Grupos - Exercícios - Tópicos de Álgebra Aplicada, Notas de estudo de Álgebra Linear. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
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Brasilia8012 de Março de 2013

Grupos - Exercícios - Tópicos de Álgebra Aplicada, Notas de estudo de Álgebra Linear. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo dos grupos.
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Tópicos de Álgebra 2010

Lista 3 - Grupos

1. Defina em R a operação ∗ dada por: x ∗ y = 3 √

x3 + y3. Mostre que (R, ∗) é grupo abeliano.

2. Mostre que (R,∆) é grupo abeliano, onde a operação é dada por x∆y = x + y − 3. Quem é a identidade nesta operação ?

3. Seja K = {a + b √ 2 | a, b ∈ Q} − {0}. Mostre que (K, ·) é grupo, sendo · o produto usual de

números reais.

4. Definimos o conjunto L como

L = {rc |rcé uma reta do plano com equação rc : 3x − 5y = c, c ∈ R} .

Podemos ver L como o conjunto de todas as retas de R2 que são ortogonais ao vetor (3,−5) ∈ R2. Definimos uma adição de elementos de L assim: rc : 3x − 5y = c e rd : = 3x − 5y = d, então, rc ⊕ rd : 3x − 5y = c + d. a) Mostre que (L,⊕) é grupo. b) Prove que (L,⊕) é isomorfo a (R,+).

5. Seja M(R, 3) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 3. Se A ∈ M(R, 3) chamamos a transposta de A de AT , definida como [AT ]ij = [A]ji, para 1 ≤ i, j ≤ 3. Definimos o conjunto das matrizes ortogonais como

SO(3) = {A ∈ M(R, 3) | AT A = Id } . Mostre que SO(3) é um grupo se tomarmos como operação de grupo a multiplicação de matrizes. Mostre que SO(3) não é abeliano, ou seja, encontre dois elementos A, B de SO(3) tais que AB 6= BA.

6. Dado n ∈ N, seja Un = {z ∈ C |z é solução da equação zn − 1 = 0}. Mostre que Un é grupo com a operação de multiplicação de complexos, e Un ∼= Zn.

7. Produto direto de grupos. Sejam G e H grupos, e considere a operação · em G × H dada por: (g1, h1) · (g2, h2) = (g1 · g2, h1 · h2), para quaisquer (g1, h1), (g2, h2) ∈ G × H . Mostre que esta operação define uma estrutura de grupo em G × H . Diga quem é a identidade de G × H , e para (g, h) ∈ G × H , diga quem é (g, h)−1.

8. Seja A um conjunto não vazio qualquer. Defina B = B(A) = {f : A → A | f é bijeção}. Mostre que (B, ◦) é grupo, onde ◦ é a composição de funções. Quem é a identidade ?

9. Seja G grupo e a1, a2, . . . , an elementos de G. Mostre por indução que (a1a2 . . . an) −1 = a−1n . . . a

−1

2 a−1

1 .

10. Seja S ⊂ G. Mostre que S é subgrupo de G se e somente se para quaisquer elementos a, b ∈ S têm-se ab−1 ∈ S.

11. Se G é grupo e a ∈ G, defina funções La : G → G e Ra : G → G por La(x) = ax e Ra(x) = xa. Mostre que: a) La e Ra são bijeções, ou seja, são injetivas e sobrejetivas. b) Se U ⊂ G é um subconjunto finito então La(U) tem o mesmo número de elementos de U . Podemos chamar La(U) de translação de U à esquerda por a, também denotado a.U ou aU . Um resultado análogo vale para a função Ra.

12. G grupo e S ⊂ G um subgrupo. Seja L o conjunto das classes laterais à esquerda e R o conjunto das classes laterais à direita. Mostre que existe uma bijeção f : L → R. Em particular, ambos conjuntos têm o mesmo número de elementos (se um deles for finito).

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13. Seja G = {e, a, b} um grupo (nesse e em outros exerćıcios o elemento e será a identidade). Usando informações sobre classes laterais de subgrupos, e ordem, explique: (1) Quem é a2 ? Quanto vale a.b ? (2) Encontre o diagrama de Cayley para G.

14. Obtenha o diagrama de Cayley para Z12, e encontre todos os seus subgrupos.

15. O grupo G = {e, a, b, c, d, f} possui a seguinte tabuada:

⊙ e a b c d f e e a b c d f a a b c d f e b b c d f e a c c d f e a b d d f e a b c f f e a b c d

a) Obtenha todos os subgrupos de G. b) Mostre que G ∼= Z6.

16. Seja S ⊂ G um subgrupo tal que [G : S] = 2. Mostre que S ⊳ G.

17. Se G é grupo finito e a ∈ G. (a) Mostre que existe um menor inteiro não negativo n tal que an = e. Esse inteiro é chamado ordem do elemento a, denotado o(a). (b) Prove que {e, a, a2, · · · , an−1} é subgrupo de G. (c) Conclua: a ordem de um elemento divide a ordem do grupo.

18. Seja G um grupo tal que todos os elementos em G − {e} tenham ordem 2. (a) Prove que G é abeliano. (b) Se G for finito, prove que |G| = 2n, e conclua que G ∼= Zn2 .

19. Se G = {e, a, b, c}. Analisando as ordens desses elementos, obtenha os posśıveis diagramas de Cayley para G.

20. Dado f : G → H morfismo, G,H grupos finitos. Assuma que mdc(|G|, |H|) = 5. Que subgrupos podem ser isomorfos a G/ker f ?

21. Prove: Se f : Zm → Z é morfismo, m ∈ N, então f ≡ 0.

22. Seja f : G → H morfismo, G grupo finito. Mostre que |G| = |ker f | |Im f |.

23. Se f : Zm → Zn morfismo com (m, n) = 1. Prove que f ≡ 0.

24. Se (m, n) = d, encontre todos os morfismos f : Zm → Zn.

25. Prove que um subgrupo de um grupo ćıclico também é ćıclico.

26. Considere um quadrado no plano cartesiano, cujo centro esteja na origem e lados paralelos aos eixos coordenados. Numere os vértices {1, 2, 3, 4} deste quadrado, começando no 1o quadrante e seguindo o sentido anti-horário. Seja D4 o conjunto das transformações lineares A : R

2 → R2 que preservam o quadrado, ou seja, tais que A({1, 2, 3, 4}) = {1, 2, 3, 4}. Prove que D4 é um grupo se tomarmos como operação a composição de funções, e |D4| = 8. Este é o grupo diedral de ordem 8. Construa um diagrama de Cayley para D4, e verifique que ele não é abeliano.

27. Seja G grupo ćıclico finito. Prove que para qualquer divisor d da ordem de G existe um único subgrupo S ⊂ G tal que |S| = d.

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28. Para um subgrupo S ⊂ G: (a) Prove que se a ∈ G, o conjugado de S por a, a · S · a−1 também é subgrupo. (b) Assuma que S é o único subgrupo de ordem |S|. Mostre que S ⊳ G.

29. Se |G| = p.q, p, q primos distintos, mostre que G é gerado por dois elementos, ou seja, existem a, b ∈ G tais que ∀ x ∈ G, existem i, j ∈ N com x = aibj .

30. Se G é grupo e a, b ∈ G satisfazem: (i) ordem de a é n; (ii) bm = au; (iii) ba = asb, sendo n, m, u, s inteiros não negativos. Prove que sm ≡ 1 (mod n).

31. Seja G de ordem 2p, p primo maior que 2. Assuma que G não é abeliano. (a) Mostre que G possui um elemento a de ordem p. (b) Seja b ∈ G− < a >. Mostre que b2 = e. (c) Mostre que ba ∈ {b, ab, a2b, . . . , ap−1b}. Conclua que ba = ap−1b. (d) Definimos o grupo diedral de ordem 2p, Dp, como o grupo gerado por 2 elementos {x, y} tais que o(x) = p, o(y) = 2 e yx = xp−1y. Este grupo é o grupo de simetrias de um poĺıgono regular de p lados. Conclua que há um único grupo de ordem 2p, não abeliano.

32. Seja G grupo de ordem 9. Assuma que G não é ćıclico. (a) Explique porque todos os elementos de G − {e} têm ordem 3. (b) Seja a ∈ G − {e}, e b ∈ G− < a >. Mostre que {a, b} é um conjunto gerador para G. (c) Mostre que ba ∈ {ab, a2b, ab2, a2b2}. Analise cada caso e conclua que a única possibilidade é ba = ab. (d) Construa um isomorfismo Z3 ×Z3 → G, e conclua que existem apenas 2 grupos de ordem 9, não isomorfos.

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