Introdução à Geometria Algébrica e Álgebra Comutativa - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Introdução à Geometria Algébrica e Álgebra Comutativa - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de matematica sobre o estudo da Introdução à Geometria Algébrica e Álgebra Comutativa.
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INSTITUTO DE MATEMÁTICA – UFRJ

INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ALGÉBRICA E ÁLGEBRA COMUTATIVA

2a Lista de Exercícios

1. Seja A′ ⊂ A uma extensão integral de anéis. Mostre que A é um corpo se, e somente se, A′ também é.

2. Seja A′ ⊂ A uma extensão integral de anéis e m um ideal máximo de A. Seja m′ = A ∩m. Mostre que Am não é necessariamente integral sobre A′m′ . Sugestão: A = K[x], A′ = K[x2 − 1] e m = 〈x− 1〉 em A.

3. Seja A um domínio. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: (a) A é normal; (b) AP é normal para cada P ∈ Spec(A); (c) Am é normal para cada m ∈ Spm(A).

4. Seja E a curva elíptica de equação y2 = x3 − x em A2. Mostre que o anel de coordenadas O(E) é normal. Como já vimos na lista 1 que O(E) não é um anel fatorial, obtivemos um exemplo de anel normal que não é fatorial.

5. Seja A′ ⊂ A uma extensão integral de anéis. Mostre que se A é local então A′ também é.

6. Seja A′ ⊂ A uma extensão de anéis e suponha que A é gerado por t elementos como A′-módulo. Mostre que há, no máximo, t ideais máximos de A sobre cada um dos ideais máximos de A′.

7. Seja A 6= K uma subálgebra do anel de polinômios em uma variável K[x], sobre o corpo K. Mostre que A é finitamente gerada como K-álgebra e que dim(A) = 1. Sugestão: se f ∈ K[x], então K[x] é integral sobre K[f ].

8. Seja K um corpo. Mostre que há infinitos ideais primos de altura um contidos no ideal 〈x, y〉 de K[x, y].

9. Prove que se A é uma K-álgebra afim e P é um ideal primo de A com altura 2, então há infinitos ideais primos de altura um em A contidos em P .

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GEOMETRIA ALGÉBRICA E ÁLGEBRA COMUTATIVA

10. Seja X ⊆ An uma variedade algébrica e g ∈ O(X) uma função regular. Mostre que o conjunto aberto Xg = {p ∈ X : g(p) 6= 0} é isomorfo a uma variedade algébrica afim de An+1. Qual a dimensão de Xg?

11. Seja K um corpo algebricamente fechado de característica zero e considere o conjunto de matrizes n× n definido por

GLn(K) = {A ∈Mn(K) : det(A) 6= 0}. (a) Mostre que GLn(K) é um grupo. (b) Mostre que GLn(K) é uma variedade afim. (c) Calcule a dimensão de GLn(K).

12. Seja X a variedade quase afim obtida removendo a origem de A2. (a) Mostre que O(X) ∼= K[x, y]. (b) Mostre que X não é isomorfa a uma variedade afim.

13. Seja X ⊆ An uma variedade algébrica. Mostre que os abertos da forma Xg, para g ∈ O(X) formam uma base de abertos de X.

14. Dê um exemplo de um conjunto algébrico em An no qual o resultado do exercício anterior é falso.

15. Seja A um anel e M ′, M e M ′′ três A-módulos. (a) Explique o que significa dizer que

0→M ′ →M →M ′′ → 0, é uma seqüência exata curta de A-módulos.

(b) Mostre que se S é um conjunto multiplicativo contido em A e se a se- qüência acima é exata curta, então

0→ (M ′)S →MS → (M ′′)S → 0, é uma seqüência exata curta de AS-módulos.

16. Seja A um anel e F um A-módulo. Dizemos que F é plano se, para qualquer seqüência exata curta de A-módulos

0→M ′ →M →M ′′ → 0, a seqüência

0→ F ⊗A M ′ → F ⊗A M → F ⊗A M ′′ → 0, também é exata curta. (a) Mostre que, se S é um conjunto multiplicativo contido em A, então o

A-módulo AS é plano. (b) Mostre que o A-módulo livre An é plano. (c) Dê exemplo de um A-módulo que não é plano.

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INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ALGÉBRICA E ÁLGEBRA COMUTATIVA

17. Seja A um anel e I um ideal de A que está contido na interseção de todos os ideais máximos de A. Suponha que M é um A-módulo e N um submódulos de M tal que o quociente M/N é finitamente gerado sobre A. Mostre que, se M = N + IM , então M = N .

Esta é uma versão mais geral do Lema de Nakayama, mas a demonstração é praticamente a mesma que a explicada em sala para anéis locais.

18. Seja A um anel e M um A-módulo. O anulador de M é o subconjunto de A definido por ann(M) = {a ∈ A : am = 0 para todo m ∈M} (a) Mostre que ann(M) é um ideal de A. (b) Mostre que se M é finitamente gerado então ann(M) é não nulo. (c) Mostre que ann(M) pode ser igual a zero se M não for finitamente gerado.

19. Seja A um anel e M um A-módulo finitamente gerado. O suporte de M é o subconjunto de Spec(R) definido por

Supp(M) = {P ∈ Spec(R) : MP 6= 0}. (a) Mostre que P ∈ Supp(M) se e somente se ann(M) ⊆ P . (b) Mostre que Supp(M) é um fechado do Spec(R).

20. Seja A um anel noetheriano. Mostre que se um ideal qualquer I de A está contido em uma união finita de ideais primos de A, então I está contido em um destes ideais.

21. Seja p um ponto de uma variedade algébrica X. Mostre que o anel local Op(X) tem dimensão igual à dimensão de X.

22. O objetivo desta questão é mostrar que se X é uma curva de A3 então X pode ser descrita como o conjunto de zeros de exatamente três equações. (a) Mostre que existe um polinômio f(x, y) (em apenas duas variáveis) que

se anula em todos os pontos de X. (b) Mostre que os polinômios definidos em (a) formam um ideal principal de

K[x, y] cujo gerador é g(x, y). (c) Mostre que Z(g) ⊆ A2 é igual ao fecho da projeção de X no palno xy. (d) Seja

h(x, y, z) = gn(x, y)z n + · · ·+ g0(x, y).

o elemento de menor grau em z que pertence ao ideal I(X). Mostre que se f ∈ I(X) tem grau m em z então existem Q ∈ K[x, y, z] e R ∈ K[x, y] tais que

gm0 f = hQ + R.

(e) Mostre que g divide R. (f) Mostre que Z(h, g) é igual a X e a uma união de retas paralelas ao eixo

z, determinadas pelas equações g0(x, y) = g(x, y) = 0. (g) Use isto para provar que X pode ser completamente determinada por

três equações.

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