Introdução à Álgebra Linear - Exercícios - Álgebra Linear, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Introdução à Álgebra Linear - Exercícios - Álgebra Linear, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre a Introdução à Álgebra Linear.
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Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

1a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2012/I

1. Considere as matrizes A,B,C,D e E com respectivas ordens, 4× 3, 4× 5, 3× 5, 2× 5 e 3× 5. Determine quais das seguintes expressões matriciais são posśıveis e determine a respectiva

ordem.

(a)AE +BT ; (b)C(DT +B); (c)AC +B; (d)ET (CB).

2. Determine a ordem das matrizes A,B,C,D e E, sabendo-se que ABT tem ordem 5 × 3, (CT +D)B tem ordem 4× 6 e ETC tem ordem 5× 4.

3. Seja a matriz A =

 1 3 7 8 2 4 0 11 3 6 2 1 5 1 3 3 1 4 0 7

 . Determine: (a) A ordem de A;

(b) Os elementos a23, a35 e a43.

4. Sejam as matrizes A,B,C,D e E que verificam ABCDE = EDCBA. Sabendo que C é uma

matriz de ordem 3× 2, quais são as ordens das outras quatro matrizes?

5. Sejam as matrizes A =

 1 1 3 20 1 4 3 1 2 1 5

 , B = 

0 3 2

2 1 4 1 2 1 4 3 1

 , C = A.B e D = B.A. Determine os elementos c32 e d43.

6. Determine a matriz quadrada A = (aij), de ordem 4 cujos elementos são dados por:

aij =

 2i− 3j, se i < j i2 + 2j, se i = j

3i+ 4j, se i > j .

7. Seja a matriz A =

[ 2 1 3 2

] . Determine:

(a)A2; (b)A3; (c)A31; (d)A42.

8. Determine números reais x e y tais que[ x3 y2

y2 x2

] +

[ −x 3y 4y 2x

] =

[ 0 4

5 1

] .

1

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9. Determine em cada um dos casos abaixo, x, y e z números reais tais que a matriz A seja

simétrica.

(a)A =

[ 2 x 4 1

] , (b)B =

 8 x+ 3 1015 5 8 y − 2 2z 9

 , C =  8 x

2 + 3 5 7 9 4

y + x z + 3x 11

 . 10. Considere as matrizes:

A =

 3 01 2 1 1

 , B = [ 4 1 0 2

] , C =

[ 1 4 2

3 1 5

] , D =

 1 5 21 0 1 3 2 4

 , E =  6 1 31 1 2

4 1 3

 . Quando posśıvel, calcule o que se pede.

(a)4E − 2D; (b)2AT + C; (c)(2ET − 3DT )T ; (d)(BAT − 2C)T .

11. Diz-se que uma matriz B é uma ráız quadrada de uma matriz B se B2 = A.

(a) Encontre duas ráızes quadradas de A =

[ 2 2

2 2

] .

(b) Existem quantas ráızes quadradas distintas de A =

[ 5 0

0 9

] ? Justifique.

(c) Na sua opinião qualquer matriz 2× 2 tem pelo menos uma ráız quadrada? Justifique.

12. Sejam A, B matrizes em Mn(IR). Se AB = BA, mostre que:

(a)(A±B)2 = A2 ± 2AB +B2; (b)(A−B)(A+B) = A2 −B2; (c)(A−B)(A2 + AB +B2) = A3 −B3.

13. Seja A matriz em Mn(IR). Mostre que:

(a) As matrizes A.AT e 1

2 (A+ AT )2 são simétricas,

(b) A matriz 1

2 (A− AT ) é anti-simétrica,

(c) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica.

14. Dizemos que uma matriz A é ortogonal se, e somente se, A.AT = I. Determine:

(a) Os posśıveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.

(b) Quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente anti-simétricas e ortogonais.

15. Determine o número real m de modo que a matriz M =

[ 1 0 0 m

] seja ortogonal.

16. Verifique quais das matrizes abaixo é ortogonal.

A =

[ 0 1

1 0

] , B =

[ 1 2 2 1

] , C =

[ 1 3

2 2

3 2 2

3 1

3

] , D =

 3 3

3 3

3 3

− √ 6 3

6 6

6 6

0 − √ 2 2

2 2

 .

2

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17. Dado um número real α, considere a matriz =

[ cosα − sinα sinα cosα

] .

(a) Dados α e β em IR, mostre que Tα.Tβ = +β.

(b) Calcule T−α.

(c) Mostre que para todo número α a matriz é ortogonal.

18. Seja A =

 a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ...

... . . .

...

an1 an2 · · · ann

 , uma matriz quadrada de ordem n. O traço de A, denotado por tr(A), é definido como sendo o número real

tr(A) = n

k=1

akk = a11 + a22 + ...+ ann,

ou seja, o traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal de A. Dadas A e B matrizes

quadradas de ordem n, valem as seguintes propriedades:

(a)tr(A+B) = tr(A) + tr(B);

(b)tr(kA) = ktr(A), onde k ∈ IR; (c)tr(AT ) = tr(A);

(d)tr(AB) = tr(BA).

Usando algumas destas propriedades verifique que não existem A e B matrizes quadradas de

ordem n tais que AB −BA = I.

19. Verifique que se A é uma matriz m× n, então os traços de AAT e ATA estão definidos. Em seguida prove que tr(AAT ) = tr(ATA).

20. Mostre que se ATA = A, então A é simétrica e A = A2.

21. Suponha que A é uma matriz quadrada e que D é uma matriz diagonal tal que AD = I. O

que se pode afirmar sobre a matriz A? Justifique.

22. Considere a matriz A =

 a11 0 · · · 0 0 a22 · · · 0 ...

... . . .

...

0 0 · · · ann

 , onde a11a22...ann ̸= 0. Determine A−1, a inversa de A, se existir.

23. Prove que se A é inverśıvel e AB = AC, então B = C.

24. É posśıvel ter AB = I e B não ser inversa de A? Justifique sua resposta.

25. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, mostre que:

(a) Se A satisfaz a igualdade A2 3A+ I = 0, então A−1 = 3I − A.

(b) Se A é tal que An+1 = 0, então (I − A)1 = I + A+ A2 + ...+ An.

26. Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta

dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.

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(a) ( )Se a primeira coluna de A for constitúıda somente de zeros, o mesmo ocorre com a

primeira coluna de qualquer produto AB.

(b) ( )Se a primeira linha de A for constitúıda somente de zeros, o mesmo ocorre com a

primeira linha de qualquer produto AB.

(c) ( )Se a soma de matrizes AB + BA estiver definida, então A e B devem ser matrizes

quadradas.

(d) ( )Se A é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então A2 tem duas linhas

idênticas.

(e) ( )Se A é uma matriz quadrada e A2 tem uma coluna constitúıda somente de zeros, então

necessariamente A tem uma coluna constitúıda somente de zeros.

(f) ( )Se AAT é uma matriz singular(não-inverśıvel), então A não é inverśıvel.

(g) ( )Se A é inverśıvel e AB = 0, então necessariamente B é a matriz nula.

(h) ( )A soma de duas matrizes inverśıveis é sempre uma matriz inverśıvel.

(i) ( )Se A é uma matriz quadrada tal que A4 = 0, então

(I − A)1 = I + A+ A2 + A3.

27. Seja A uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é igual a 3, pede-se:

(a) O determinante da matriz P dada por P = 4A−1AT .

(b) Decidir se P é ou não inverśıvel.

(c) O determinante da matriz B obtida de A após serem realizadas as seguintes operações:

L3 ←→ L2; L1 −→ L1 + 2L5; L4 −→ −3L4.

(d) Decidir se a matriz Q = AAT é ou não inverśıvel.

28. Calcule o determinante da matriz A =

 4 5 3 2 1 0 3 0 1 2 1 3 2 1 0 4

 ; (a) Desenvolvendo-o pela segunda linha (usando cofatores).

(b) Pelo processo de triangularização (usando operações elementares sobre as linhas da ma-

triz).

29. Dadas as matrizes A =

 1 5 1 2 0 2 3 4 0 0 4 2 0 0 0 3

 e B = 

3 0 0 0 3 4 0 0 2 2 1 0 2 1 1 2

 , determine: (a) det(AB); (b)A−1; (c)B−1; (d)(AB)1; (e) det(C), onde CAT = 2BC2.

30. Seja Q uma matriz quadrada de ordem n tal que detQ ̸= 0 e Q3 + 2Q2 = 0. Determine o valor de detQ.

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31. Dada a matriz A =

 1 5 1 3 1 2 2 4 6 7 3 1 5 3 0 4

 , determine: (a) detA utilizando as operações elementares sobre as linhas de A;

(b) detAT ; (c) det(A2); (d)A−1; (e) det(−A); (f)3AAT .

32. Seja a matriz A =

 1 1 11 0 1 0 1 1

 . (a) Determine o polinômio p(x) = det(xI3 −A), onde I3 é a matriz identidade de ordem 3 e

x ∈ IR.

(b) Verifique que p(A) = 0, onde 0 é a matriz nula de ordem 3.

(c) Use o ı́tem anterior para calcular a inversa de A.

33. Calcule os seguintes determinantes:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣ 2 1 5 1 9 4 3 0 0

∣∣∣∣∣∣∣ ; (b) ∣∣∣∣∣∣∣ 1 + a b c

a 1 + b c

a b 1 + c

∣∣∣∣∣∣∣ ; (c) ∣∣∣∣∣∣∣ c −4 3 2 1 c2

4 c− 1 2

∣∣∣∣∣∣∣ ;

(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 5 3 2 1 0 3 0 1 2 1 3 2 1 0 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (e)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0

5 0 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (f)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

5 0 0 0 0

0 0 0 0 4 0 0 3 0 0

0 0 0 1 0

0 2 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .

34. Resolva as seguintes equações:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣ x 5 7

0 x+ 1 6

0 0 2x− 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0; (b) ∣∣∣∣∣∣∣

2 x− 2 3 2x+ 3 x− 1 4

5 1 0

∣∣∣∣∣∣∣ = 16; (c) ∣∣∣∣∣ x −13 1− x

∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 3 2 x −6 1 3 x− 5

∣∣∣∣∣∣∣ . 35. Calcule o determinante da matriz

A =

 0 0 0 a14

0 0 a23 a24

0 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

 . Generalize o resultado para uma matriz A = (aij)n×n na qual aij = 0 sempre que i+ j ≤ n.

36. Diz-se que uma matriz A é semelhante à matriz B quando existe uma matriz inverśıvel P tal

que B = PAP−1.

(a) Mostre que se A é uma matriz semelhante a B, então B é semelhante a A.

(b) Mostre que se A é semelhante a B e B é semelhante a C, então A é semelhante a C.

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(c) Prove que matrizes semelhantes tem mesmo determinante.

37. Nos casos abaixo, pede-se: verificar se A é inverśıvel; cof(A), a matriz co-fatora de A, e A−1,

a matriz inversa de A, se esta existir.

(a)A =

 1 2 36 7 1 3 1 4

 ; (b)A =  cos θ sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

 ;

(c)A =

 0 1 1 1

1 1 1 1

2 1 1 0

1 2 0 0

 ; (d)A = 

3 5 6 0

2 1 0 0 4 0 0 0

5 2 4 3

 . 38. Sem calcular diretamente, verifique que∣∣∣∣∣∣∣

b+ c a+ c a+ b

a b c

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0. 39. Nos casos abaixo, determine A−1, utilizando operações elementares, se esta existir.

(a)A =

 2 1 34 2 2 2 5 3

 ; (b)A = [ 3 1 2 4

] ;

(c)A =

 1 0 0 0

2 1 0 0

3 2 1 0

4 3 2 1

 ; (d)A =  3 6 120 3 3

6 9 24

 . 40. Calcule o determinante da matriz abaixo e determine sua inversa, se esta existir;

B =



0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

 .

41. Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando

um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.

(a) ( )det(2A) = 2 det(A).

(b) ( )det(I + A) = 1 + det(A).

(c) ( )Não existe matriz real quadrada A tal que det(AAT ) = 1.

(d) ( )Se det(AAT ) = 4, então det(A) = 2.

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(e) ( )det(A+B) = det(A) + det(B).

(f) ( )Se det(A) ̸= 0 e AB = 0, então B é inverśıvel.

(g) ( )Se A ∈ Mn(IR) e n é par, então det(A) = det(−A).

(h) ( )Se A100 é inverśıvel, então 3A também o é.

(i) ( )Se AB = 0 e B é inverśıvel, então A = 0.

42. A tiragem diária na cidade de Mimosa dos jornais: Dia a Dia, Nossa Hora, Acontece e

Urgente, durante o ano de 2002 está representada na seguinte tabela:

Dia a Dia Nossa Hora Acontece Urgente

Dias Úteis 400 600 450 650

Feriados 350 550 500 600

Sábados 350 600 500 650

Domingos 450 500 400 700

Determine:

(a) A tiragem de cada jornal em Mimosa em 2002, sabendo-se que 2002 tivemos 52 sábados,

52 domingos, 12 feriados e 249 dias úteis.

(b) A estimativa de tiragem total de cada jornal em Mimosa para o ano de 2005, sabendo-se

que a previsão é que até o final deste ano(2005) a tiragem tenha um aumento de 60% em

relação à 2002.

43. Uma construtora está fazendo o orçamento de 65 estabelecimentos rurais sendo estes dvididos

em: 20 de alvenaria, 30 mistos e 15 de madeira. A tabela abaixo descreve a quantidade de

material utilizado em cada tipo de construção.

Tipo de construção/ Tábuas Tijolos Telhas Tinta Mão-de-obra

Material (unidade) (mil) (mil) (litros) (dias)

Alvenaria 50 15 6 70 25

Madeira 500 1 5 20 30

Misto 200 8 7 50 40

Pede-se:

(a) Determinar, utilizando o produto de matrizes, a matriz A que descreve quantas unidades

de cada componente serão necessárias para cumprir o orçamento.

(b) Dar o significado do produto de matrizes AB, sendo A a matriz o btida no ı́tem (a) e B

á a matriz obtida pela tabela abaixo.

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Valor da Compra Transporte

(a unidade em reais) (a unidade em reias)

Tábuas 12 0,08

Tijolos 100 20

Telhas 300 10

Tinta 3 0,50

Mão-de-obra 40 1,50

44. Considere os adubos I,II,III e IV com caracteŕısticas e preços descritos nas tabelas abaixo:

Substância Fósforo Nitrato Potássio

po kg

Adubo I 25g 15g 70g

Adubo II 30kg 25g 40g

Adubo III 60g 10g 55g

Adubo IV 15g 30g 60g

Adubos I II III IV

Preço por Kg R$7,50 R$5,00 R$4,50 R$6,50

Um agricultor necessita de uma mistura com a seguinte especificação: 6 kg do adubo I, 7 kg

do adubo II, 5 kg do adubo III e 8 kg do adubo IV. Usando o produto de matrizes, determine

a quantidade de cada substância na mistura descrita acima e o preço desta mistura.

45. Um fabricante de farinha produz três tipos de farinha: de mandioca, de milho e de trigo.

Para produzir cada um dos tipos de farinha o produto bruto passa por três processos: seleção,

processamento e embalagem. O tempo necessário (em horas), em cada processo, para produzir

uma saca de farinha, é dado na tabela abaixo:

Processos/ Seleção Processamento Embalagem

Tipos de Farinha

Mandioca 1 3 1

Milho 2 5 1

Trigo 1,5 4 1

O fabricante produz as farinhas em duas usinas uma em Cacha Pregos (BA) e outra em

Cacimba de Dentro (PB), as taxas por hora para cada um dos processos são dadas (em reais)

na tabela abaixo:

Cacha Pregos Cacimba de Dentro

Seleção 2 1,50

Processamento 1 1,80

Embalagem 0,50 0,60

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Encontre A e B matrizes obtidas pelas primeira e segunda tabelas, respectivamente. Qual o

significado do produto AB?

46. A secretaria de meio ambiente do munićıpio de Mil Flores constatou que as empresas que

trabalham nos ramos de suinocultura, cunicultura e piscicultura são as grandes poluidoras de

três regiões do munićıpio. Diariamente despejam dejetos destas culturas segundo a descrição

da tabela abaixo:

Quantidade de desetos 1a Região 2a Região 3a Região

Por dia ( em Kg )

Cunicultura 80 90 70

Piscicultura 200 40 30

Suinocultura 150 120 100

A secretaria decidiu então aplicar multas diárias sobre estas empresas afim de angariar fundos

para despoluir tais regiões, as multas foram estabelecidas de acordo com a tabela abaixo:

Multa cobrada (em reais)

por kg de 1a Região 2a Região 3a Região

desetos depositados ( em Kg )

Cunicultura 400 200 300

Piscicultura 50 400 100

Suinocultura 600 300 500

Considerando A e B as matrizes obtidas através das primeira e segunda tabelas, respecti-

vamente, determine os elementos da matriz ABT que fornece a arrecadação da secretaria de

meio ambiente de Mil Flores ao aplicar as multas nas três regiões, por ramo de atividade.

47. Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

(a) ( )det(−A) = det(A).

(b) ( )det(A+B) = det(A) + det(B).

(c) ( )Sejam A, B e P matrizes reais de ordem n, tais que B = P T .A.P, sendo P inverśıvel.

Então det(A) = det(B).

(d) ( )Dada a equação matricial X2 + 2X = 0, onde X é uma matriz quadrada de ordem n,

não singular. Então esta equação tem única solução.

(e) ( )Se A,B ∈ Mn(IR) são tais que A.B = 0(matriz nula), então B.A também é a matriz nula.

(f) ( )Se A,B ∈ Mn(IR) são tais que A.B = 0(matriz nula), então A = 0 ou B = 0.

(g) ( )A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.

(h) ( )O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.

Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes de ordens apropriadas para as operações

indicadas.

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(i) ( )Se A.C = B.C e C é inverśıvel, então A = B.

(j) ( )Se A.B = 0 e B é inverśıvel, então A = 0.

(k) ( )Se A.B = C e duas das matrizes são inverśıveis, então a terceira também é.

(l) ( )Se A.B = C e duas das matrizes são singulares(não-inverśıveis), então a terceira

também é.

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