Gravitação - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
Botafogo
Botafogo8 de Março de 2013

Gravitação - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

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Apostilas e exercicios de Física da Universidade Federal de Sergipe, sobre o estudo da Gravitação .
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Lista 1 - 2◦ semestre de 2012 Disciplina: F́ısica B

1 Uma astronauta cuja altura é 1,70 m flutua “com os pés para baixo” em um ônibus espacial em órbita a uma distância r = 6,77×106 m a partir do centro da terra (MT = 5,98×1024 kg). (a) Qual é a diferença entre a aceleração gravitacional em seus pés e em sua cabeça? (b) Se a astronauta está agora “de pés para baixo” na mesma órbita de raio r = 6,77×106 m em torno de um buraco negro de massa Mb = 1,99×1031 kg (10 vezes a massa do nosso Sol) qual é a diferença entre a aceleração gravitacional nos seus pés e na sua cabeça? {R: (a) 4,37×10−6 m/s2; (b) 14,5 m/s2}

2 Na Fig. 1, um quadrado com 20,0 cm de lado é for- mado por quatro esferas de massas m1 = 5,00 g, m2 = 3,00 g, m3 = 1,00 g e m4 = 5,00 g. Em notação de ve- tores unitários, qual é a força gravitacional resultante exercida por elas sobre uma esfera central com massa m5 = 2,50 g? {R: (1,18×10−14 N)̂ı+(1,18×10−14 N)̂}

Figura 1: Problema 2

3 Duas esferas uniformes, cada uma com massa igual a 0,260 kg, estão fixas nos pontos A e B (Fig. 2). Determine o módulo a direção e o sentido da acel- eração inicial de uma esfera uniforme com massa 0,010 kg quando ela é liberada do repouso no ponto P e sofrendo apenas atrações gravitacionais das esferas situadas em A e B. {R: 2,1×10−9 m/s2; para baixo }

Figura 2: Problema 3

4 Uma part́ıcula de massa 3m está localizada a 1,0 m de outra part́ıcula de massa m. Onde você deve colocar uma terceira part́ıcula de massa M de modo que a força gravitacional resultante sobre M em virtude das duas massas seja exatamente zero? {R: 0,366 m da massa m}

5 Quatro planetas idênticos formam um quadrado, como mostrado na Fig. 3. Se a massa de cada planeta é M e o quadrado tem lado a, qual deve ser o módulo da velocidade de cada planeta, se eles devem permanecer em órbita em torno de seu centro comum, sob a in- fluência de suas atrações mútuas? {R: 1,16

√ GM/a}

Figura 3: Problema 5

6 A Fig. 4 mostra uma cavidade esférica no interior de uma esfera de chumbo de raio R = 4,00 cm; a su- perf́ıcie da cavidade passa através do centro da esfera e “toca” o lado direito da esfera. A massa da esfera antes de se fazer a cavidade era M = 2,95 kg. Com que força gravitacional a esfera de chumbo com a cavi- dade atrai uma pequena esfera de massa m = 0,431 kg que se encontra a uma distância d = 9,00 cm do centro da esfera de chumbo, sobre a linha que conecta os centros das esferas e da cavidade? {R: 8,31×10−9 N}

Figura 4: Problema 6

7 Duas cascas esféricas concêntricas com massas M1 e M2 distribúıdas uniformemente estão situadas como mostrado na Fig. 5. Encontre o módulo da força grav- itacional sobre uma part́ıcula de massa m, devida às duas cascas, quando a part́ıcula está localizada nas distâncias radiais (a) a, (b) b e (c) c. {R: (a) G(M1 + M2)m/a2; (b) GM1m/b2; (c) 0}

Figura 5: Problema 7

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8 Suponha que você faça um furo através de um diâmetro da Terra (de massa MT e raio R) e deixe cair um objeto (de massa m) por ele. Deduza uma expressão da força gravitacional sobre o objeto em função de sua distância r ao centro. Suponha que a densidade (massa por unidade de volume) da Terra seja constante. {R: GMT m

R3 r}

Figura 6: Problema 8

9 Uma esfera sólida uniforme, de massa igual a 1000 kg, possui um raio de 5,0 m. Ache a força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pontual de 2,0 kg colocada nas seguintes distâncias do centro da esfera: (a) 5,01 m e (b) 2,50 m. {R: (a) 5,31×10−9 N; (b) 2,67×10−9 N}

10 A força gravitacional exercida pela Terra (de massa MT e raio R) sobre uma part́ıcula de massa m a uma distância r (r > R) do centro da Terra tem por módulo mgR2/r2, onde g = GMT /R2. (a) Mostre que quando a part́ıcula se move da distância r1 = R para a distância r2 = R + h, o trabalho realizado pela força gravitacional pode ser escrito como W = −mgR2[(1/R) − 1/(R + h)]. (b) Mostre que quando h << R, a variação da energia potencial gravitacional se reduz à relação familiar ∆U = mgh.

11 Uma barra delgada uniforme possui uma massa M e comprimento L. Uma pequena esfera uniforme de massa m é situada a uma distância x de uma das ex- tremidades da barra ao longo do eixo da barra (Fig. 7). (a) Calcule a energia potencial gravitacional do sis- tema barra-esfera. Considere a energia potencial grav- itacional igual a zero quando a distância entre a barra e a esfera for igual ao infinito. (b) Use a relação Fx = −dU/dx para achar o módulo e a direção da força gravitacional exercida pela barra sobre a esfera. {R: (a) −GMmL ln(1 +

L x ); (b) −

GMm x(x+L) }

Figura 7: Problema 11

12 Considere o corpo e forma de anel indicado na Fig. 8. Uma part́ıcula de massa m é colocada a uma distância

x do centro do anel ao longo do seu eixo e perpendic- ularmente ao seu plano. (a) Calcule a energia poten- cial gravitacional U desse sistema. Considere a ener- gia potencial gravitacional igual a zero quando os dois objetos estiverem muito distantes. (b) Use a relação Fx = −dU/dx para achar o módulo e a direção da força gravitacional exercida pelo anel sobre a part́ıcula. {R: (a)−GMm/

√ x2 + a2; (b)−GMmx/(x2+a2)3/2}

Figura 8: Problema 12

13 A massa M está uniformemente distribúıda ao longo de um disco de raio a. Determine o módulo, direção e sentido da força gravitacional entre o disco e uma part́ıcula de massa m localizada a uma distância x acima do centro do disco (Fig. 9). {R: (2GMm/a2)[1− x/

√ a2 + x2]}

Figura 9: Problema 13

14 O satélite de Marte Phobos se move em uma órbita aproximadamente circular de raio 9,4×106 m com um peŕıodo de 7 h 39 min. Calcule a massa de Marte a partir destas informações. {R: 6,5×1023 kg}

15 Um satélite, se movendo em uma órbita eĺıptica, está a 360 km acima da superf́ıcie da Terra (de raio R = 6,37×103 km) em seu ponto mais afastado e a 180 km no seu ponto mais próximo. Calcule (a) o semi-eixo maior e (b) a excentricidade da órbita. {R: (a) 6,64×103 km; (b) 0,0136}

16 Uma espaço-nave sem tripulação descreve uma órbita circular em torno da Lua (de massa ML = 7,35×1022 kg e raio RL = 1,74×106 m), observando a superf́ıcie da Lua de uma altura de 50,0 km. Para surpresa dos cientistas na Terra, devido a uma falha elétrica um dos motores da espaço-nave deixa de funcionar, fazendo sua velocidade diminuir 20,0 m/s. Caso nada seja feito para corrigir sua órbita, com que velocidade (em km/h) a espaço-nave atingirá a superf́ıcie da Lua? {R: 6,06×103 km/h}

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