Hipérbole - Apostilas - Geometria Analítica, Notas de estudo de Geometria Analítica e Cálculo. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
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Garoto7 de Março de 2013

Hipérbole - Apostilas - Geometria Analítica, Notas de estudo de Geometria Analítica e Cálculo. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas de Geometria Analítica sobre o estudo da Hipérbole, definição, elementos, desenvolvimento.
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Aula5_Hipérbole

L.G.:Conjunto dos pontos de um plano cujo valor absoluto (ou módulo) da diferença das distâncias a dois pontos fixos é constante e menor que a distância entre esses pontos.

2a1 2| d(P,F ) - d(P,F ) |=

1F 2F

P 1d(P,F )

2d(P,F )

A HIPÉRBOLE

1 2F e F : Focos

1F 2F

: 

1 2F F Eixo Focal

O

O : Centro 

1 2B B Eixo Normal

1 2A , A :

1 2B ,B : Vértices

1A 2A

1B

2B 1 2A A :Eixo Real ou

transverso

1 2B B : Eixo Imaginário ou conjugado

Seja H uma hipérbole. Definimos :

1 2A A = 2a

1 2B B = 2b

Então: 2 2 2c = a + b

1 2F F = 2c

EN

EF 1F 2F

1A 2A

1B

2B

O

b c

a

1 2F (-c,0) e F (c,0)

1F (-c,0) 2F (c,0)O(0,0)

P (x, y)

1 2

2 2 2 2

| d(P,F )- d(P,F )|= 2a

| (x - c) + y - (x+ c) - y |= 2a

EQUAÇÃO PADRÃO DA HIPÉRBOLE (centro na origem e eixo focal sobre Ox)

Focos:

1 2

2 2 2 2

| d(P,F )- d(P,F )|= 2a

| (x - c) + y - (x + c) - y |= 2a

Desenvolvendo a equação acima encontramos:

2 2

2 2

x y - = 1

a b

2F (0,c)

1F (0,-c)

O(0,0)

P (x, y)

2 2

2 2

y x - = 1

a b

Equação reduzida da hipérbole com centro na origem e eixo focal sobre Oy

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Definimos excentricidade da hipérbole a razão entre os comprimentos dos segmentos e

e

1 2F F .1 2A A

c e =

a c a e 1> ∴ >

Em rel. a ′ ′ ′x o y 2 2

2 2

x' y' - = 1

a b

Em rel. a xoy

2 2

2 2

(x - h) (y - k) - = 1

a b

1F 2F

O(0,0)

O (h,k)

x

y

x

y ′

( )P x,y x

y

x

y

Latus rectum da hipérbole:

22b PQ =

a 2F 1F

(0,0)

P

x

y

Q

2A 1A 1) Os vértices de uma hipérbole são os pontos (0,3) e (0,-3) e seus focos (0,5) e (0,-5). Determinar

a equação da hipérbole, os comprimentos de seus

eixos transverso e conjugado, sua excentricidade e

o comprimento de cada latus rectum.

A distância entre os vértices é 2a=6, comprimento do eixo

transverso. A distância entre os focos é 2c=10. Logo a=3

e c=5, donde b2=c2-a2 25-9=16; portanto b=4 e o

comprimento do eixo conjugado é 2b=8. A equação da

hipérbole é então:

2

2 2 2

2

2

2 6 3 9

2 10 5 25

:

25 9

16 8

a a a

c c c

Sendo assim

c a b

b

b b

= → = → = = → = → =

= + = +

= → =

2 2

1 9 16

y x− =

2

5

3

2 32

3

c e

a

b PQ

a

= =

= =

Excentricidade

Latus Rectum

Equação

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

9 4 54 8 113 0

9 54 4 8 113

9( 6 9) 4( 2 1) 113 81 4

9( 3) 4( 1) 36 de t ( 36)

( 3) ( 1) 1

4 9 ( 1) ( 1)

1 / / 9 4

x y x y

x x y y

x x y y

x y Divi oda equação por

x y

y x eixo focal oy

− − + + = − − + = − − + − − + = − + −

− − − = − −

− −− + =

− −+ =

2

13

3

2 8

3

e

b PQ

a

=

= =

Excentricidade

Latus Rectum

Equação

2

2

2 2 2

2

2

9 3 2 6

4 2 2 4

:

9 4

13 13

Logo a a a

b b b

Sendo assim

c a b

c

c c

= → = → = = → = → =

= + = +

= → =

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5)Em cada uma das equações abaixo. Reduzir a equação dada à

segunda forma padrão da equação de uma hipérbole e determinar as

coordenadas do centro, dos vértices e dos focos, o comprimento do

eixo transverso, do eixo conjugado e de cada latus rectum a

excentricidade e as equações das assíntotas:

2 2

2 2

2 2

) 9 4 36 41 0

)4 9 32 36 64 0

)3 30 78 0

a x y x y

b x y x y

c x y x

− − + − = − + + + =

− + + =

4) Determinar as coordenadas dos vértices e dos focos, os comprimentos

dos eixos transverso e conjugado, a excentricidade, e o comprimento de

cada latus rectum. Esboçar o gráfico.

2 2

2 2

) 9 4 3 6

) 4 9 3 6

a x y

b x y

− =

− =

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