Instrumentalizando as cincias naturais e matemtica , Notas de aula de Matemática. Marco Polo
jr2525
jr25252 de Agosto de 2015

Instrumentalizando as cincias naturais e matemtica , Notas de aula de Matemática. Marco Polo

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INSTRUMENTALIZANDO AS CIÊNCIAS NATURAIS E

MATEMÁTICA I

ROSANA GIOVANNI PIRES CLEMENTE

INSTRUMENTALIZANDO AS CIÊNCIAS NATURAIS E

MATEMÁTICA I

1ª Edição

Taubaté Universidade de Taubaté

2011 Copyright© 2011. Universidade de Taubaté. Todos os direitos dessa edição reservados à Universidade de Taubaté. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio, sem a prévia autorização desta Universidade.

Administração Superior Reitor Prof. Dr. José Rui Camargo

Vice-reitor Prof. Dr. Marcos Roberto Furlan Pró-reitor de Administração Prof. Dr. Francisco José Grandinetti

Pró-reitor de Economia e Finanças Prof. Dr. Luciano Ricardo Marcondes da Silva Pró-reitora Estudantil Profa. Dra. Nara Lúcia Perondi Fortes

Pró-reitor de Extensão e Relações Comunitárias Prof. Dr. José Felício Goussain Murade Pró-reitora de Graduação Profa. Dra. Ana Júlia Urias dos Santos

Pró-reitor de Pesquisa e Pós-graduação Prof. Dr. Edson Aparecida de Araújo Querido Oliveira

Coordenação Geral EaD Profa. Ms. Sônia Romeu Alcici Coordenação Pedagógica Profa. Ms. Marilda Prado Yamamoto

Coordenação de Materiais Profa. Ms. Isabel Rosângela dos Santos Ferreira Revisão ortográfica-textual Profa. Ms. Isabel Rosângela dos Santos Ferreira

Projeto Gráfico e Diagramação Prof. Ms. José de Oliveira Filho Autora Profa. Ms. Rosana Giovanni Pires Clemente

Unitau - Reitoria Rua Quatro de Março, 432 - Centro Taubaté – São Paulo CEP: 12.020-270 Central de Atendimento: 0800557255

Educação a Distância (EaD) Avenida Marechal Deodoro, 605 – Jardim Santa Clara Taubaté – São Paulo CEP: 12.080-000 Telefones: Coordenação Geral: (12) 3625-4130 Secretaria: (12) 3625-4280

Ficha catalográfica elaborada pelo SIBi Sistema Integrado de Bibliotecas / UNITAU

PALAVRA DO REITOR

Palavra do Reitor

Toda forma de estudo, para que possa dar certo, carece de relações saudáveis, tanto de ordem afetiva quanto produtiva. Também, de estímulos e valorização. Por essa razão, devemos tirar o máximo proveito das práticas educativas, visto se apresentarem como máxima referência frente às mais diversificadas atividades humanas. Afinal, a obtenção de conhecimentos é o nosso diferencial de conquista frente a universo tão competitivo.

Pensando nisso, idealizamos o presente fascículo, que aborda conteúdo significativo e coerente à sua formação acadêmica e ao seu desenvolvimento social. Cuidadosamente redigido e ilustrado, sob a supervisão de doutores e mestres, o resultado aqui apresentado visa, essencialmente, a orientações de ordem prático-formativa.

Cientes de que pretendemos construir conhecimentos que se intercalem na tríade Graduação, Pesquisa e Extensão, sempre de forma responsável, porque planejados com seriedade e pautados no respeito, temos a certeza de que o presente estudo lhe será de grande valia.

Portanto, desejamos a você, aluno, proveitosa leitura. Bons estudos!

Prof. Dr. José Rui Camargo Reitor

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6

Apresentação

Este fascículo, denominado Instrumentalizando as ciências naturais e a matemática I,

tem como objetivo apresentar as ideias básicas dos cálculos matemáticos, que

envolvem a Análise Combinatória, o Binômio de Newton e a Teoria das Probabilidades,

para os cursos que compõem a área de Ciências da Natureza e Matemática: Biologia,

Física, Matemática e Química.

As Unidades foram desenvolvidas de maneira clara e objetiva, para que o aluno possa

compreendê-las e aplicá-las na resolução de problemas dentro da sua área de

conhecimento. Importante ressaltar que o conhecimento matemático deve ser

construído aos poucos; cabe ao aluno a oportunidade de aprender e ao professor a

oportunidade de ensinar.

Bons estudos e sucesso!

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Sobre a autora

ROSANA GIOVANNI PIRES CLEMENTE é licenciada em Matemática

(Universidade de Taubaté - UNITAU – SP), pós-graduada em Técnicas de Computação

Avançada e mestre em Engenharia Mecânica (UNITAU – SP). Atua como professora

assistente no Departamento de Economia, Ciências Contábeis e Administração, é

membro da equipe de produção de materiais do Núcleo de Educação a Distância da

Universidade de Taubaté e leciona as disciplinas Matemática Aplicada e Estatística em

cursos de graduação.

E-mail: rgpclemente@gmail.com

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10

Caros(as) alunos(as), Caros(as) alunos(as)

O Programa de Educação a Distância (EAD) da Universidade de Taubaté apresenta-se

como espaço acadêmico de encontros virtuais e presenciais direcionados aos mais

diversos saberes. Além de avançada tecnologia de informação e comunicação, conta

com profissionais capacitados e se apóia em base sólida, que advém da grande

experiência adquirida no campo acadêmico, tanto na graduação como na pós-graduação,

ao longo de mais de 35 anos de História e Tradição.

Nossa proposta se pauta na fusão do ensino a distância e do contato humano-presencial.

Para tanto, apresenta-se em três momentos de formação: presenciais, fascículos e Web

interativa. Conduzem esta proposta professores/orientadores qualificados em educação

a distância, apoiados por fascículos produzidos por uma equipe de profissionais

preparada especificamente para este fim, e por conteúdo presente em salas virtuais.

A estrutura interna dos fascículos é formada por unidades que desenvolvem os temas e

subtemas definidos nas ementas disciplinares aprovadas para os diversos cursos. Como

subsidio ao aluno, durante todo o processo ensino-aprendizagem, além de textos e atividades aplicadas, cada fascículo apresenta sínteses das unidades, dicas de leituras e

indicação de filmes, programas televisivos e sites, todos complementares ao conteúdo

estudado.

Os momentos virtuais ocorrem sob a orientação de professores específicos da Web. Para

a resolução dos exercícios, como para as comunicações diversas, os alunos dispõem de

blog, fórum, diários e outras ferramentas tecnológicas. Em curso, poderão ser criados

ainda outros recursos que facilitem a comunicação e a aprendizagem.

Esperamos, caros alunos, que o presente material e outros recursos colocados à sua

disposição possam conduzi-los a novos conhecimentos, porque vocês são os principais

atores desta formação.

Para todos, os nossos desejos de sucesso!

Equipe EAD-UNITAU

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12

Sumário

1 Palavra do Reitor......................................................................................... 5 2 Apresentação............................................................................................... 7 3 ..................................................................................................................... 4 Sobre a autora.............................................................................................. 9 5 Caros(as) alunos(as).................................................................................... 11 6 Objetivos...................................................................................................... 2 7 Unidade 1. Análise Combinatória................................................................ 5 8 ..................................................................................................................... 9 1.1 Princípio Fundamental da Contagem.................................................... 5 10 1.2 Fatorial de um número natural............................................................... 8 11 1.3 Permutação Simples.............................................................................. 9 12 1.4 Permutação com Repetição................................................................... 11 13 1.5 Combinação Simples............................................................................. 12 14 1.6 Arranjo Simples..................................................................................... 14 15 1.7 Síntese da Unidade................................................................................ 15 16 1.8 Para saber mais...................................................................................... 15 17 Referências.................................................................................................. 17 18 Unidade 2. Binômio de Newton.................................................................. 18 19 2.1 Número Binomial.................................................................................. 18 20 2.2 Triângulo de Pascal................................................................................ 19 21 2.3 Binômio de Newton .............................................................................. 21 22 2.4 Termo Geral do Binômio de Newton..................................................... 23 23 2.5 Síntese da Unidade................................................................................ 24 24 2.6 Para saber mais...................................................................................... 24 25 Referências.................................................................................................. 26 26 Unidade 3. Probabilidades........................................................................... 27 27 3.1 Fenômenos ............................................................................................ 27 28 3.2 Espaço Amostral e Espaço Amostral Equiprovável.............................. 28 29 3.3 Eventos.................................................................................................. 29 30 3.3.1 Tipos de Eventos................................................................................. 29 31 3.4 Tipos de Probabilidade.......................................................................... 30 32 3.4.1 Probabilidade Clássica........................................................................ 30 33 3.4.2 Probabilidade Empírica...................................................................... 32 34 3.4.3 Probabilidade Subjetiva...................................................................... 34 35 3.5 Cálculo de Probabilidades..................................................................... 34 36 3.5.1 Probabilidade do Complementar ....................................................... 34 37 3.5.2 Probabilidade da União de Eventos ................................................... 36 38 3.5.3 Probabilidade Condicional ................................................................ 38 39 3.5.4 Probabilidade da Intersecção de Eventos........................................... 41 40 3.6 Síntese da unidade................................................................................. 42 41 3.7 Para saber mais...................................................................................... 42 42 Referências.................................................................................................. 43 43 Referências complementares....................................................................... 44 13

44 Atividades.................................................................................................... 45 45 Gabarito das Atividades............................................................................... 49

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Instrumentalizando as Ciências naturais e

Matemática I

Objetivo Geral Objetivos

Desenvolver habilidades para resolver situações problemas do cotidiano envolvendo

análise combinatória e probabilidade.

Objetivos Específicos • Aplicar o princípio fundamental da contagem para resolver problemas do

cotidiano.

• Resolver problemas envolvendo arranjo, permutação e combinação.

• Determinar números binomiais e desenvolvê-los nas aplicações através

do binômio de Newton em situações envolvendo as diversas áreas do

conhecimento.

• Analisar as probabilidades de acontecimento de um evento.

Introdução

Este fascículo foi desenvolvido com o objetivo de fazer com que você compreenda as

ideias básicas de Análise Combinatória, Binômio de Newton e Probabilidades, e possa

aplicá-las na resolução de problemas.

Foram elaboradas três unidades de estudos, conforme será explicitado a seguir.

Na primeira Unidade, estudaremos a análise combinatória, que envolve o princípio

fundamental da contagem e os tipos de agrupamentos como: permutação, combinação e

arranjo.

Na segunda Unidade, faremos um breve estudo sobre o binômio de Newton.

Aprenderemos o que é um número binomial, como construir o triângulo de Pascal e

desenvolvimento do binômio de Newton.

E, na terceira Unidade, estudaremos a teoria das probabilidades com conceitos,

definições e os cálculos de probabilidades. Veremos como a probabildade nos ajuda na

tomada de decisão e como pode ser aplicada nas diversas áreas do conhecimento.

Unidade 1

Unidade 1. Análise Combinatória

Você já parou para pensar que contar faz parte do nosso cotidiano? Contamos quantos

dias faltam para as férias; quantos dias faltam para o final de ano; quantos dias faltam

para o aniversário, e muito mais.

Na antiguidade, o homem para contar usava pedras, sementes, nós em cordas e pedaços

de madeiras, pois essas maneiras eram suficientes para atender suas necessidades

relacionadas à ideia de contagem.

Entretanto, com a modernidade, algumas quantidades ficaram difíceis de serem

contadas, como, por exemplo, quantas placas de automóvel podemos formar com todas

as letras do nosso alfabeto e todos os algarismos disponíveis? E são problemas desse

tipo que nós vamos estudar em análise combinatória, uma vez que:

Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda e desenvolve métodos para a

resolução de problemas que envolvem contagem (PRAZERES et al, 2006, p. 51).

1.1 Princípio Fundamental da Contagem

O Princípio Fundamental da Contagem é composto pelos Princípios Aditivo e

Multiplicativo. Ele é a base para a resolução dos problemas de Análise Combinatória.

Se queremos somar escolhas utilizamos o Princípio Aditivo e se queremos multiplicar

escolhas utilizamos o Princípio Multiplicativo:

Princípio Aditivo

Considere o seguinte problema:

Você vai a uma sorveteria em que há 3 sabores diferentes de sorvete de massa e 3

sabores diferentes de picolé. Se você quer tomar um sorvete escolhendo um único tipo,

de quantas maneiras pode fazê-lo?

Você deve escolher um único tipo de sorvete, seja ele de massa ou picolé.

Figura 1.1 – Esquema de resolução do problema Princícpio Aditivo

Como temos 3 escolhas para o sorvete de massa e 3 escolhas para o picolé, podemos,

então, tomar 6 sorvetes diferentes.

Assim, pela definição do Princípio Aditivo:

Se existem m1 maneiras de tomar a decisão D1, e existem m2 maneiras de tomar a decisão

D2, sendo D1 e D2 independentes, então o número de maneiras de tomar a decisão D1ou

a decisão D2 é m1 + m2 (PRAZERES et al, 2006, p. 52).

Princípio Multiplicativo

Observe a seguir outro problema:

No cardápio de uma lanchonete há 3 opções de lanches e 2 opções de sucos. Você

deseja realizar sua refeição escolhendo apenas um lanche e um suco, nessa ordem. De

quantas maneiras poderá fazê-la?

Neste caso devemos escolher um lanche1 e um suco.

Figura 1.2 - Esquema de resolução do problema Princícpio Multiplicativo

1 Agradeço a Profa. Andrea Maria G. de Araújo Lima, pelas ilustrações dos lanches.

Assim, pela definição do Princípio Multiplicativo:

Se existem m1 maneiras de tomar a decisão D1, e existem m2 maneiras de tomar a decisão

D2, então o número de maneiras de tomar sucessivamente as decisões D1eD2, é m1 . m2

(PRAZERES et al, 2006, p. 52).

Exemplo 1:

Quantos números de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 3, 5 e 9?

Solução:

Para cada posição, podemos escolher de 4 maneiras, pois os algarismos podem ser

repetidos.

Centenas Dezenas Unidades ▼ ▼ ▼ 4 F0

D7 4 F0

D7 4 = 64 números

Portanto, podemos formar 64 números.

Exemplo 2:

Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos

1, 3, 5 e 9?

Solução:

Para cada posição, o número de escolhas vai diminuindo, pois os algarismos não podem

ser repetidos.

Centenas Dezenas Unidades ▼ ▼ ▼ 4 F0

D7 3 F0

D7 2 = 24 números

Portanto, podemos formar 24 números.

Importante:

Leia com atenção os problemas de Análise Combinatória e verifique se é permitida ou

não a repetição de elementos.

1.2 Fatorial de um número natural

Uma ferramenta matemática muito utilizada na resolução de problemas de análise

combinatória é o Fatorial.

Definição:

O fatorial de um número natural n, n ≥ 2, representado por n!, é definido como sendo o

produto de n por todos os seus antecedentes até o número 1(FURTADO et al, 2007, p.

36). Ou seja:

n! = n.(n-1) . (n-2) . ... . 3 . 2. 1

Ainda faz parte da definição:

1! = 1 e 0! = 1

Exemplo 3:

8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

3! = 3 . 2 . 1 = 6

Resumindo:

1! = 1

2! = 2 . 1 = 2

3! = 3 . 2 . 1 = 6

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5.040 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320

9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 362.880

10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800

Os cálculos que envolvem os problemas de contagem podem ser simplificados

utilizando o fatorial.

Exemplo 4:

Preste atenção:

4! + 2! = 4 . 3 . 2 . 1 + 2 . 1 = 24 + 2 = 26 (4 + 2)! = 6!

1.3 Permutação Simples

Observe a seguinte situação:

Você ganhou de presente um porta-CDs e deseja organizá-lo com seus 10 CDs

preferidos. Quantas sequências podem ser formadas colocando 10 CDs diferentes no

porta-Cds?

Solução:

O 1º CD pode ser escolhido de 10 maneiras diferentes. Escolhido o 1º, existem 9

maneiras de escolher o 2º. Escolhidos os dois primeiros, existem 8 maneiras para

escolher o 3º. Se continuarmos nessa sequência até o último CD, teremos 10! maneiras

de ordenar os 10 CDs.

10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800

Portanto, existem 3.628.800 maneiras de ordenar os 10 CDs.

Cada sequência possível de ser ordenada é chamada de permutação simples.

Assim,

O número de permutações simples de n objetos distintos é dado por Pn = n!

(PRAZERES et al, 2006, p. 54).

Dica: A palavra simples significa que os elementos não se repetem.

Exemplo 5:

Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra AMOR?

Solução:

Como as letras da palavra AMOR não se repetem, o número de anagramas é o número

de permutações possíveis com as quatro letras, ou seja:

P4 = 4! = 4 F 0D 7 3 F 0D 7 2 F 0D 7 1 = 24

Assim, podemos formar 24 anagramas com a palavra AMOR.

1.4 Permutação com Repetição

Existem situações em que na ordenação pelo menos um dos elementos é repetido. Nesse

caso, a permutação não é simples e, sim, com repetição.

Considere o seguinte problema:

Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ANA?

Solução:

Se as duas letras A fossem diferentes teríamos uma permutação simples, ou seja:

P3 = 3! = 6 anagramas: ANA, ANA, AAN, AAN, NAA, NAA.

Mas, observe que o primeiro e o segundo anagrama são iguais (ANA, ANA), o terceiro

e o quarto também (AAN, AAN), assim como o quinto e o sexto (NAA, NAA). Neste

caso, o número total de anagramas é encontrado permutando-se as 3 letras e dividindo-

se o total obtido pela permutação de 2 (letra A).

Portanto, podemos formar apenas = 3 anagramas com a palavra ANA.

Assim,

Se houver n elementos para permutar e dentre eles um elemento que se repete p vezes e

outro que se repete q vezes, ..., temos, então, uma permutação com repetição

(PRAZERES et al, 2006). Ela é dada por:

Exemplo 6:

Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra PRÓPRIO?

Solução:

Neste exemplo, temos 7 letras para serem permutadas. Observe que as letras P, R e O se

repetem duas vezes. Então:

Portanto, podemos formar 630 anagramas.

1.5 Combinação Simples

Os problemas de análise combinatória estudados anteriormente envolviam o princípio

multiplicativo e as permutações.

Se observarmos os problemas de permutações veremos que eles possuem duas

características importantes:

• Usamos todos os elementos para formar o agrupamento;

• No agrupamento, a ordem em que os elementos são arrumados faz diferença.

Mas, há um outro tipo de agrupamento em que não são usados todos os elementos e a

ordem em que eles são arrumados não faz diferença. Esse tipo de agrupamento chama-

se combinação simples.

Dado um conjunto com n elementos, chama-se combinação simples dos n elementos dados, tomados p a p, a qualquer subconjunto de p elementos distintos escolhidos entre

os n elementos (PRAZERES et al, 2006, p. 56), e pode ser calculada por:

Observe o seguinte problema:

Em uma empresa, há 2 vagas para analista de sistemas. Quatro candidatos se

apresentaram para concorrer às vagas. De quantas formas o gerente da empresa pode

escolher os dois de que ele necessita?

Solução:

Se temos n elementos disponíveis para serem escolhidos e, destes, vamos escolher p

elementos (n > p), então, o número de maneiras para essa escolha ser feita é calculado

por:

Então:

Portanto, há 6 formas de escolher os 2 candidatos para preencher as 2 vagas.

Exemplo 7:

Quantos grupos de 4 pessoas podem ser formados com 10 alunos de uma sala de aula?

Solução:

Temos que escolher 4 pessoas dentre os 10, e a ordem da escolha não importa. Então:

Portanto, temos 210 maneiras de escolher os membros do grupo.

Exemplo 8:

O conselho de classe de uma escola é formado por 3 professores e 2 alunos.

Candidataram-se 5 professores e 10 alunos. De quantas maneiras diferentes esse

conselho pode ser eleito?

Solução:

Podemos escolher os professores de x maneiras e os alunos de y maneiras, então

podemos escolher os professores e os alunos de xy maneiras. Assim:

A escolha dos professores será:

A escolha dos alunos será:

Logo:

Portanto, o conselho pode ser eleito de 450 maneiras diferentes.

1.6 Arranjo Simples

O conceito de arranjo simples provém dos conceitos de permutação e combinação

simples.

Se temos n elementos disponíveis para serem escolhidos e destes vamos escolher p

elementos (n > p), e a ordem dessa escolha determina elementos diferentes, então, esse

tipo de agrupamento é chamado de arranjo simples. (PRAZERES et al, 2006). Ele

pode ser calculado através de:

Considere o seguinte problema:

Quantos números de 2 algarismos podemos formar com os números 1, 2, 4 e 5?

Solução:

Os números formados devem ter 2 algarismos; por exemplo, 12. Se invertermos a

ordem destes algarismos, obtemos um novo número, 21.

Então:

Portanto, podemos formar 12 números com 2 algarismos.

Exemplo 9:

Quantos anagramas de três letras distintas podemos formar com as letras A, B, C, D e

E?

Solução:

Como as letras não podem ser repetidas e a ordem dessa escolha determina anagramas

diferentes, então:

Portanto, podemos formar 60 anagramas com 3 letras.

1.7 Síntese da Unidade

Nesta Unidade, estudamos o princípio fundamental da contagem para resolver problemas do cotidiano. Vimos também como resolver problemas envolvendo arranjo,

permutação e combinação.

1.8 Para saber mais

Site:

http://www.somatematica.com.br: o maior portal matemático com material para o Ensino Fundamental e Médio, história da matemática, biografias de matemáticos, além de trabalhos de alunos, provas online, jogos, curiosidades e muito mais.

http://www.brasilescola.com/matematica: portal educativo com material de matemática do Ensino Fundamental e Médio e cursos online.

http://www.educacao.uol.com.br/matematica/: Site com diversos assuntos de matemáticado EnsinoFundamental e do Médio.

Referências

FURTADO et al., E. M. Ensino Médio: 2ª série. Curitiba: Positivo, 2007.

PRAZERES et al., L. C. Extensivo e terceirão: memorex. Curitiba: Positivo, 2006.

Unidade 2

Unidade 2. Binômio de Newton Você se lembra de quem foi Isaac Newton?

Isaac Newton foi um cientista famoso pelas suas contribuições na Física e na Matemática. Na Física, sua contribuição diz respeito às leis de Newton, que você já deve ter estudado em uma parte da

Mecânica chamada Dinâmica. Na Matemática, ele demonstrou o desenvolvimento da potência de um binômio, que ficou conhecido como Binômio de Newton.

2.1 Número Binomial

Número Binomial é uma maneira antiga de representar uma combinação.

Definição:

Considerando-se dois números naturais n e p, tais que n ≥ p, denomina-se número

binomial n sobre p o número representado por e definido por:

Um número binomial é numericamente igual ao valor da combinação (FURTADO et al., 2007, p. 2).

No número binomial, n é chamado de numerador e p de denominador.

Existem alguns cálculos que envolvem combinações, em que alguns resultados podem

ser obtidos imediatamente, como os seguintes:

; ;

Exemplo 1:

a) = 10

b) = 20

c)

d)

Se dois números binomiais têm o mesmo numerador e a soma dos denominadores for

igual ao numerador, então estes números são chamados complementares. Os binomiais

complementares têm o mesmo resultado.

Exemplo 2:

a) , pois 2 + 3 = 5

b) , pois 3 + 7 = 10

c) , pois 5 + 3 = 8

2.2 Triângulo de Pascal

Você sabe quem inventou a máquina de calcular? Foi Blaise Pascal, no século XVII,

com apenas 18 anos (FURTADO et al., 2007).

O triângulo de Pascal foi um dos estudos mais importantes desenvolvidos por ele; é uma

das ferramentas usadas nos problemas que envolvem cálculo combinatório.

O Triângulo de Pascal é formado por números binomiais organizados em linhas e

colunas, numa disposição triangular, de tal forma que em cada linha fiquem os de

mesmo número de elementos (numerador) e em cada coluna os de mesma taxa

(denominador) (PRAZERES et al., 2006, p. 64).

Podemos escrever o Triângulo de Pascal da seguinte forma:

Calculando os números binomiais, temos:

Para construir o triângulo, não é necessário o cálculo de todas as combinações. Observe

que as linhas começam e terminam com o número 1, e que as combinações

equidistantes dos extremos são complementares, ou seja, têm o mesmo resultado. E,

ainda, de acordo com a relação de Stifel:

Somando duas combinações consecutivas de uma mesma linha, obtemos a combinação

da linha seguinte abaixo da segunda combinação somada (PRAZERES et al., 2006, p.

65).

Assim,

Exemplo 3:

Calcule o valor de:

Solução:

Pelas definições, temos:

, pois são binomiais complementares.

, pois são binomiais complementares.

Calculando

Então:

2.3 Binômio de Newton

Toda potência do tipo (x + y)n, com n sendo um número natural, é conhecida como

binômio de Newton (DANTE, 2003).

Vejamos o desenvolvimento de alguns binômios:

(x + y)0 = 1

(x + y)1 = 1x + 1y

(x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2

(x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3

(x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4

Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos são os resultados das combinações

do triângulo de Pascal.

Então, podemos escrever:

(x + y)0 =

(x + y)1 = x + y

(x + y)2 = x2 + xy + y2

(x + y)3 = x3 + x2y + xy2 + y3

(x + y)4 = x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4

Generalizando, temos:

ou

Algumas propriedades devem ser observadas no desenvolvimento do Binômio de

Newton:

1ª propriedade: as potências de x são decrescentes (de n até 0), e as potências de y são

crescentes (de 0 até n).

2ª propriedade: o desenvolvimento (x + y)n tem n + 1 termos, ou seja, o

desenvolvimento (x + 3)5 tem 6 termos.

Exemplo 4:

Efetue o desenvolvimento de (x + a)4

Solução:

(x + a)4 = x4 + x3a + x2a2 + xa3 + a4

Assim:

(x + a)4 = x4 + x3a + x2a2 + xa3 + a4

2.4 Termo Geral do Binômio de Newton

No desenvolvimento do binômio de Newton:

Podemos observar que cada termo obedece a uma regra:

1º termo: T1 =

2º termo: T2 =

3º termo: T3 =

(p+1)enésimo termo: Tp+1 =

Dessa forma, qualquer termo em particular do desenvolvimento do binômio de Newton

pode ser obtido por:

Como o desenvolvimento é um somatório de termos, podemos escrever a fórmula geral

para o desenvolvimento de (x+ y)n:

Exemplo 5:

Qual é o 4º termo do desenvolvimento de (x + 3)5?

Solução:

Devemos aplicar a fórmula: Tp+1 =

Como queremos o valor de T4, então:

p + 1 = 4 F 02 0F 0D E p = 4 – 1 = 3

Substituindo na fórmula, temos:

T4 =

Portanto, o 4º termo do desenvolvimento (x + 3)5 é 108x.

2.5 Síntese da Unidade

Nesta Unidade, estudamos o binômio de Newton. Aprendemos o que é um número

binomial e como construir o triângulo de Pascal. Vimos também que podemos

calcular cada termo do desenvolvimento do binômio de Newton a partir de

uma fórmula, uma vez que o desenvolvimento é um somatório de termos.

2.6 Para saber mais

Site:

http://www.somatematica.com.br: o maior portal matemático com material para o Ensino Fundamental e Médio, história da matemática, biografias de matemáticos, além de trabalhos de alunos, provas online, jogos, curiosidades e muito mais.

http://www.brasilescola.com/matematica: portal educativo com material de matemática do Ensino Fundamental e Médio e cursos online.

http://www.educacao.uol.com.br/matematica/: Site com diversos assuntos de matemáticado EnsinoFundamental e do Médio.

Referências

DANTE, L. B. Matemática: contexto & aplicações. v. 2. São Paulo: Ática, 2003.

FURTADO et al., E. M. Ensino Médio: 2ª série. Curitiba: Positivo, 2007.

PRAZERES et al., L. C. Extensivo e terceirão: memorex. Curitiba: Positivo, 2006.

Unidade 3

Unidade 3. Probabilidades A teoria das probabilidades teve origem com os jogos de azar. Dentre os primeiros

matemáticos que analisaram matematicamente os jogos de dados estão Cardano

(1501-1576) e Galileu (1564-1642); mas foi com Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de

Fermat (1601-1665) que a teoria das probabilidades evoluiu.

O ponto central em todas as situações que envolvem probabilidade é determinar a

ocorrência de um determinado evento.

Mas, afinal, o que é a probabilidade?

Probabilidade é a medida de chance, com que se pode esperar a ocorrência de um

determinado evento, seu valor é um número real entre 0 e 1 ou 0 e 100% (LARSON e

FARBER, 2004).

Com os cálculos de probabilidade podemos estabelecer modelos matemáticos que

esclarecem um grande número de acontecimentos coletivos, fornecendo estratégias para

a tomada de decisões.

Hoje, a teoria das probabilidades pode ser aplicada nas diversas áreas do conhecimento.

Portanto, seja bem-vindo ao estudo da Teoria das Probabilidades!

3.1 Fenômenos

Você sabe o que é um fenômeno?

Fenômeno é qualquer acontecimento natural. Na natureza encontramos dois tipos de

fenômenos:

Determinísticos: em que os resultados são sempre os mesmos,

independentemente do número de ocorrências.

Aleatórios: em que os resultados são imprevisíveis, mesmo sendo repetidos

várias vezes.

Quando um fenômeno é determinístico, a teoria das probabilidades não fornece um

modelo adequado para a explicação do fenômeno.

A teoria das probabilidades só é útil e deve ser aplicada quando trabalhamos com um

fenômeno aleatório.

Os fenômenos aleatórios são chamados de experimento aleatórios, como, por exemplo:

a) Lançamento de uma moeda;

b) Lançamento de um dado;

c) Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas.

3.2 Espaço Amostral e Espaço Amostral Equiprovável

Se jogarmos uma moeda quais serão os resultados possíveis? Cara ou Coroa. E se

lançarmos um dado? Os resultados serão os números das faces do dado, ou seja 1, 2, 3,

4, 5, 6.

Ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório nós

chamamos de Espaço amostral. Ele é chamado de equiprovável se todos os seus

elementos têm a mesma probabilidade de ocorrência. Representamos o espaço amostral

por S (CRESPO, 2009).

Exemplo 1:

a) Espaço amostral do lançamento de uma moeda:

S = {cara, coroa}

b) Espaço amostral do lançamento de um dado:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3.3 Eventos

Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório

(CRESPO, 2009).

Exemplo 2:

Lançar um dado e observar o número obtido:

Evento A: obter um número par:

A: {2, 4, 6,}

Evento B: obter um número ímpar:

B: {1, 3, 5}

3.3.1 Tipos de Eventos

Os tipos de eventos são:

Evento certo: é aquele que se tem certeza de que irá ocorrer. Exemplo: sair um

número inteiro no lançamento de um dado.

Evento impossível: é aquele que nunca poderá ocorrer. Exemplo: obter um número

maior que 6 no lançamento de um dado.

Eventos mutuamente exclusivos: dois eventos A e B são mutuamente exclusivos

quando eles não podem ocorrer ao mesmo tempo, ou seja, A F 0C 7 B = F 0C 6. Exemplo: uma

peça de carro não pode ser boa e ter defeito ao mesmo tempo. Os eventos ser boa e

ter defeito são mutuamente exclusivos. Os diagramas de Venn, abaixo, mostram a

relação entre os eventos.

Eventos independentes: dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de

um não tem efeito sobre a probabilidade de ocorrência do outro. Exemplo: no

lançamento de dois dados, o resultado obtido no primeiro não depende do resultado

obtido no segundo.

3.4 Tipos de Probabilidade

Existem três tipos de probabilidade: clássica, empírica e subjetiva.

3.4.1 Probabilidade Clássica

A probabilidade clássica (ou teórica) é baseada na hipótese de que os resultados de um experimento aleatório são igualmente prováveis (LARSON e FARBER, 2004). Ela é

dada por:

Onde: n(A) = número de elementos de A;

n(S) = números de resultados possíveis do espaço amostral;

P(A) = probabilidade de ocorrer A.

Exemplo 3:

Lança-se duas vezes uma moeda. Qual a probabilidade de se obter coroa em pelo menos

um dos lançamentos?

Solução:

Primeiramente, temos que definir o espaço amostral. Podemos usar o diagrama da

árvore para defini-lo. Usaremos (c) para representar a cara e (k) para coroa.

Então, o espaço amostral será:

S = {cc, ck, kc, kk}

O número de elementos do espaço amostral é:

n(S) = 4

Chamamos de A o evento obter coroa pelo menos uma vez, então:

A = {cc, ck, kc}

O número de elementos do evento A é: n(A) = 3

Calculando P(A), temos:

Exemplo 4:

Uma caixa contém 5 bolas verdes (V), 4 pretas (P) e 3 amarelas (A). Sorteando uma

bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela?

Solução:

O espaço amostral são todas as bolas da caixa. Então:

S = {5V, 4P, 3A} e n(S) = 12

Chamamos de A o evento sair uma bola amarela. Como temos 3 bolas amarelas na

caixa, então:

n(AB) = 3

Calculando:

3.4.2 Probabilidade Empírica

A Probabilidade Empírica é baseada na frequência com que o evento ocorre. Ela deve

ser aplicada quando não se conhece a regularidade dos resultados (LARSON e

FARBER, 2004). Ela é dada por:

Exemplo 5:

Em uma fábrica trabalham 20 mulheres e 40 homens distribuídos por idades de acordo

com a tabela abaixo:

Idades Homens Mulheres

Até 20 anos 5 3

De 21 a 50 anos 25 15

Mais de 50 anos 10 2

Somando-se todas as linhas e colunas da tabela temos:

Idades Homens Mulheres Total

Até 20 anos 5 3 8

De 21 a 50 anos 25 15 40

Mais de 50 anos 10 2 12

Total 40 20 60

a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser mulher?

Solução:

A probabilidade de uma mulher (P(M)) ser escolhida é obtida dividindo o número de

mulheres (n(M)) pelo total de pessoas que trabalham na fábrica (n(TP)), ou seja:

Portanto, a probabilidade de uma mulher ser escolhida ao acaso é de aproximadamente

33%.

b) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter mais de 50 anos?

Solução:

Nesse caso, não importa se a pessoa escolhida é homem ou mulher; o que importa é a

idade. Então, a probabilidade de uma pessoa ser escolhida e ter mais de 50 anos (n

(+50)) é obtida dividindo o número de pessoas (homens e mulheres) que têm mais de

50 anos (n(+50)) pelo total de pessoas (n(TP)) que trabalham na fábrica, ou seja:

Portanto, a probabilidade de uma pessoa ser escolhida e ter mais de 50 anos é de 20%.

3.4.3 Probabilidade Subjetiva

A Probabilidade Subjetiva é aquela que resulta de uma intuição, experiência ou

estimativa. Não existe uma fórmula para calculá-la. Por exemplo, um médico pode

determinar que um paciente tenha 80% de chance de cura dependendo do seu estado de

saúde (LARSON e FARBER, 2004).

3.5 Cálculo de Probabilidades

A resolução de muitos problemas que envolvem probabilidade depende das

combinações dos eventos, como veremos a seguir.

3.5.1 Probabilidade do Complementar

Imagine que você vai viajar e quer saber se irá chover ou não. Os meteorologistas

afirmam que a probabilidade de chuva é de 40%. Para achar a probabilidade de não

chover, basta calcular a probabilidade do complementar que é a probabilidade de não

ocorrência de um evento.

Se a probabilidade de ocorrer um evento mais a probabilidade de não ocorrer o mesmo

evento é igual a 1, ou seja, , onde:

= probabilidade de não ocorrer o evento A;

= probabilidade de ocorrer A

Então:

A probabilidade de um evento qualquer não ocorrer é 1 menos a probabilidade deste

evento ocorrer (PRAZERES et al, 2006, p. 73); ou seja:

Exemplo 6:

No lançamento de dois dados, calcular a probabilidade de se obter soma diferente de 9

nas faces.

Solução:

Primeiramente, temos que definir o espaço amostral para dois dados.

Espaço amostral para dois dados:

O número de elementos do espaço amostral é:

n(S) = 36

Calculamos, primeiramente, a probabilidade de a soma ser igual a 9.

O evento A será todas as combinações do espaço amostral cuja soma é igual a 9.

Evento A = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} n(A) = 4

Assim:

Como nós queremos a probabilidade da soma diferente de 9, usamos a probabilidade do

complementar.

Portanto, a probabilidade de se obter soma diferente de 9 nas faces, no lançamento de

dois dados, é de aproximadamente 89%.

3.5.2 Probabilidade da União de Eventos

Suponha que em uma sala de aula há 10 mulheres e 20 homens, sendo que metade das

pessoas de cada um dos dois grupos possui olhos azuis. Você quer saber qual a

probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser mulher ou ter olhos azuis. Esse tipo

de probabilidade é chamado de união de eventos. Usamos a probabilidade da união

quando temos dois eventos e queremos saber a probabilidade de que pelo menos um

deles ocorra.

A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada pela soma da probabilidade

de A e B, menos a probabilidade simultânea de A e B (PRAZERES et al, 2006, p. 74),

ou seja:

Exemplo 7:

No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número múltiplo de 3

ou um número primo?

Solução:

O espaço amostral de um dado é:

S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6

Chamamos de A o evento ocorrer um número múltiplo de 3

A = {3, 6} n(A) = 2

Calculando P(A), temos:

Chamamos de B o evento ocorrer um número primo

B = {2, 3, 5} n(B) = 3

Calculando P(B), temos:

Achando A F 0C 7B = {3} n(A F 0C 7B) = 1

Calculando P(A F 0C 7B):

Substituindo em:

Portanto, a probabilidade de se obter um número múltiplo de 3 ou um número primo, no

lançamento de um dado, é de aproximadamente de 67%.

Mas, se a interseção entre A e B não existir, ou seja, A F 0C 7B = F 0C 6, então a probabilidade de

ocorrer o evento A ou B é dada por:

Exemplo 8:

Retirando-se, aleatoriamente, uma carta de um baralho comum, qual a probabilidade de

ser uma dama ou um ás?

Solução:

Como no baralho de 52 cartas existem 4 damas e 4 ases e os eventos “ser uma dama” ou

“ser um ás” não podem ocorrer ao mesmo tempo, a probabilidade de retirarmos uma

dama ou um ás é a soma das probabilidades: P(dama) + P(ás).

Portanto, a probabilidade de uma dama ou um valete ser selecionado é de

aproximadamente 15%.

3.5.3 Probabilidade Condicional

No lançamento de um dado, a probabilidade de sair o número 3, sabendo que o número é ímpar, é calculada pela probabilidade condicional.

Pela definição:

Probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrer um evento, dado que outro

evento já ocorreu (LARSON e FARBER, 2004, p. 99). Assim, a probabilidade de

ocorrer o evento B, dado que o evento A já ocorreu, é dada por:

P (B/A) lê-se probabilidade de ocorrer o evento B dado que já ocorreu A.

Exemplo 9:

Uma empresa de consultoria participa de duas concorrências para realizar estudos sobre

problemas ambientais. A probabilidade de vencer a primeira concorrência é de 50% e

de vencer a segunda é de 70%, enquanto que a probabilidade de vencer ambas as

concorrências é de 40%. Qual a probabilidade de vencer a segunda concorrência,

sabendo que ela venceu a primeira?

Solução:

Pelo enunciado, temos as seguintes probabilidades:

P(vencer a 1ª) = 50%

P(vencer a 2ª) = 70%

P(vencer a 1ª e vencer a 2ª) = 40%

Como queremos saber a probabilidade de a empresa vencer a 2ª concorrência sabendo

que ela venceu a 1ª, a probabilidade condicional é calculada dividindo a probabilidade

de a empresa vencer a 1ª e a 2ª concorrências pela probabilidade do evento que já

ocorreu, ou seja, vencer a 1ª. Assim,

Portanto, a probabilidade de a empresa vencer a 2ª concorrência sabendo que ela venceu

a 1ª é de 80%.

Exemplo 10:

Os dados a seguir se referem a 1000 ingressantes de uma universidade, com

informações sobre área de estudo e classe social.

Área\Classe Alta Média Baixa

Exatas 120 156 68

Humanas 72 85 112

Biológicas 169 145 73

Um aluno ingressante é escolhido ao acaso; determine a probabilidade de ele estudar na

área de humanas, sendo da classe alta.

Solução:

Primeiramente vamos somar as linhas e as colunas da tabela.

Área\ Classe Alta Média Baixa Total

Exatas 120 156 68 344

Humanas 72 85 113 270

Biológicas 168 145 73 386

Total 360 386 254 1000

Para esse exemplo vamos usar a fórmula:

n(A F 0C 7B) é o número de alunos que estudam na área de humanas e pertencem à classe

alta. Esse valor é obtido cruzando a linha Humanas com a coluna Alta da tabela.

n(A F 0C 7B) = 72

n(A) é o número de alunos que pertence à classe alta, ou seja, o evento que já ocorreu.

Esse valor é a soma da coluna Alta da tabela.

n(A) = 360

Substituindo os valores na fórmula, temos:

Portanto, a probabilidade de um aluno ingressante estudar na área de humanas, sendo da

classe alta, é de 20%.

3.5.4 Probabilidade da Intersecção de Eventos

Se em uma caixa há bolas brancas e bolas azuis e queremos saber qual a probabilidade

de sair uma bola branca e uma bola azul, calculamos a probabilidade da interseção de

eventos.

A probabilidade de dois eventos A e B ocorrerem em sequência (LARSON e FARBER,

2004, p. 101) é dada por:

Se os eventos forem independentes, a fórmula pode ser simplificada para

Exemplo11:

Em um lote de 10 peças, temos 4 defeituosas. Retirando-se 2 peças, ao acaso, sem

reposição, qual a probabilidade de ambas serem boas?

Solução:

Queremos saber a probabilidade de a 1ª e a 2ª peça serem boas. Como não há reposição

das peças, os eventos são dependentes. Se temos 4 peças defeituosas, então são 6 boas.

Assim:

Portanto, a probabilidade de a 1ª e a 2ª peças serem boas é de aproximadamente 33%.

Exemplo 12:

Em um lote de 10 peças, temos 4 defeituosas. Retirando-se 2 peças, ao acaso, com

reposição, qual a probabilidade de ambas serem boas?

Solução:

Queremos saber a probabilidade de a 1ª e a 2ª peças serem boas. Neste caso, há

reposição das peças, os eventos são independentes. Se temos 4 peças defeituosas, então

são 6 boas.

Assim:

Portanto, a probabilidade de a 1ª e a 2ª peças serem boas é de aproximadamente 36%.

3.6 Síntese da unidade

Nesta Unidade, estudamos a teoria das probabilidades. Aprendemos o que é um

fenômeno, um espaço amostral e um evento. Conhecemos os três tipos de

probabilidades e os diversos tipos de cálculos que envolvem combinações de eventos

para a resolução de problemas.

3.7 Para saber mais

Sites:

http://www.somatematica.com.br: o maior portal matemático com material para o Ensino Fundamental e Médio, história da matemática, biografias de matemáticos, além de trabalhos de alunos, provas online, jogos, curiosidades e muito mais.

http://www.brasilescola.com/matematica: portal educativo com material de matemática do Ensino Fundamental e Médio e cursos online.

http://www.educacao.uol.com.br/matematica/: Site com diversos assuntos de matemáticado EnsinoFundamental e do Médio.

Referências

CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19 ed. São Paulo: Saraiva, 2009.

LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. 2 ed. São Paulo: Prentice Hall, 2004.

PRAZERES et al., L. C. Extensivo e terceirão: memorex. Curitiba: Positivo, 2006.

Referências complementares

BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Curso de Matemática. 3 ed. São Paulo: Moderna, 2007.

DANTE, L. B. Matemática: contexto & aplicações – volume único. São Paulo: Ática,

2001.

PAIVA, M. Matemática. 2 ed. São Paulo: Moderna, 2003.

Atividades Unidade 1

1. Em uma pizzaria há 5 tipos de pizza, 4 tipos de suco e 3 tipos de sobremesa. De

quantas maneiras podemos comer 1 pizza, tomar 1 suco e saborear 1 sobremesa?

2. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra BRASIL?

3. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARARA?

4. Quantas equipes diferentes de vôlei podemos formar com 12 meninos à disposição?

5. Um clube tem uma diretoria composta por 10 pessoas: 6 homens e 4 mulheres. De

quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e

2 mulheres?

6. De quantas maneiras 5 meninas podem sentar-se em um banco que tem apenas 3 lugares?

7. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Unidade 2 1. Calcule os seguintes números binomiais:

a)

b)

c)

d)

e)

2. Calcular o valor das expressões:

a)

b)

c)

d)

e)

3. Efetue o desenvolvimento:

a)

b) (2x – 2)5

c) (x - 2)4 d) (2x – a)4

4. Determine:

a) o 6º termo do desenvolvimento (x – 2)7.

b) o 7º termo do desenvolvimento (x – 1)9.

c) o 2º e o penúltimo termo do desenvolvimento (x – 1)20.

Unidade 3 1. De 120 estudantes, 70 estudam biologia, 80 estudam química e 40 estudam biologia

e química. Um estudante é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ele:

)a Estudar biologia;

)b Estudar química;

)c Estudar biologia ou química;

)d Não estudar biologia.

2. Uma faculdade coletou a seguinte informação sobre seus estudantes de graduação:

Curso Homens Mulheres Matemática 120 80 Pedagogia 110 70 Artes 70 50 Biologia 110 100 Estatística 50 10 Química 140 90

Um estudante é selecionado ao acaso; qual é a probabilidade de que:

a) Seja mulher?

b) Seja homem?

c) Seja mulher ou esteja cursando Matemática?

d) Seja homem ou esteja cursando Administração?

e) Dado que o estudante é mulher, qual é a probabilidade de que esteja cursando

Matemática?

f) Dado que o estudante é homem, qual é a probabilidade de que esteja cursando

Química?

3. Uma amostra de 140 investidores de um banco revelou que 80 investem na poupança,

30 investem em ações e 10 investem na poupança e em ações. Selecionado um destes

investidores ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha investimentos na poupança

ou em ações?

4. Sabe-se que as combinações AA, Aa, aA e aa, em um cruzamento Aa x Aa, são

igualmente prováveis, ou seja, cada uma com probabilidade de ¼. Sabe-se também que

Aa e aA não são distinguidas biologicamente, então, qual é a probabilidade de ocorrer

Aa ou aA?

5. Uma empresa tem os seguintes dados sobre idade e o estado civil de 160 clientes. Estado Civil

Idade Solteiro Casado Divorciado Menos de 25 20 12 4 Entre 25 e 35 13 22 5 Entre 35 e 45 9 27 8 Mais de 45 6 23 11

a) Qual a probabilidade de um cliente ser solteiro?

b) Qual a probabilidade de um cliente ter entre 25 e 45 anos?

c) Qual a probabilidade de um cliente ser solteiro e ter entre 25 e 35 anos?

d) Qual a probabilidade de um cliente ser casado ou ter mais de 45 anos?

e) Qual a probabilidade de um cliente ser divorciado ou casado e ter entre 35 e 45

anos?

f) Dado que um cliente é casado, qual a probabilidade de ele ter entre 25 e 35 anos?

g) Dado que um cliente tem menos de 25 anos, qual a probabilidade de ele ser solteiro

ou casado?

Gabarito das Atividades Unidade 1

1) 60 maneiras

5) 120 maneiras

2) 720 anagramas

6) 60 maneiras

3) 10 anagramas

7) 504 números

4) 924 equipes

Unidade 2

1) a) 15

b) 1

c) 252

d) 5

2) a) 56

b) 15

c) 5

d) 252

3) a) 32x5 - 160x4 + 320x3 - 320x2 + 160x - 32

b) x4 - 8x3 + 24x2 -32x + 16

c) 16x4 + 32x3a + 24x2a2 - 8xa3 + a4

4) a) – 672x2

b) 84x3

c) – 20x19 ; -20x

Unidade 3

1) a) 58%

b) 67%

c) 92%

d) 42%

2) a) 40%

b) 60%

c) 52%

d) 70%

e) 20%

f) 23%

3) 71%

4) 50%

5) a) 30%

b) 25%

c) 8%

d) 63%

e) 22%

f) 26%

g) 89%

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