Geometria Diferencial I - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20008 de Março de 2013

Geometria Diferencial I - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

PDF (409.5 KB)
9 páginas
1000+Número de visitas
Descrição
Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo da Geometria Diferencial.
20pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 9
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Pré-visualização finalizada
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Pré-visualização finalizada
Consulte e baixe o documento completo

MAT 0326 - LISTA DE EXERCÍCIOS

1. CURVAS NO ESPAÇO R3

(1) Mostre que a curva α : R −→ R3 dada por

α(s) = ( 4

5 cos(s), 1− sin(s),−3

5 cos(s))

está parametrizada pelo comprimento de arco. Determine então o referencial de Frenet, a curvatura e a torção dessa curva. Mostre ainda que a imagem dessa curva é uma circunferência e determine o seu centro e o seu raio.

(2) Mostre que a curva α :]− 1, 1[−→ R3 dada por

α(s) = ( 1

3 (1 + s)3/2,

1

3 (1− s)3/2, s√

2 )

está parametrizada pelo comprimento de arco. Determine então o referencial de Frenet, a curvatura e a torção desta curva.

(3) Calcule a curvatura e a torção das seguintes curvas definidas em R (a) α(t) = (t, t2, t3) (b) β(t) = (cos(t), sin(t), et) (c) γ(t) = (t, cosh(t), sinh(t))

(4) Mostre que a curva α :]0,+∞[−→ R3 dada por

α(t) = (t, 1 + t

t , 1− t2

t )

é uma curva plana.

(5) Mostre que se β(s) e γ(u) são reparametrizações pelo comprimento de arco de uma mesma curva α(t), então s = ±u+ c onde c é uma constante.

(6) (Curva de Viviani) Mostre que a curva dada por

α(t) = (a(sin(t))2, a sin(t) cos(t), a cos(t))

(t ∈ R) tem a imagem contida em uma esfera. Mostre ainda que α é a interseção de uma esfera com um cilindro.

1

docsity.com

2 MAT 0326 - LISTA DE EXERCÍCIOS

(7) Mostre que toda curva regular do R3, cujas funções coordenadas são dadas por polinômios de grau menor ou igual a 2, é uma curva plana.

(8) (Curvas Esféricas) Seja γ uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com κ > 0 e τ 6= 0. Mostre que: (a) Se γ está em uma esfera de centro c e raio r, então

γ − c = −ρN− ρ′σB

onde, por definição, ρ = 1/κ e σ = 1/τ . (b) Mostre que se ρ2 + (ρ′σ)2 tem valor constante igual a r2 e ρ 6= 0, então γ está

contida em uma esfera de raio r.

(9) Mostre que se todas as retas tangentes a uma curva regular passam por um ponto fixo, então a imagem desta curva está contida em uma reta. Se a curva não for regular o resultado ainda é verdadeiro?

(10) Seja α : I ⊂ R −→ R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com κ(s) > 0 para todo s ∈ I . Mostre que um ponto p ∈ R3 está no plano osculador de α em α(s0) se, e só se,

(p− α(s0)) · (α′(s0)× α′′(s0)) = 0

E se α não estiver parametrizada pelo comprimento de arco?

(11) Considere uma curva α : I ⊂ R −→ R3, parametrizada pelo comprimento de arco e tal que κ > 0. Mostre que se todos os planos osculadores de α tem um ponto em comum, então α é uma curva plana.

(12) Mostre que a seguinte curva possui τ = 0

α(t) =



(t, 0, e−1/t 2 ) t < 0

(0, 0, 0) t = 0

(t, e−1/t 2 , 0) t > 0

Porque esta curva não é plana?

(13) Determine o referencial de Frenet, a curvatura e a torção da curva α : R −→ R3

α(t) = (e−t cos(t), e−t sin(t), e−t)

Mostre ainda que a imagem de α está contida em um cone.

docsity.com

MAT 0326 - LISTA DE EXERCÍCIOS 3

2. CURVAS NO PLANO R2

(1) Sejam a, b > 0. Determine o referencial de Frenet e a curvatura da elipse

α : [0, 2π] −→ R2, α(t) = (a cos(t), b sin(t))

Para quais valores de t temos κ′(t) = 0?

(2) A evoluta de uma curva regular α : I −→ R2 (com κ 6= 0) é a curva α̃ dada por

α̃(t) = α(t) + 1

κ(t) Nt

ondeN é a normal de α e κ é a curvatura de α. Determine a evoluta da elipse do exercı́cio anterior. Determine a evoluta da parábola β(t) = (t, t2) definida para todo t ∈ R.

(3) Seja r = r(θ) uma curva plana dada em coordenadas polares. Mostre que a curvatura dessa curva é dada pela seguinte expressão

κ(θ) = 2(r′)2 − rr′′ + r2

((r′)2 + r2)3/2

Determine também uma expressão para o comprimento dessa curva.

(4) Seja κ : I ⊂ R −→ R uma função diferenciável. Mostre que existe uma curva parametrizada pelo comprimento de arco α : I −→ R2 que possui a função κ como curvatura.

Solução: Fixe s0 ∈ I . Defina a seguinte função (diferenciável) θ : I −→ R

θ(s) =

∫ s s0

κ(u)du

Considere agora a curva α : I −→ R2 dada pela seguinte expressão

α(s) = (x0 +

∫ s s0

cos(θ(u) + λ)du, y0 +

∫ s s0

sin(θ(u) + λ)du)

onde (x0, y0) ∈ R2 e λ ∈ R. Verifica-se que α é a curva procurada 

(5) (Espiral de Euler) Determine uma curva α : R −→ R2 que esteja parametrizada pelo comprimento de arco e que possua função curvatura dada por κ(s) = s. Esboce tal curva.

(6) (Teorema dos quatro vértices) Seja α : [0, l] −→ R2 uma curva fechada, simples, convexa e com curvatura κ. Mostre que existe ao menos 4 pontos em [0, l] nos quais a derivada κ′ se anula.

docsity.com

4 MAT 0326 - LISTA DE EXERCÍCIOS

3. SUPERF ÍCIES REGULARES E PARAMETRIZADAS

(1) Mostre que a aplicação F : R3 −→ R3 dada por F (x, y, z) = (ax, by, cz), induz um difeomorfismo entre a esfera x2 + y2 + z2 = 1 e o elipsóide

x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1

(2) Seja f : R −→ R diferenciável. Considere a superfı́cie regular z = f(y/x) com (x, y) ∈ (0,+∞)×R. Mostre que qualquer plano tangente dessa superfı́cie passa pela origem.

(3) Descreva a imagem da aplicação normal de Gauss para cada uma das seguintes superfı́cies regulares: (a) x2 + y2 = r2 (cilindro) (b) z =

√ x2 + y2 (cone)

(c) ax+ by + cz + d = 0 (plano) (d) z = x2 + y2 (parabolóide) (e) x2 + y2 − z2 = 1 (hiperbolóide)

(4) (Loxodrômicas) Seja f :]0,+∞[−→]0,+∞[ diferenciável e θ ∈ [0, 2π]. Considere a superfı́cie de revolução dada pelas relações

x = t cos(θ)

y = t sin(θ)

z = f(t)

Mostre que as curvas dessa superfı́cie que formam um ângulo constante α com os meridianos são dadas por

x = t cos(θ(t))

y = t sin(θ(t))

z = f(t)

onde θ(t) é dada pela expressão θ(t) = ∫ t 1

tan(α)

s

√ 1 + f ′(s)2ds.

(5) Verifique que as seguintes aplicações são superfı́cies parametrizadas definidas em R2 e determine os pontos singulares de cada uma delas. Esboce as imagens. (a) ϕ(u, v) = (u3, v3, (u6 + v6)1/3) (b) ϕ(u, v) = (u2 − v2, 2uv, u5) (c) ϕ(u, v) = (u, v2, v3)

docsity.com

MAT 0326 - LISTA DE EXERCÍCIOS 5

(6) (Superfı́cies regradas) Considere as curvas α, β : I ⊂ R −→ R3 e suponha que β(t) 6= 0 para todo t ∈ I . Defina a aplicação ϕ : I × R∗ −→ R3 pela expressão

ϕ(t, s) = α(t) + sβ(t)

Mostre queϕ define uma superfı́cie parametrizada chamada de superfı́cie regrada. Mostre que a curvatura Gaussiana dessa superfı́cie nos pontos regulares é

K = − (α ′ · β × β′)2

‖α′ × β + sβ′ × β‖4

Mostre ainda que o parabolóide x2 + y2 − z2 = 1 e a sela z = xy são superfı́cies regradas.

(7) (Superfı́cies tangentes) Seja β : I ⊂ R −→ R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com κ(s) > 0 para todo s ∈ I . A superfı́cie regrada

ϕ(s, t) = β(s) + tβ′(s), (s, t) ∈ I×]0,+∞[

é chamada de superfı́cie tangente de β. Mostre que tal superfı́cie é regular e flat.

(8) Denote por M uma superfı́cie regular arbitrária do R3. (a) Mostre que em M sempre temos H2 −K ≥ 0. (b) Mostre que não existem pontos umbı́licos sobre M se K < 0. (c) Mostre que se em M temos K ≤ 0, então todos os pontos umbı́licos de M

são planares.

(9) (Superfı́cie de Enneper) Considere a superfı́cie parametrizada ϕ : R2 −→ R3

ϕ(u, v) = (u− u 3

3 + uv2, v − v

3

3 + vu2, u2 − v2)

Mostre cada uma das seguintes afirmações: (a) Os coeficientes da primeira forma são E = G = (1 + u2 + v2)2 e F = 0; (b) Os coeficientes da segunda forma são e = 2, g = −2 e f = 0; (c) As curvaturas principais são dadas pelas seguintes expressões

κ1 = 2

(1 + u2 + v2)2 κ2 = −

2

(1 + u2 + v2)2

(d) As linhas de curvatura são as curvas coordenadas; (e) As curvas assintóticas são da forma α(t) = ϕ(u(t), v(t)) onde as funções

u(t) e v(t) satisfazem u+ v = cte. ou u− v = cte. Visualize a superfı́cie.

(10) Seja M ⊂ R3 uma superfı́cie regular compacta. Mostre que existe pelo menos um ponto p ∈ M tal que Kp > 0. Deduza que não existe superfı́cie regular no R3 que seja compacta e comK ≤ 0. Mostre também que não existem superfı́cies compactas mı́nimas no R3.

docsity.com

6 MAT 0326 - LISTA DE EXERCÍCIOS

(11) Seja ϕ : U ⊂ R2 −→ M uma carta de uma superfı́cie regular M ⊂ R3. Mostre que as expressões das curvaturas Gaussiana e Média em ϕ(U) são dadas por

K = eg − f 2

EG− F 2 H =

eG− 2fF + gE 2(EG− F 2)

onde (E,F,G) e (e, f, g) são, respectivamente, os coeficientes da primeira e da segunda forma fundamental de M .

(12) Sejam R > r > 0. Considere a seguinte parametrização do toro de revolução

ϕ(u, v) = ((R + r cos(u)) cos(v), (R + r cos(u)) sin(v), r sin(u))

com (u, v) ∈ [0, 2π]× [0, 2π]. Mostre que é válida a seguinte expressão

K = cos(u)

r(R + r cos(u))

Identifique os pontos elı́pticos, parabólicos e hiperbólicos do toro.

(13) Mostre que se ϕ : U ⊂ R2 −→M é uma carta de uma superfı́cie regular M ⊂ R3

que satisfaz F = f = 0, então ϕu e ϕv são direções principais de M .

(14) Seja α(u) = (g(u), h(u), 0) uma curva no plano xy definida em um intervalo I ⊂ R. Assuma que h(u) > 0 para todo u ∈ I . Considere a superfı́cie de revolução gerada pela rotação de α ao redor do eixo dos x e parametrizada por

ϕ(u, v) = (g(u), h(u) cos(v), h(u) sin(v))

onde (u, v) ∈ I × [0, 2π]. Mostre que é válida a seguinte igualdade

K = g′(h′g′′ − g′h′′) h(g′2 + h′2)

Determine ainda as curvaturas principais da superfı́cie.

(15) Mostre que se uma superfı́cie de revolução M é mı́nima, então M está contida em um plano ou M está contida em um catenóide.

(16) Seja M ⊂ R3 uma superfı́cie regular e ϕ : U ⊂ R2 −→ M uma carta de M . Mostre que uma curva regular de M , α(t) = ϕ(u(t), v(t)) com t ∈ I ⊂ R, é uma linha de curvatura de M se, e sómente se, vale a seguinte igualdade∣∣∣∣∣∣∣

v′2 −u′v′ u′2

E F G

e f g

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 Determine as linhas de curvatura do helicóide.

docsity.com

MAT 0326 - LISTA DE EXERCÍCIOS 7

4. A GEOMETRIA INTR ÍNSECA DAS SUPERF ÍCIES

(1) Seja F : M −→ N uma isometria entre superfı́cies regulares do R3. Seja também ϕ : U ⊂ R2 −→ M uma carta de M . Considere ψ := F ◦ ϕ. Mostre que ψ é uma carta de N e que valem as seguintes igualdades:

Eϕ = Eψ, Fϕ = Fψ e Gϕ = Gψ

ou seja, os coeficientes da primeira forma induzidos por ϕ e ψ são iguais.

(2) Sejam ϕ : U ⊂ R2 −→ M e ψ : U ⊂ R2 −→ M cartas locais de duas superfı́cies regulares do R3 (M e N ). Suponha que Eϕ = Eψ, Fϕ = Fψ e Gϕ = Gψ. Mostre que F := ψ ◦ ϕ−1 é uma isometria.

(3) Mostre que existe isometria local entre as seguintes superfı́cies: (a) O plano e o cilindro; (b) O plano e o cone (sem o vértice); (c) O catenóide e o helicóide.

(4) Mostre que se F : M −→ M̄ é uma isometria entre superfı́cies regulares do R3, então Kp = K̄F (p) para todo p ∈M .

(5) Mostre que a esfera e o plano não são localmente isométricos.

(6) Considere as superfı́cies regulares do R3, M := ϕ(U) e N := ψ(U), dadas por

ϕ(u, v) = (u cos(v), u sin(v), v)

ψ(u, v) = (ln(u), u cos(v), u cos(v))

onde U := (0,∞) × (0, π/2). Considere também o difeomorfismo F dado por F := ψ ◦ ϕ−1 : M −→ N . Mostre que as superfı́cies M e N possuem a mesma curvatura Gaussiana em pontos correspondentes mas F não é uma isometria.

(7) Seja M ⊂ R3 uma superfı́cie regular e ϕ : U −→M uma carta de M . Mostre que

E.K = Γ111Γ 2 12 + (Γ

2 11)v + Γ

2 11Γ

2 22 − (Γ112Γ211 + (Γ212)v + Γ212Γ221)

(equação de Gauss) ev − fu = eΓ212 + f(Γ212 − Γ111)− gΓ211

fv − gu = eΓ122 + f(Γ222 − Γ121)− gΓ221 (equações de Codazzi-Mainardi).

docsity.com

8 MAT 0326 - LISTA DE EXERCÍCIOS

(8) (Teorema fundamental das superfı́cies) Sejam E,F,G, e, f e g funções reais diferenciáveis definidas em um aberto U ⊂ R2. Suponha que valem: (a) E > 0, G > 0 e EG− F 2 > 0; (b) E,F,G, e, f e g satisfazem as equações de Gauss, Codazzi-Mainardi.

Mostre que, dado p ∈ U , existe um aberto (que contém p) V ⊂ U e também um difeomorfismo ϕ : V −→ ϕ(V ) ⊂ R3 que é carta da superfı́cie regular M = ϕ(V ). Além disso, M possui E,F,G e e, f, g como coeficientes da primeira e da segunda forma quadrática, respectivamente. Mostre ainda que se

ϕ̄ : V −→ ϕ̄(V )

é um outro difeomeorfismo que satisfaz as mesmas condições, então existe uma isometria T do R3 tal que ϕ̄ = T ◦ ϕ.

(9) Seja α : I ⊂ R −→ M uma curva definida em uma superfı́cie regular M ⊂ R3. Seja ~v ∈ Tα(t0)M . Mostre que existe um único campo Y , tangente a M , paralelo e definido ao longo de α tal que Yt0 = ~v. O campo Y é chamado de transporte paralelo de ~v ao longo de α.

(10) Seja α : I ⊂ R −→ M uma curva em uma superfı́cie regular M . Sejam Xt e Yt campos de vetores definidos ao longo de α e tangentes a M . Se Xt e Yt são paralelos, mostre que valem as afirmações: (a) Xt · Yt é constante (isto é, independe de t); (b) ‖Xt‖ e ‖Yt‖ são constantes; (c) O ângulo entre Xt e Yt é constante.

(11) Seja ϕ a parametrização, definida em [0, π]× [0, 2π], da esfera S2 e dada por

ϕ(u, v) = (sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u))

Considere a curva α(v) := ϕ(u0, v) e o vetor ~v ∈ Tα(0)S2 dado por ~v = ϕu(u0, 0). Determine o transporte paralelo de ~v ao longo de α (consideramos u0 ∈ (0, π/2)).

(12) Sejam f, g : I −→ R funções diferenciáveis e positivas. Considere a superfı́cie de revolução dada por ϕ(u, v) = (f(v) cos(u), f(v) sin(u), g(v)). Mostre que os meridianos parametrizados pelo comprimento de arco α(s) = ϕ(u0, v(s)) são geodésicas dessa superfı́cie. Mostre ainda que um paralelo β(s) = ϕ(u(s), v0) é geodésica se, e sómente se, f ′(v0) = 0 (interprete geométricamente).

(13) Considere a vizinhança normal N de um ponto p de uma superfı́cie regular M . Seja γ : [0, 1] −→ N uma geodésica radial que parte de p. Mostre que L(α) ≥ L(γ) para toda curva α : [0, 1] −→M com α(0) = p e α(1) = γ(1).

docsity.com

MAT 0326 - LISTA DE EXERCÍCIOS 9

5. PROBLEMAS

(1) Seja F : M −→ N uma isometria entre superfı́cies regulares. Denote por γ~v a geodésica de M que parte de p ∈ M com velocidade ~v. Mostre que F (γ~v) é a geodésica de N que parte de F (p) com velocidade dFp(~v).

(2) Sejam F e G isometrias de uma superfı́cie regular M . Suponha que F (p) = G(p) para algum p ∈ M . Suponha ainda que para uma base ortonormal {e1, e2} de TpM , tenhamos dFp(ei) = dFp(ei) para i = 1, 2. Mostre que F = G.

(3) Seja M uma superfı́cie regular e α ⊂ M uma curva p.c.a. e com κ(s) 6= 0 em todo ponto. Mostre que são válidas (a) Se α é uma geodésica e também linha de curvatura de M , então α é uma

curva plana; (b) Se α é uma geodésica e é curva plana, então α é linha de curvatura.

Encontre um exemplo de uma linha de curvatura que é uma curva plana e não é geodésica.

(4) Seja α uma curva p.c.a. em uma superfı́cie regular M . Mostre que α é geodésica e assintótica se, e sómente se, α é parte de uma linha reta.

(5) Mostre que se todas as geodésicas de uma superfı́cie regular M são curvas planas, então M está contida em um plano ou em uma esfera.

(6) SejaM uma superfı́cie regular e d a distância intrı́nseca deM . Mostre que (M,d) é um espaço métrico.

(7) Uma superfı́cie regular M é dita completa se toda geodésica maximal de M está definida em todo o R. Mostre alguns exemplos de superfı́cies regulares que são completas e de outras que não o são.

(8) (Teorema de Hopf-Rinow) Seja M uma superfı́cie regular completa. Quaisquer dois pontos de M podem ser unidos por alguma geodésica minimizante de M .

(9) Uma superfı́cie regular M é dita homogênea se, dados dois pontos p, q ∈ M , existe uma isometria F : M −→M de modo que F (p) = q. Mostre que: (a) Se M é homogênea, então M possui curvatura Gaussiana constante; (b) Se M é homogênea, então M é completa.

ANDRÉ DE OLIVEIRA GOMES E-mail address: gomes@ime.usp.br

docsity.com

comentários (0)
Até o momento nenhum comentário
Seja o primeiro a comentar!
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome