),,(),,(),,( 111 cbatzyxzyx  .

Ex.: )5,3,1()4,0,1(:  tPr

Equações paramétricas da reta: Da equação vetorial isolamos x, y e z, obtendo assim

as equações paramétricas da reta  

 







ctzz

btyy

atxx

1

1

1

.

Ex.:  

 





12

4

32

tz

ty

tx

Equações simétricas da reta: c

zz

b

yy

a

xx 111  

 

Ex.: 35

2

2

3 : 1

zyx r

 

Equações reduzidas da reta:

)1,,(),1,(),,1(

)0,,(),0,(),,0(

pmvpmvpmv

qnPqnPqnP

qpyy

nmzx

qpyz

nmyx

qpxz

nmxy



  





  





  







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28

Exercícios:

1. Determinar um ponto e um vetor diretor de cada uma das retas:

a)  

 





tz

ty

tx

2

21

2

b) 2

1

12

4

 

 

zyx

c)   





zy

zx

21

2 d)

  





xz

xy

42

31

e)   



yz

yx

1 f) zyx 

2. Determinar as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto

A(1,3,0) e tem a direção do vetor )1,4,3( v

.

3. Determinar as equações reduzidas, sendo y a variável independente, da reta que passa

pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,1).

p. 132: 1,2,6,8

Casos particulares

Até agora utilizamos as componentes do vetor diretor não nulas, no entanto uma ou

duas destas componentes podem ser iguais a zero.

1° caso: Uma das componentes do vetor é nula.

O vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, sendo assim a reta é paralela ao plano

dos outros dois eixos.

a) Se yOzrOxcbva //),,0(,0  



 

 

1

11

xx c

zz

b

yy

b) Se xOzrOycavb //),0,(,0  



 

 

1

11

yy c

zz

a

xx

c) Se xOyrOzbavc //)0,,(,0  



 

 

1

11

zz b

yy

a

xx

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29

2° caso: Duas componentes do vetor são nulas.

O vetor tem a direção de um dos vetores kouji 

, e, portanto a reta é paralela a um

dos eixos coordenados.

a) Se xOyrouOzrkcvba  ////),0,0(,0 

  

 

 

 



1

1

1

1

1

yy

xx

ctzz

yy

xx

b) Se xOzrouOyrjbvca  ////)0,,0(,0 

  

 

 

 



1

1

1

1

1

zz

xx

zz

btyy

xx

c) Se yOzrouOxriavcb  ////)0,0,(,0 

  

 

 

 



1

1

1

1

1

zz

yy

zz

yy

atxx

Os eixos coordenados são retas particulares.

  

  

  

0

0 :

0

0 :

0

0 :

y

x Oz

z

x Oy

z

y Ox

Exercícios: p. 134: 11,12,13e,h.

Ângulo de duas retas

É o menor ângulo formado pelos vetores diretores.

21

21 cos

vv

vv 

 

 , 2

0 

 

Exercícios p.135: 14a,c,15

Condições de paralelismo, ortogonalidade e coplanaridade de duas retas.

Se 212121 //// vkvvventãorr 



Se 0212121  vvvventãorr 

Se 1r é coplanar a 2r então 2121, AAevv 

são coplanares   0, 212,1  AAvv 

.

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30

Retas perpendiculares são retas ortogonais e coplanares.

021 vv 

e   0, 212,1 AAvv 

Reta ortogonal a duas retas.

Se  21 2

1 vvkv

r

r r

 

Exercícios p.136: 18a,20,22,23a,24b,d,25,27,31,32,35.

Exercícios:

1. Dada a reta  

 







tz

ty

tx

r

24

3

2

: , determinar o ponto de r tal que:

a) a ordenada seja 6; (-1,6,-10) b) a abscissa seja igual a ordenada; (5/2, 5/2, -3) c) a cota seja o quádruplo da abscissa. (-4,9,-16)

2. O ponto P( m,1,n) pertence à reta que passa por A( 3,-1,4) e B( 4,-3,-1). Determinar P. P(2,1,9)

3. Seja o triângulo de vértices A(-1,4,-2), B(3,-3,6) e C(2,-1,4).Escrever equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto

C.

x = 2 + t, y = -1 – 3/2t, z = 4 + 2t

4. Os pontos M1(2,-1,3), M2(1,-3,0) e M3(2,1,-5) são pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto

médio é M1. x= 2 + t, y = -1 + 4t, z = 3 – 5t

5. Obter equações reduzidas na variável x, da reta:

a) que passa por A(4,0,-3) e tem a direção do vetor (2,4,5); y = 2x – 8 , z = 5/2x – 13 b) que passa pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,-1). y= x/2 – 5/2 , z = -2x + 5

6. Representar graficamente as retas de equações:



  



  

  

  





4

3 )

1

3 )

2

4 )

3

2 )

y

x d

z

y c

xz

y b

z

xy a

7. Dados os pontos A(0,0,1), B( 1,2,1) e C( 1,0,1), obtenha as equações da bissetriz interna do triângulo ABC, relativa ao vértice C. x = 1 – t, y = t, z = 1

8. Escreva as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(2,0,-3) e é

paralela à reta 6

3

4

3

5

1 :

 

zyx s . x = 2 – 15t, y = 4t, z = - 3 + 18t

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31

9. Dada a reta  

 



tz

ty

tx

r

1

: e os pontos A(1,1,1) e B( 0,0,1), determine o ponto de r

eqüidistante de A e B. P(1,0 0)

10. Sejam P( 1,0,1) e Q( 0,1,1). Determine um ponto C da reta PQ tal que a área do

triângulo ABC seja 2

1 .

a) A( 1,3,2), B( 2,2,2) não existe C

b) A( 3,-2,1), B( 0,0,1) (2,-1,1) ou (4,-3,1)

11. Verifique se as retas     3

1 1

2

1 :0,2,10,1,0:

 

 

z y

x setPr são

perpendiculares.

12. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P( 1,0,1) e é

perpendicular à reta  

 



tz

y

tx

r

1

0: . x = 1 + t, y = 0, z = 1 –t

13. Obtenha os vértices B e C do triângulo eqüilátero ABC, sendo A(1,1,0) e sabendo

que o lado BC está contido na reta  

 



tz

ty

x

r

0

: . B(0,0,0) e C(0,1,-1)

14. Determine o ângulo entre as retas:

 

 

 







2

5 32:

2

2

3

:) z

yxse

tz

ty

tx

ra ; 60°



 



 

 

 

0

3 2

1

:

0

3 3

2

:)

y

z x

se

y

z x

rb . 45°

15. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção de

  



 

 

yz

yx se

zy xr

22

1 :

32

1 2: e é simultaneamente ortogonal a elas.

x = 2 + t, y = -1 – 5t, z = 3t

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32

16. Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, calcular o ponto de interseção.

a)   

  









1

73

5

32 :

xz

xy se

xz

xy r I(2,1,3)

b)  

 





 

 

 

tz

ty

tx

se zyx

r

38

4

1

: 4

2

3

1

2

3 : I(1,2,-2)

c)   

 

 





2

1

3

4 :

10

32 :

zy xse

xz

xy r reversas

d)  

 







 

 







hz

hy

hx

se

tz

ty

tx

r

131

71

63

:

66

53

2

: I(3,8,12)

e)  

 

  











xz

xy se

tz

ty

tx

r 2

6 :4

2

: coincidentes

17. Determinar os pontos da reta  

 







tz

ty

tx

r

23

21

2

: que distam 6 unidades do ponto

A( 2,1,3).

(4,5,7) e (0,-3,-1)

18. Calcular o ângulo que a reta que passa por A(3,-1,4) e B( 1,3,2) forma com a sua

projeção sobre o plano xy.  

 

 

6

30 cosarc

19. Dado o ponto A( 3,4,-2) e a reta  

 







tz

ty

tx

r

24

2

1

: , determinar:

a) As equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r; x = 3 – 2h, y = 4, z = -2 + h

b) O ponto simétrico de A em relação a reta r. (-5,4,2)

20. Forme as equações simétricas de uma reta traçada pelo ponto A(-1,4,5) e que seja

perpendicular à reta    2,1,11,1,2:  tPr . 5 2

4 ,1  

 z y

x

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33

22. Decompor o vetor v

=(-2,-6,-1) em dois vetores bea 

tais que rbera  

// sabendo

que   





1

2 :

zy

zx r .    2,3,13,3,3  ba



23. Forme as equações reduzidas em função de x, da reta que possui o ponto P( 2,3,-1) e

os ângulos diretores são 60°, 120° e 135°.   





2212

5 :

xz

xy r

24. Determine as equações reduzidas, sendo z a variável independente, da reta que

passa pelo ponto A(3,-6,0) e é paralela à reta r: x = 2y = 3z. 

 





6 2

3 33

zy

zx

25. Os vértices de um triângulo são O(0,0,0), A(3,4,0) e B(1,2,2). Determine as equações reduzidas, sendo z a variável independente, da bissetriz interna do ângulo

AÔB.  

 

zz

zx

5

11 5

7

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