Geometria Fractal - Apostilas - Matematica, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20006 de Março de 2013

Geometria Fractal - Apostilas - Matematica, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo da geometria Fractal, usos e exemplos.
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Escola Profissional Atlântico

Fractais

2012

Conteúdo

Introdução 2

Fractal 2

Usos 3

Exemplos 6

Conclusão 8

Webgrafia 8

Introdução

A Geometria Fractal tem sido nos últimos anos alvo das investigações de muitos cientistas em todo o mundo e as técnicas fractais em particular, mais do que um ramo da Matemática, têm-se revelado uma ferramenta extremamente util a muitas ciências, mesmo as sociais, permitindo uma linguagem comum entre especialistas de diferentes áreas.

A aplicação prática dos fractais é cada vez maior, constituindo uma maneira nova de encarar a realidade e também uma ferramenta científica de enorme alcance que agora está a dar os seus primeiros passos.

Fractal

Tecnicamente, um fractal é um objecto que não perde a sua definição formal à medida que é ampliado, mantendo a sua estrutura idêntica à original. Pelo contrário, uma circunferência parece perder a sua curvatura à medida que ampliamos uma das suas partes. Existem duas categorias de fractais: os fractais geométricos, que repetem continuamente um padrão idêntico, e os fractais aleatórios.

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As principais propriedades que caracterizam os fractais são a auto-semelhança e a complexidade infinita. Outra característica importante dos fractais é a sua dimensão.

A auto-semelhança é a simetria através das escalas. Consiste em cada pequena porção do fractal poder ser vista como uma réplica de todo o fractal numa escala menor. Esta propriedade pode ser vista, por exemplo, na couve-flor.

A complexidade infinita prende-se com o facto de o processo gerador dos fractais ser recursivo, tendo um número infinito de iterações.

A dimensão dos fractais, ao contrário do que sucede na geometria euclidiana, não é necessariamente uma quantidade inteira. Com efeito , ela é uma quantidade fraccionária. A dimensão de um fractal representa o grau de ocupação deste no espaço, que tem a ver com o seu grau de irregularidade.

Para introduzir a ideia de que a dimensão não é necessariamente inteira, Mandelbrot utilizou o seguinte exemplo:

Qual é a dimensão de um novelo de fio?

Mandelbrot respondeu que isso depende do ponto de vista. Visto de grande distância, o novelo não é mais do que um ponto, com dimenão zero. Visto mais de perto, o novelo parece ocupar um espaço periférico, assumindo assim três dimensões. Visto ainda mais de perto, o fio torna-se visível, e o objecto torna-se de facto unidimensional, ainda que essa dimensão única se enovele em volta de si mesma de tal forma que ocupa um espaço tridimensional. A noção de quantos números são necessários para especificar um ponto continua a ser útil. De muito longe, não é preciso nenhum - o ponto é a única coisa que existe. Mais perto, são precisos três. Mais perto ainda, um é suficiente - qualquer posição específica ao longo do fio é única, por muito que o fio esteja enovelado.

Os computadores, com o seu poder de cálculo e as representações gráficas que conseguem executar, são responsáveis por trazer de novo estes "monstros" à vida, gerando quase instantaneamente os fractais no monitor e com as suas formas bizarras, os seus desenhos artísticos ou pormenorizadas paisagens e cenários.

Os fractais deram origem a um novo ramo da matemática, muitas vezes designado como a geometria da natureza. As formas estranhas e caóticas dos fractais descrevem alguns fenómenos naturais, como os sismos, o desenvolvimento das árvores, a estrutura da sua casca, a forma de algumas raízes (como, por exemplo, do gengibre), a linha de costa marítima, as nuvens. Este novo tipo de geometria aplica-se na astronomia, na meteorologia, na economia e no cinema.

Usos

Medicina

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A dimensão fractal é usada na medicina como método de diagnóstico quantitativo e objectivo de várias patologias. Um dos campos mais desenvolvidos é o diagnóstico do cancro. As evidências experimentais sugerem que os tumores cancerosos têm dimensão fractal superior à dos tecidos normais. Um exemplo nesta linha de investigação é o da Detecção de núcleos atípicos por Sedivy et al.

Crê-se que o conhecimento das estruturas fractais dos vários tecidos do corpo humano, assim como da estrutura fractal do sistemas circulatório, nervoso e linfático, permita colmatar o hiato que separa as experiências in vitro dos resultados in vivo.

Antenas fractais

O desenho de antenas é um problema complicado. Os desenhos comuns são sensíveis apenas a uma gama estreita de frequências e não são eficientes se o seu tamanho for inferior a um quarto do comprimento de onda. Este é um problema para a construção de antenas pequenas, tais como as que são usadas nos telefones portáteis.

A resposta das antenas fractais difere acentuadamente da das tradicionais pois são capazes de funcionar de forma óptima simultâneamente em várias frequências. As antenas convencionais são "talhadas" para a frequência em que vão operar -pelo que funcionam de forma óptima apenas para essa frequência. Esta característica faz das antenas fractais uma excelente alternativa para aplicações de banda larga.

A Motorola começou a usar antenas fractais em vários modelos dos seus telemóveis e anunciou que estas são 25% mais eficientes que o tradicional pedaço de fio condutor.

Fibras ópticas fractais

O empacotamento apropriado de fibras ópticas produz guias de ondas com muito baixa distorção. Lee Cook da Galileo Electro-Optics Corp. mostrou, através do uso de pavimentações recursivas, que os melhores empacotamentos de fibras ópticas são aqueles que têm bordas fractais. Isso levou ao desenho de feixes de fibras ópticas fractais, chamados multi-multifibras, os quais exibem um melhor contraste de imagem. O motivo da pavimentação - a forma dos "azulejos" - é construído, recursivamente, da seguinte forma:

Esta tecnologia inovadora foi adquirida pela Incom em 1994.

Misturadores fractais

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Usando a natureza como fonte de inspiração, neste caso os pulmões, Marc-Olivier Coppens da Universidade Técnica de Delft desenvolveu um sistema para a mistura de dois fluidos que diminui a turbulência indesejada e normalmente associada ao transporte, mistura e distribuição:

Nos exemplos das figuras anteriores:

o fluido injectado abandona todas as saídas ao mesmo tempo, pois todas elas estão à mesma distância da entrada,

a razão área/volume da interface entre os fluidos aumenta significativamente em comparação com as geometrias tradicionais.

A figura seguinte mostra um misturador fractal para um tanque tridimensional:

Exemplos

Os mercados financeiros

Os mercados financeiros são um dos grandes campos de aplicação da geometria fractal , para além de terem sido um dos primeiros locais onde os fractais foram vistos à solta. Tudo começou com a descoberta, por Mandelbrot, que a distribuição das flutuações do preço do algodão obedecia a uma lei de potência (uma das impressões digitais dos fractais) o que desacreditava os dois dogmas da economia ortodoxa: as variações dos preços são estatisticamente independentes e obedecem a uma distribuição normal...

O floco de neve de Koch:

O floco de neve de Koch é um fractal, que se obtém partindo de um triângulo equilátero. Para construí-lo, começa-se com um triângulo com lados de tamanho 1. Ao meio de cada lado, adiciona-se um novo triângulo com um terço do tamanho; e assim por diante, como se pode verificar na figura seguinte. O comprimento total do contorno é 3*4/3*4/3*4/3... - infinito. Contudo, a área permanece menor que a área do círculo que circunda o triângulo original. Portanto, uma linha infinitamente longa é rodeada por uma área finita.

Fractais na Natureza:

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Alguns objectos da Natureza, como montanhas, árvores e plantas, têm propriedades fractais. Na imagem que se segue, podemos observar em vários níveis de ampliação a complexidade e pormenor de um feto.

Este feto apresenta a propriedade de auto-semelhança, característica dos fractais. Com efeito, as várias ampliações, sinalizadas na imagem inicial a laranja e a azul, são muito semelhantes a essa imagem. Estas propriedades sugerem uma ligação entre os fractais e a natureza.

Outros exemplos de objectos da Natureza com propriedades fractais são a couve-flor, os bróculos e as costas marítimas.

Contudo, os objectos da Natureza não são verdadeiramente fractais, pois eles não são infinitamente complexos.

Conclusão

Para concluir pude constatar que a geometria fractal está patente em tantos lugares (sobretudo em objectos e em seres naturais) e formas tão complexas e por vezes tão bonitas, podem ser criadas ou simuladas por processos matemáticos muito simples.

Outra surpresa foi a grande aplicabilidade da geometria fractal, nomeadamente dos conceitos de estrutura e de dimensãao fractal a um leque tão vasto de áreas, desde as ciências naturais às económico-sociais, à tecnologia e à indústria.

Webgrafia

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal

http://alturl.com/prfeb

http://www.fractarte.com.br/

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